導(dǎo)數(shù)典型例題講解.

1、資料一：導(dǎo)數(shù) .知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念例 1已知曲線 y= 3 x 上的一點(diǎn) P(0, 0)，求過(guò)點(diǎn) P 的切線方程 ·解析：如圖，按切線的定義，當(dāng) x0 時(shí)，割線PQ 的極限位置是 y 軸（此時(shí)斜率不存在），因此過(guò)P 點(diǎn)的切線方程是 x=0.例 2求曲線 yx2 在點(diǎn) (2，4)處的切線方程 ·解析： y=x2,y=(x0x)2x022x0x(2=4x)2yx)x ( klim (4 x)4 .limx 0 xx0 曲線 y x2 在點(diǎn) (2，4)處切線方程為 y44(x2)即 4xy40.例 3物體的運(yùn)動(dòng)方程是S1t t2，其中 S 的單位是米， t 的單位是秒，求物體在

2、t5 秒時(shí)的瞬時(shí)速度及物體在一段時(shí)間 5，5t內(nèi)相應(yīng)的平均速度解析： S=1+t+t2, S=1+(t+t)+(t+ t)2(1+t+t2)=2t· t+t+( t)2, S2 1t ,即 v (t )2t 1t , v (5)t11,tt即在 5，5 t 的一段時(shí)間內(nèi)平均速度為 (t 11)米秒 v(t)=S limS1t ) 2t 1tlim(2 tt 0t 0即 v(5)2×5111. 物體在 t5 秒時(shí)的瞬時(shí)速度是11 米秒例 4利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y= 1 在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)。x解析：111xy1y=11 x, =1,1 xxx (1 1 x ) limy11.

3、= lim1 x(11x)2x 0xx 0例 5已知函數(shù) f(x)=x2 sin 1x0求函數(shù)在點(diǎn)0處的導(dǎo)數(shù)x,f(x)x0x0解析：由已知 f(x)=0，即 f(x)在 x=0 處有定義， y=f(0+x)f(0)= ( x)2 sin1,y = x sin 1y = lim1x,limx sin=0,即 f (0) 0.xxx 0xx0x函數(shù) f(x)在 x 0處導(dǎo)數(shù)為 0.1 ( x21)x 1例 6已知函數(shù) f(x)=2, 判斷 f(x)在 x1 處是否可導(dǎo)？1 ( x 1)x12y1 (1x) 2 1 11 x)解析： f(1)=1,limlim2xlim (11 ,x0xx 0x

4、02y1 (1x1)11 , limyylimlim2lim,xxxx 0xx 02x 0x 0 函數(shù) y=f(x)在 x 1 處不可導(dǎo)例 7已知函數(shù) y 2x3 3，求 y.解析： y=2x3+3,3+332··2+2(3y=2(x+ x)(2x +3)=6xx+6x (x)x) ,y =6x2+6x· x+2(x)2, y= limy =6x2.xx0x例 8已知曲線 y2x33 上一點(diǎn) P， P 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 x 1，求點(diǎn) P 處的切線方程和法線方程解析： x=1, y=5, P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1, 5),利用例 7 的結(jié)論知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 y=6x2,y 6,

5、 曲線在 P 點(diǎn)處的切線方程為 y56(x1)|x 1即 6xy10, 又曲線在 P 點(diǎn)處法線的斜率為1 ，曲線在 P 點(diǎn)處法線方程為 y5 16，即6yx310.6( x 1)例 9拋物線 yx2 在哪一點(diǎn)處切線平行于直線y4x 5？解析：y= limy= lim( x x)2x22x ,xx 0x 0x令 2x4 x=2, y 4, 即在點(diǎn) P(2，4)處切線平行于直線 y4x 5.例 10設(shè) mt0，f(x) 在 x0 處可導(dǎo)，求下列極限值f ( x0m x) f ( x0 )f (x0x )f (x0 )(1)lim； (2) limt.x0xx 0x解析：要將所求極限值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)f

