八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 課后補(bǔ)習(xí)班輔導(dǎo) 拼圖驗(yàn)證勾股定理及勾股定理中

1、拼圖驗(yàn)證勾股定理及勾股定理中的數(shù)學(xué)思想【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：拼圖驗(yàn)證勾股定理及勾股定理中的數(shù)學(xué)思想勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，在現(xiàn)實(shí)世界中有廣泛應(yīng)用。在運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際時(shí)，若能結(jié)合運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想，則可使思路開闊、方法簡(jiǎn)捷。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 理解拼圖驗(yàn)證勾股定理的思維方法。 2. 體會(huì)勾股定理中的數(shù)學(xué)思想。三. 知識(shí)要點(diǎn)：1. 一種證明：拼圖驗(yàn)證勾股定理1）如圖（1）一個(gè)張由兩個(gè)正方形拼成的硬紙片。只許用剪刀剪兩刀，把它分開，然后拼成一個(gè)正方形。圖（2）中，剪了兩刀，分成三塊，拼成了一個(gè)大正方形。圖（3）（4）中，剪了兩刀，分成四塊，拼成了一個(gè)大正方形（1

2、）你能判斷出這兩刀是如何剪的嗎？（2）你能否把圖（1）剪三刀，把它分開，然后拼成一個(gè)大正方形？答：（1）兩刀互相垂直，且至少有一刀剪得的線段長(zhǎng)是以兩個(gè)正方形的邊為直角三角形的兩直角邊的斜邊的長(zhǎng)；（2）仿照（1）的規(guī)律，作法，如圖（5）2）勾股定理的面積證法：“趙爽弦圖”如圖（a）把邊長(zhǎng)a、b的兩個(gè)正方形連在一起，則它的面積是a2+b2，另一方面，這個(gè)圖形可由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形組成，拼的過程如下，把圖（a）中左右兩個(gè)直角三角形移動(dòng)，組成如圖（b）的形狀，所以它們的面積相等；因此a2+b2=c22002年8月20日北京國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，就是“趙爽弦圖”如圖（b） 2. 幾類思想：整

3、體思想轉(zhuǎn)換思想分類思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想（含補(bǔ)形與分割的思想）【典型例題】整體思想例1. 如圖，已知RtABC的周長(zhǎng)為，其中斜邊，求這個(gè)三角形的面積。分析：若要直接求出a與b的值，要用二次方程求解較繁。但由聯(lián)想到運(yùn)用整體思想（將ab視為一個(gè)整體），問題便可順利獲解。解：在RtABC中，根據(jù)勾股定理，得即又由已知得所以解得所以 轉(zhuǎn)換思想例2. 如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬、高分別為5，4，3的長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿著表面爬行到與之最遠(yuǎn)的另一個(gè)頂點(diǎn)G，最短路程是多少？分析：有六種方式對(duì)長(zhǎng)方體表面進(jìn)行剪開鋪平求解。究竟哪條線路最短，下面逐一解答再比較。解：（1）剪開FG、GC、CB鋪平得。（2）剪開HG、

4、GC、CD鋪平得。（3）剪開EF、FG、GH鋪平得。（4）剪開FB、FG、CG鋪平得。（5）剪開FG、GH、HE鋪平得。（6）剪開DH、HG、GC鋪平得。因此最短路程為，這樣的路線有兩條。由此我們知道，若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，且時(shí)，最短路程就是。分類思想例3. 在ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高線AD=12。試求BC的長(zhǎng)。分析：由于三角形的高線隨其形狀的不同而改變，其中銳角三角形的高線在三角形的內(nèi)部，鈍角三角形的高線在三角形的外部，所以必須分兩種情況討論。解：由于三角形的形狀不確定，所以求BC的長(zhǎng)可以從以下兩方面考慮：（1）如圖，當(dāng)BC邊上的高線在ABC內(nèi)部時(shí)，由勾

5、股定理，得所以（2）如圖，當(dāng)BC邊上的高線在ABC外部時(shí)，同理可得此時(shí)綜上所述，BC的長(zhǎng)為25或7。方程思想例4. 如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高線，且AB=10，BC=8，求CD的長(zhǎng)。分析：在RtABC中，由勾股定理容易求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積關(guān)系構(gòu)造方程，則問題便水到渠成。解：在RtABC中，根據(jù)勾股定理，得因?yàn)锳BC的面積即所以數(shù)形結(jié)合思想例5. 如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理可以推廣。如圖：（1）以RtABC的三邊長(zhǎng)為邊作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊的面積，S1、S2、S3之間有何關(guān)系，說明理由。（2）如圖，以RtABC的

