學案11導數及其運算

1、(1)了解導數概念的實際背景了解導數概念的實際背景.(2)通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義.(3)能根據導數的定義求函數能根據導數的定義求函數y=C(C為常數為常數),y=x,y= ,y=x2,y=x3,y=x的導數的導數.(4)能利用以下給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單能利用以下給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數函數的導數.常見的基本初等函數的導數公式常見的基本初等函數的導數公式:(C)=0(C為常數為常數);(xn)=nxn-1(nN+);(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;(ex)=ex

2、;(ax)=axlna(a0,且且a1);(lnx)= ;(logax)= logae(a0,且且a1).常用的導數運算法則常用的導數運算法則:法則法則1:u(x)v(x)=u(x)v(x).法則法則2:u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x).法則法則3: (v(x)0).x1x1x1)x(v)x(v)x(u)x( v)x(u)x( v)x(u2 1.導數的幾何意義是高考考查的重點內容導數的幾何意義是高考考查的重點內容,常以選擇常以選擇題、填空題的形式出現，有時也出現在解答題中題、填空題的形式出現，有時也出現在解答題中. 2.導數的運算每年必考導數的運算每年必考,一般不單獨考查一

3、般不單獨考查,在考查導在考查導數應用的同時考查導數的運算數應用的同時考查導數的運算.1.導數的概念若函數若函數y=f(x)在在x0處的增量處的增量y與自變量的增量與自變量的增量x的比的比值值,當當x0時的極限時的極限lim = 存在存在,則稱則稱f(x)在在x0處可導處可導,并稱此極限值為函數并稱此極限值為函數f(x)在在x0處的處的導數導數,記為記為 或或 .x0 x xy y y|x=x x x) )f f( (x x- -x x) )f f( (x xl li im m0 00 00 0 x x f(x0) 02.導函數如果函數如果函數y=f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導

4、內每一點都可導,就就 說說f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內可導內可導,其導數也是開區(qū)間其導數也是開區(qū)間(a,b)內的函內的函數數,又稱作又稱作f(x)的導函數的導函數,記作記作 或或 .3.函數f(x)在x0處的導數函數函數f(x)的導函數的導函數f(x)在在x=x0處的函數值處的函數值 即為即為函數函數f(x)在在x0處的導數處的導數.4.導數的幾何意義(1)設函數設函數f(x)在在x0處可導處可導,則它在該點的導數等于函數所則它在該點的導數等于函數所表示的曲線在相應點表示的曲線在相應點M(x0,y0)處的處的 .(2)設設s=s(t)是位移函數是位移函數,則則s(t0)表示物體在表示物體在

5、t=t0時刻時刻的的 .f(x) y f(x0) 切線的斜率切線的斜率 瞬時速度瞬時速度 (3)設設v=v(t)是速度函數是速度函數,則則v(t0)表示物體在表示物體在t=t0時刻時刻的的 .5.常用的導數公式C= (C為常數為常數);(xm)= (mQ);(sinx)= ;(cosx)= ;(ex)= ;(ax)= ;(lnx)= ;(logax)= .6.導數的運算法則f(x)g(x)=f(x)g(x),Cf(x)=Cf(x)(C為常數為常數),加速度加速度0 mxm-1 cos x -sinx exaxlnax x 1 1logae x x 1 1f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(

6、x)g(x),7.復合函數求導的運算法則一般地一般地,設函數設函數u=(x)在點在點x處有導數處有導數ux= (x),函數函數y=f(u)在在u處有導數處有導數yu=f(u),則復合函數則復合函數y=f(x)在點在點x處也有導數處也有導數,且且y x=_= .0).0).(g(x)(g(x)(x)(x)g g(x)(x)g gf(x)f(x)- -(x)g(x)(x)g(x)f fg(x)g(x)f(x)f(x)2 2f(u)(x) yuux用定義法求下列函數的導數用定義法求下列函數的導數.(1)y=x2; (2)y= .2x4【分析【分析】先求先求 ，再求其，再求其x0時的極限時的極限.xy

7、 【解析【解析】 (1)= =2x+x,y=lim =lim(2x+x)=2x.(2)y= =- , =-4 ,lim =lim -4 = .xf(x)-x)f(xxy xx-x)(x22 xx-xx2xx222 x0 xy x022x4-x)(x4 22x)(xxx)x(2x4 xy 22x)(xxx2x x0 xy x022x)(xxx2x 3x8x xy y 利用導數定義求函數的導數應分三步：利用導數定義求函數的導數應分三步：求函數增求函數增量量y;求平均變化率求平均變化率 ;求極限求極限lim .x0 x xy y 用定義求函數用定義求函數y=f(x)= 在在x=1處的導數處的導數.