6、(x0 )定義中的極限形式。(1)limf ( x0m x)f ( x0 ) = limf (x0 m x)f ( x0 )( m)m f '( x0 ) ,x0xx 0m x（其中 m· x0）f ( x0x ) f ( x0 )f (x0x)(2) limt= limtxxx 0x 0t（其中 1 x0 ）t例 11設(shè)函數(shù) f(x)在 x1處連續(xù)，且 lim f (x)x 1x1解析： f(x)在 x1處連續(xù)， limf ( x)x1f (x0 ) 11f '(x ) .tt02 ，求 f (1).f(1).而又 lim f (x)lim( xf ( x)lim(

7、 x1) limf (x)×2=0.1)0x 1x 1x 1x 1x 1 x 1 f(1)=0. f (1)= limf (1x) f (1)lim f ( x)f (1)2 （將x 換成 x1）x 0xx 1x1即 f (1)2.例 12已知拋物線 yax2+bx+c (a0)，通過(guò)點(diǎn) (1，1)，且在點(diǎn) (2，1)處與直線yx3 相切，求 a， b， c 的值y22解析：由 y lim= lima( x x) b( xx) c(axbxc)2ax b ,xx 0x0x由函數(shù)在點(diǎn) (2， 1)處與直線 y x 3 相切 , 2a×2b1，又函數(shù)過(guò)點(diǎn) (1， 1)，(2，

8、1), abc=1， 4a 2bc 1，由三式解得 a 3， b 11， c=9.例 13設(shè)曲線 y sinx 在點(diǎn) A(6， 1 )處切線傾斜角為 ，求 tan()的值 .24解析： y=sinx，y=sin(x+x)sinx=2cos(x+x )sinx ,22y2cos(xx)sinxxsinx y= lim= lim22lim cos(xlim2cosx .xx)xx 0x 0x02x02即 y(sinx) cosx,令在 A 點(diǎn)處切線斜率為 k=cos=3, tan=3, (0, ),622 ) 1tan13 tan(2743H，41tan132例 14設(shè) f(x)是定義在 R 上的

9、函數(shù)，且對(duì)任何 x1、x2R，都有 f(x1x2)=f(x1)f(x2 )，若 f(0)0，f (0)1，證明：對(duì)任何 xR，都有 f(x)=f (x)解析：由 f(x1 x0)=f(x1)f(x2)，令 x1 x20 得 f(0) f(0)f(0), 又 f(0) 0 f(0)=1由 f (0)=1 即 lim f ( x) f (0)lim0f ( x) 1 1,x 0xxx f (x)limf ( xx)f ( x)lim0f (x) f ( x) f ( x)f (x) lim0f ( x) 1f ( x) .x0xxxxx即 f (x)=f(x)成立2幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 1已知 f

10、(x)=x3，求 f (x)，f (1)，(f(1) ，f ( 0.5)解析： f(x)=x3, f (x)3x2, f (1)=3,f ( 0.5)3×(0.5)2= 0.75，(f(1) =(1) =0.說(shuō)明：導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)要弄清區(qū)別與聯(lián)系 后者是導(dǎo)函數(shù)的某一函數(shù)值，因此在求函數(shù)某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)時(shí)可先求導(dǎo)函數(shù)，再直接求導(dǎo)函數(shù)值例 2已知曲線 y=x2 上有兩點(diǎn) A(1, 1), B(2, 4)，求 割線 AB 的斜率；在 1 ，1x內(nèi)的平均變化率；過(guò)點(diǎn) A 處的切線斜率 kAT； 點(diǎn) A 處的切線方程解析： kAB 41 3；21 平均變化率yf (1x) f (1) (1

11、x)21xxx2 x , y2x , y|x12. 即點(diǎn) A 處的切線斜率為 KAT 2. 點(diǎn) A 處的切線方程為 y12(x1)即 2xy10.說(shuō)明：通過(guò)本例搞清割線斜率， 區(qū)間上平均變化率， 某點(diǎn)處切線斜率與某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，再次驗(yàn)證了導(dǎo)數(shù)與平均變化率之間的關(guān)系y=.limyx 0x例 3利用導(dǎo)數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)公式兩種方法求曲線 y=1 在點(diǎn) P(1， 1)處的切線傾斜x角及該點(diǎn)處的法線方程解析：解法一： f(x)= 1,y=f(1+x)f(1)=11x,yx11x1 x y|x=1 limlim1.= x 0x =x 0 1x即在點(diǎn) P 處斜率為 k 1， 傾斜角為 135