6、三邊長(zhǎng)為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積S1，S2，S3之間有何關(guān)系？ （3）如果將上圖中斜邊上的半圓沿斜邊翻折180°，成為下圖，請(qǐng)驗(yàn)證：“兩個(gè)陰影部分的面積之和正好等于直角三角形的面積”（此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”） 解：（1）中S1，S2，S3的表示均與直角三角形的邊長(zhǎng)有關(guān)。 所以根據(jù)勾股定理可得出S1，S2，S3的關(guān)系，S1+S2=S3（2）類似于（1）：S1+S2=S3（3）圖中陰影部分的面積是S1+S2+SABC-S3S陰影=SABC例6. 某市氣象臺(tái)測(cè)得一熱帶風(fēng)暴中心從A城正西方向300km處，以每小時(shí)26km的速度向北偏東60°方向移動(dòng)，距

7、風(fēng)暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請(qǐng)求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；如果沒有受影響，請(qǐng)說明理由。分析：本題情景與人們的日常生活密切相關(guān)，其思維深度具有一定挑戰(zhàn)性。如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（數(shù)形結(jié)合）是解決問題的關(guān)鍵。解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，如圖所示，設(shè)O為風(fēng)暴中心，OC為風(fēng)暴中心移動(dòng)方向，ADOC。在RtOAD中，AOD=30°，OA=300km所以AD=150km<200km即A城受到這次風(fēng)暴的影響。如圖，設(shè)AB=AC=200km在RtABD中，應(yīng)用勾股定理，得所以，A城遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間（小時(shí)）。（補(bǔ)形與分割的思想）例7. 若a，b為正

8、數(shù)，且是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的面積。分析：這類題一些同學(xué)見了后望而生畏，不知從何下手，通過觀察，顯然該三角形不是一個(gè)特殊的三角形，不宜直接求解。由根號(hào)內(nèi)的代數(shù)式是兩數(shù)的平方和，聯(lián)想到勾股定理，進(jìn)而想到構(gòu)造長(zhǎng)和寬分別為2a，2b的矩形，再由面積的割補(bǔ)來求解。解：作矩形ABCD，使E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)。由勾股定理知從而可知，就是題目所要求的三角形面積，即例8. 如圖，在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的長(zhǎng)分別是3，4，12和13，ABC=90o，則四邊形ABCD的面積是_。解：連結(jié)AC，在ABC中，因?yàn)锳BC=90°，BC=4所以在ACD中，因?yàn)樗钥芍狝

9、CD也是直角三角形，ACD90°所以于是 【模擬試題】（答題時(shí)間：45分鐘）1. 你能將邊長(zhǎng)為5:1的長(zhǎng)方形紙片，如圖（1），剪幾刀分成五塊，拼出一個(gè)正方形，并用它來證明勾股定理？2. 如圖，ABC中，B90°，AB7，BC=24，P是A，C的平分線的交點(diǎn)，PDAB于D，PEBC于E，求。3. 有一立方體禮盒如圖所示，在底部A處有壁虎，C'處有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饑。（1）試確定壁虎所走的最短路線；（2）若立方體禮盒的棱長(zhǎng)為20cm，壁虎要在半分鐘內(nèi)捕捉到蚊子，求壁虎每分鐘至少爬行多少厘米（保留整數(shù)）分析：求幾何體表面的最短距離時(shí)，通常可以將幾何體表面展開，

10、把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面圖形，于是問題可迎刃而解。4. 如圖，在四邊形ABCD中，AB2，CD=1，A60°，B=D=90°，求四邊形ABCD的面積。分析：考慮A=60°，B=D=90°可補(bǔ)形得到RtABE和RtCDE，然后利用勾股定理及其它知識(shí)易于解決。5. 如圖，長(zhǎng)為3厘米，長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為13厘米。求正方形的面積。分析：一般的想法，要求出正方形的面積，先求出其邊長(zhǎng)；要求出，先要求出。在中，所以，在中，為多少？數(shù)不夠用了！我們?cè)偃タ匆幌骂}目，是讓求正方形的面積，正方形的面積為，何必去求，只要求出這個(gè)“整體”就可以，原來正方形的面積為194，我們已經(jīng)求出來

11、了！【試題答案】1. 解：在剪拼的過程中面積沒有發(fā)生變化，設(shè)原長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)為5a和a，則拼出的正方形面積為5，所以正方形邊長(zhǎng)為 所以須在長(zhǎng)方形中分割出長(zhǎng)度為 的線段，而線段 ，應(yīng)是邊長(zhǎng)為a和2a的直角三角形的斜邊，因此構(gòu)造出邊長(zhǎng)為a和2a的直角三角形即可。圖（3）中： 2. 解：顯然四邊形BEPD是矩形，作PFAC于F，連結(jié)PB，易證所以四邊形BEPD是正方形它的邊長(zhǎng)可由三角形的面積求得。設(shè)PD=PE=PF=m，得即由勾股定理知所以故3. 解：（1）若把禮盒的上底面A'B'C'D'豎立起來，如圖所示，使它與立方體的正面（ABB'A'）在同一平面內(nèi)，然后連結(jié)AC'，根據(jù)“兩點(diǎn)間線段最短”知，線段AC'就是壁虎捕捉