8、x1y=f(1+x)-f(1)21xylim)1(f)x11(x11xy)x11(x1x)x11(x1x11x1x111-x110 x (1)f（x）=ax3+3x2+2,若若f (-1)=4,則則a= .(2)已知已知f（x)=x2,g（x)=x3,若若f（x)-g(x)=-2,則則x= .(3)函數函數y=xcosx-sinx的導數為的導數為 .應用導數公式和導數的運算法則求解應用導數公式和導數的運算法則求解. （1）f(x)=3ax2+6x,f(-1)=3a-6=4,a= .(2)f(x)=2x,g(x)=3x2,f(x)-g(x)=2x-3x2=-2,整理得整理得3x2-2x-2=0,

9、x= .(3)y=(xcosx)-(sinx)=xcosx+x(cosx)-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.310371 求下列函數的導數：求下列函數的導數：(1) y= ;(2) y= ;(3)y=xex;(4)y=tanx. xx111xxln【解析【解析】(1)y .(2)y= xx111xx 12121-x-x 2121-x-x2321 x2121 x22ln1ln)(ln)ln(xxxxxxxxxxx (3)y=xex+x(ex)=ex+xex=ex(x+1).(4)y= 222cos1cos)sin(sincoscoscos)(cossincos)(sin)

10、cossin(xxxxxxxxxxxxx 求下列函數的導數求下列函數的導數:(1)y=sin(2x+ ); （2）y=e2x-sinxcosx. 形如形如f(ax+b)型函數的導數型函數的導數,可用復合函數的可用復合函數的求導法則求導法則.3 求下列函數的導數求下列函數的導數:(1)y= ;(2)y=sin2(2x+ );4 43x)3x)- -(1(11 13 3(1)設設u=1-3x,y=u-4.則則yx=yuux=-4u-5(-3)= .(2)設設y=u2,u=sinv,v=2x+ ,則則yx=yuuvvx=2ucosv2=4sin(2x+ )cos(2x+ )=2sin(4x+ ).5

11、 53 3x x) )- -( (1 11 12 23 3 3 3 3 3 3 3 2設函數設函數f（x）=g（x）+x2，曲線，曲線y=g（x）在點（）在點（1，g（1）處的切線方程為）處的切線方程為y=2x+1，則曲線，則曲線y=f（x）在點）在點（1，f（1）處切線的斜率為）處切線的斜率為( )A.4 B. C.2 D.【分析【分析】利用導數的幾何意義解題利用導數的幾何意義解題.【解析【解析】由條件知由條件知g(1)=2,又又f(x)=g(x)+x2=g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=2+2=4.故應選故應選A.41 21 曲線在某點處切線的斜率即為該點處的導數曲線在某點處切線的斜

12、率即為該點處的導數.在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy中中,點點P在曲線在曲線C:y=x3-10 x+3上上,且在第二象限內且在第二象限內,已知曲線已知曲線C在點在點P處的切線斜率為處的切線斜率為2,則點則點P的坐標為的坐標為 . 由由y=x3-10 x+3，得，得y=3x2-10，由曲線由曲線C在點在點P處的切線的斜率為處的切線的斜率為2，y=3x2-10=2，即即x2=4，又點，又點P在第二象限，在第二象限，x=-2，又點，又點P在曲線在曲線C上，上，y=（-8）+20+3=15，則點則點P的坐標為（的坐標為（-2，15）.設函數設函數f（x)=ax- ,曲線曲線y=f（x)在點（在點

13、（2，f（2)）處的）處的切線方程為切線方程為7x-4y-12=0.（1）求）求f（x)的解析式；的解析式；（2）證明：曲線）證明：曲線y=f（x)上任一點處的切線與直線上任一點處的切線與直線x=0和直線和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.【分析【分析】由導數的幾何意義求出由導數的幾何意義求出a,b，則解析式可求；，則解析式可求；由三角形面積公式，求切點橫坐標由三角形面積公式，求切點橫坐標. xb【解析【解析】【解析【解析】1.2010年高考課標全國卷年高考課標全國卷曲線曲線y=x3-2x+1在點（在點（1，0）處的切線方程為處的切線方程為 (

14、 )A.y=x-1 B.y=-x+1C.y=2x-2 D.y=-2x+22.2010年高考遼寧卷年高考遼寧卷已知點已知點P在曲線在曲線y= 上，上，為為曲線在點曲線在點P處的切線的傾斜角，則處的切線的傾斜角，則的取值范圍是的取值范圍是( )A. B. C. D. 14 xe 4, 0 2,4 43,2 ,43【解析【解析】 1.A（由題可知，點（由題可知，點（1，0）在曲線）在曲線y=x3-2x+1上，求導可得上，求導可得y=3x2-2,所以在點（所以在點（1，0）處的切線的斜率）處的切線的斜率k=1,切線過點（切線過點（1，0），根），根據直線的點斜式可得過點（據直線的點斜式可得過點（1，0）的曲線）的曲線y=x3-2x+1的切線