12、76;，法線方程 y1x1 即 x y 0.解法 二： 1，y=f(x)=1,x=1 1.( )y=f(x)x2y|x即在點(diǎn) P 處切線斜率為 k=1，以下同法 (一)說(shuō)明：求導(dǎo)致方法有兩種， 一種是利用導(dǎo)致定義法求導(dǎo)數(shù)， 第二種用導(dǎo)數(shù)公式，要注意題目要求，若無(wú)聲明，用最簡(jiǎn)單的方法即可例 4已知曲線 y= 3 x 上的一點(diǎn) P(0， 0)，求過(guò)點(diǎn) P 的切線方程 .解析：由 y=33x )'1,在 x=0 處導(dǎo)數(shù)不存在，由圖形知x , y=(33 x2過(guò) P 點(diǎn)的切線方程是 x=0.例 5設(shè)曲線 ycosx 在 A(，3 )點(diǎn)處的切線傾斜角為 ，求 cot( )的值624解析： y=c

13、osx, y=sinx, x=時(shí), k=sin6= 1, tan = 1 ，62211tan111 cot( )=21tan1.4tan()13423例 6求曲線 yx 在點(diǎn) (3，27)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積32解析：y=x , y =3x , y|x=3=27, 曲線 y=x3 在點(diǎn) (3， 27)處的切線方程為 y2727(x3),即 y27x 54. 其與 x 軸， y 軸交點(diǎn)分別為 (2，0)， (0， 54) 切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S=1×2×5454.2例 7在拋物線 yx2 上取橫坐標(biāo)為 x11 及 x23 的兩點(diǎn)，作過(guò)這兩點(diǎn)的割線，問(wèn)該

14、拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這一割線？解析：已知兩點(diǎn) A(1， 1)B(3，9)，割線斜率為 kAB=4, y2x，令 y =2x 4 得 x2, 即在點(diǎn) (2，4)處切線平行于這一割線3函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)例 1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： y=3x2 xcosx； y= tan x ； y=xtanx2； y=1 .xcos x11解析： y=6x+cosxxsinx；x(tan x)'xtan x( x)'xsec2xtan x； y=x2x2 y= xsin x2(x cos x sin x) cos x ( xsin x2) ( sin x)cos x,y=cos2 xsin

15、 x(cos x2)x=cos2 x. y=x1111x 1 , y=( x 1)2 .1 x( x 1)2例 2已知函數(shù) f(x)=x37x+1，求 f (x)，f (1)， f (1.5).3 2 1 解析： f(x)=x 7x+1, y=f (x)=3x 7, f (1)= 4， f (1.5)= .注意：導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系， 函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)處的函數(shù)值例 3已知函數(shù) yx3 ax2 4 a 的導(dǎo)數(shù)為 0 的 x 值也都使 y 值為 0，求常數(shù) a 的3值解析： y=3x2+2ax, 令 y =0,則 3x2+2ax=0, x1=0, x2= 2 a, 3當(dāng) x=

16、0 時(shí)， y=0= 4 a， a=0，即 a 0 滿足條件 ,3當(dāng) x= 2 a 時(shí) y0=8 a34 a24 a 得 a0 或 a ±332793檢驗(yàn)知 a±3 不滿足條件， 常數(shù)的值為 0.例 4曲線 y x2 4x 上有兩點(diǎn) A(4， 0)，B(2，4)，求 割線 AB 的斜率 kAB； 過(guò)點(diǎn) A 處的切線斜率 kA； 點(diǎn) A 處的切線方程。解析：割線 AB 的斜率 kAB= 40 =2；2 4 y=2x+4， y|x=4= 4，即 kA=4； 過(guò) A 點(diǎn)的切線方程為 y0 4(x4)，即 y 4x16.例 5已知 F(x)=f(x)g(x)，就下列兩種情形判斷F(x

17、)在 x x0 處是否可導(dǎo)？ f(x)在 x x0 處可導(dǎo)， g(x)在 x x0 處不可導(dǎo) f(x)，g(x)在 xx0 處均不可導(dǎo)解析： F(k)在 xx0 處不可導(dǎo)假設(shè) F(x)在 x x0 處可導(dǎo)，由 F(x)=f(x) g(x), g(x)F(x)f(x). f(x)在 xx0 處可導(dǎo)， g(x)在 x=x0 處可導(dǎo)，與條件 g(x)在 x x0 處不可導(dǎo)矛盾， F(x)在 x x0 處不可導(dǎo) F(x)在 x x0 處不一定可導(dǎo)如設(shè) f(x)=sinx+ 1 , g(x)=cosx 1 , 則 f(x)，g(x)在 x0 處均不可導(dǎo)，xx但 F(x)=f(x)+g(x)sinxcos

18、x 在 x0 處可導(dǎo)另：若 g(x)=tanx+ 1 上，在 x0 處不可導(dǎo)，xF(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+ 2 在 x0 處也不可導(dǎo)x例 6曲線 y x3x 1 上求一點(diǎn) P，使過(guò) P 點(diǎn)切線與直線 y=4x 7 平行解析： y =(x3x1) 3x2 1，由過(guò) P 點(diǎn)切線與直線 y4x 7 平行， 令 3x21 4 得 x±1，當(dāng) x=1 時(shí)， y=1，此時(shí)切線為 y 1 4(x 1)，即 y 4x3 與直線 y4x7平行， P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，1)。當(dāng) x 1 時(shí)， y 3，此時(shí)切線為 y3=3(x1)，即 y4x1 也滿足條件， P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 1，

19、3).綜上得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，1)或(1， 3).例 7證明：過(guò)拋物線 ya(xx1)(xx2), (a 0， x1 x2 )上兩點(diǎn) A(x1，0)， B(x2，0)的切線傾斜角互補(bǔ)解析： y =2axa(x1+ x2).y '|x x1a( x1x2 ) ,即11x2a(x222x1),k =a(x), y ' |x x1x1 ) , 即 k =a(x k1 =k2， 兩切線傾斜角互補(bǔ)例 8已知曲線 y=f(x)及 y=f(x)sinax，(a0)，其中 f(x) 0，且為可導(dǎo)函數(shù)， 求證：兩曲線在公共點(diǎn)處彼此相切解析：由 f(x)=f(x)sinax, f(x)>

20、0， sinax=1，ax=2k+(kZ),22k2 ，設(shè)曲線交點(diǎn) (x0 0 ， 即2kx=02.a, y )x =a又兩曲線 y1=f(x)，1=f(x)，y1，2=f(x)sinax+a·cosx·f(x)y=f(x)sinax yy1 '| x x0f '(x0 ) ,y2 '|x x0f '(x0 )sin(2 k)af ( x0 ) cos(2k) f '( x0 ) ,22 k1 =k2，即兩曲線在公共點(diǎn)處相切 .例 9已知直線 ykx 與曲線 yx33x22x 相切，求 k 的值解析：由 y=3x26x+2=k, 又由

21、 kx=x33x2+2x， 3x36x2+2x=x3 3x2+2x,即 2x3 3x2 0 得 x10 或 x2= 3 k2 或 1 244復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2例 1函數(shù) y (sinx2) 3是由函數(shù) y，u，v=三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成2v=x2 .解析：答案分別為： y=u 3 ,u=sinv.例 2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 y=(x2 +2x)3； y= e5 4x2； y=3ax2bx c ； y(sinx2) 3； 1x2)；y33；cos5x； y=xn+y ln(xx lig xy=, (xR , n R).解析：23， y=3(x22·sin 2x22.y

22、=( x +2x)+2x)(2x+2)=6(x+1)( x +2x) y=5 4 x25 4 x2··5 4x2e, y=e(8x)=8x e.32122 y=axbxbxx) 3 ·(2ax+b).c , y= (ax31, y= 122xcos x2 y=(sinx2) 3(sin x2 )3 ·cosx2·2x=.333 (sin x2 )2 y ln(x 1x2), y=1(12x) =1.x1 x22 1 x21 x23323313223233 y xlig ·x+x·3(ex ).x, y=3xliglig e=

23、3x ligx+x lig e=x ligx y= cos5x , sin 2x(cos5 x)'(sin 2x)cos5 x (sin 2x)'5sin 5x sin 2x 2cos5 x cos 2x.y=(sin 2x)2(sin 2x)2nln x nn ln xn ln x11nnxn 1 y=x= (e )e,=en· ·.yx=nx =x說(shuō)明：本例集中訓(xùn)練常見(jiàn)函數(shù)求導(dǎo)公式， 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則， 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等，這些要反復(fù)熟記 ·22例 3求函數(shù) f(x)=(xa) ( xb)axb 的導(dǎo)數(shù)。x0a或 xb解析： f (x)=2

24、( xa)( xb)( xb)( xa)a x b0x,a或 x b2( xa)( x b)(2x ab)a x b f (x)=0xa或 xb例 4若 f(x)=xln(x 5)， g(x)ln( x1),解不等式 f (x)>g(x).解析： f (x)=1+1(1,由(，有x, gx)=xf x)>g(x)511+11即(x3)20 , x>5 或 x<1.>,(x 5)(x1)x5x 1又兩函數(shù)定義域?yàn)閤>5,所以，不等式 f (x)>g(x)的解集為 (5， ).說(shuō)明：求導(dǎo)數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)還要注意原函數(shù)定義域例 5證明：可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)。

25、解析： 法一：定義法：設(shè) f(x)為可導(dǎo)奇函數(shù)，則f(x) f(x),f ( xx)f ( x) f ( x x) f ( x) f (x)= limxlimxx0x0= lim f (xx)f ( x) =f (x).x0x即 f (x)=f (x)導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù) . 法二：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè) f(x)為可導(dǎo)奇函數(shù)，則 f(x) f(x)，兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得： f (x) =f (x)即 f (x) f x),( f (x)f (x) f (x)為偶函數(shù)，即命題成立同理可證：可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)例 6石頭落在平靜水面上，產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波半徑增大速度總是am/s，問(wèn)在 b 秒末波

26、擾動(dòng)水面積的增大速度是多少？解析：設(shè) b 秒末最外一圈波紋的半徑為R，則 R=ab,2，又 Ra，S R2S|R=ab=2R·R(t)|R=ab=2ab.22即 b 秒末波擾動(dòng)水面積的增大率為2ab m /s.例 7將水注入錐形容器中， 其速度為 4 米 3/分，設(shè)錐形容器的高為 8 米，頂口直徑為 6 米，求當(dāng)水深為 5 米時(shí)，水面上升的速度 (如圖 )解析：設(shè)注入水 t 分鐘后，水深為 h 米，由相似三角形對(duì)應(yīng)過(guò)之比可得水面直徑為3 h 米，4這時(shí)水的體積溫 V= 1( 3h)2·h=3h3 ，由于水面高3864度 h 隨時(shí)間 t 而變化，因此 h 是 t 的函數(shù) hh

27、(t)，由此可得水的體積關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為 Vt Vh·t， Vt (3h3 )'h '9h2 h '，h=t64t64由假設(shè)，注水的速度為4 米 3分9h2 h 't464, Vt=t =4, 即 h=9264h 當(dāng) h5米時(shí)，水面上升的速度為h|h=5= 256(米/分).2255函數(shù)的單調(diào)性和極值1求函數(shù) yex x 1 的單調(diào)區(qū)間xxx1>0得 x>0，即函數(shù)在 (0, +)上為增函數(shù)；解析：y=(e x+1)=e1,由 e由 ex 1<0 得 x<0，即函數(shù)在 (， 0)上為減函數(shù) 函數(shù)的單增區(qū)間為 (0， )，單減區(qū)

28、間為 (， 0).例 2證明：函數(shù) y 2x x2 在區(qū)間 (0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間 (1，2)上單調(diào)遞減解析：y= 1x,2xx2當(dāng) x(0， 1)時(shí)， y>0， f(x)在(0， 1)上遞增；當(dāng) x(1， 2)時(shí)， y<0， f(x)在(1， 2)上遞減例 3討論函數(shù) y=x 2sinx 在(0，2)內(nèi)的單調(diào)性 . y=12cosx, x(0,2)，由 y>0，得<x<5即y=f(x)在( ,5內(nèi)是,)3333單調(diào)遞增；同理，由 y<0，得 0<x<或5，33<x<25 y=f(x) 在 (0,3)和(, 2)內(nèi)都是單調(diào)遞減。

29、3例 4設(shè) f(x)x21ax(a0)，求a的范圍，使函數(shù)f(x)在 ，上是單(0)調(diào)函數(shù)解析： f (x)=xa ，當(dāng) x(0, + )時(shí)， 0<x<1,x2x211 a 0，且 f(x)在(0， )上是單調(diào)函數(shù)，則必有 f (x)<0， a1.即 a1 時(shí)，函數(shù) f(x)在 (0， )上是單調(diào)函數(shù)例 5已知函數(shù) f(x) alg(2 ax ) (a0 且 a1)在定義域 (0， 1)上是減函數(shù)，求 a 的取值范圍解析：定義域要求 2ax>0, x< 2 , 又函數(shù)在 (0, 1)上都有意義， a 2 1， a2, alg(2ax )1lg(2ax )1， y=

30、ln alog10 e ( a)alg aa2axx2alg a0lg a0由 y<0，得2或x2，xa0a0若 0<a<1,則 lga<0,x22與定義域 x(0, 1)矛盾，a>0，則 x>>22a2 只有 a>1，此時(shí) lga>0,x 1<a2.a<0, x< <2,a例 6當(dāng) x0 時(shí)，證明不等式xln(1x)x1xx1解析：設(shè) f(x)=x)=1ln(1x) ,1ln(11 xx則 f (x)=11x,x)21 x(1x)2(1當(dāng) x>0 時(shí)， f (x)=x<0,即f(x)在 ，上是遞減函數(shù)，

31、(1x)2(0)又當(dāng) x 0 時(shí)， f(0)0 f(x)<f(0),即 xln(1 x) <0,xln(1x) .1x1x令 g(x) ln(1 x)x,g(x) 11x1x1x當(dāng) x>0 時(shí)， g(x)<O， g(x)也為減函數(shù)，又當(dāng) x 0 時(shí)， g(x) 0， g(x)<g(0). ln( 1 x)x0 即 ln(1x)<x.xln(1 )x x1 x例 7右圖是函數(shù) yx3x2 5x5 的圖象，試結(jié)合圖形說(shuō)明函數(shù)的極值情況：解析： f (x)=3x2+2x5=(3x+5)(x1),令 f (x)=0, 得 x1= 5 , x2=1，3 x= 5 和

32、x1 是 f(x)可能的極值點(diǎn)，35又由圖象可以看出，f()比它臨近點(diǎn)的函數(shù)值大，f(1) 比它臨近點(diǎn)的函數(shù)值要小， f( 5 )，f(1)分別是函數(shù)的極大值和極小值， 除此之外，沒(méi)有其它極值點(diǎn)3例 8設(shè)函數(shù) f(x)ax3bx2cx，在 x1 與 x 1 處有極值，且 f(1) 1，求f(x)表達(dá)式 .解析： f(x) ax3 bx2 cx， f (x)=3ax2+2bx+c, x( , +)，由已加 f(x)在 x=一 1 與 x1 時(shí)有極值 f (1) f (1)0， 又 f(1) 1，3a2bc0 3a2bc0 ，解得 a= 1, b=0, c= 3.abc221 f(x)= 1 x3

33、 3 x.22例 9已知 f(x)=x2c，且 g(x)=ff(x)=f(x2 1)，設(shè) (x)g(x) f(x)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù) ，使 (x)在 (， 1)上是減函數(shù)，并且在 (1，0)上是增函數(shù)22222解析：由 ff(x) f( x 1)得 (x c) c (x 1) 1，得 c 1，42(x) g(x)f(x)x (2 )x(2 )是連續(xù)函數(shù)，(x)2x(2x22)由 (x)在(， 1)上是減函數(shù)，且在 (1， 0)上是增函數(shù)， (x)|x= 1=(1)=0， =4，即存在實(shí)數(shù) 4，使 (x)滿足條件說(shuō)明：本題若用函數(shù)單調(diào)性定義太繁！6函數(shù)的最大值和最小值例 1求函數(shù) f(x)5x2 x 34 x 的值域 .解析：由x 30 得 f(x)的定義域?yàn)?3 x4，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f(x)在區(qū)4 x 0間 3, 4上的最值問(wèn)題。yf (x) 511x 32,4 x在 3，4上 f (x) 0 恒成立 , f(x)在 3，4上單調(diào)遞增 當(dāng) x 3 時(shí) ymin 157 ， 當(dāng) x=4 時(shí) ymax7，=20 2 函數(shù)的值域?yàn)?157 ，202 7