數(shù)列與極限1-3ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的概念一、函數(shù)極限的概念二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)1.自變量自變量 函數(shù)的極限函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.0 xx 例1 設(shè)有函數(shù) 。定點 。不難看出，當 ，對應的函數(shù)值 無限接近于5 然而，譬如說對于函數(shù) 12 xxf20 x0 xx 2, 12, 12xxxxg或者對于函數(shù) , 2, 12 xxxh不難看出，當 時，對應的函數(shù)值 或者 依然無限接近于常數(shù)50 xx xg xh 21fxx 例2 設(shè)有函數(shù) ，定點 ，不難看出

2、，當 時，對應的函數(shù)值的絕對值無限制地增大，不能無限接近于任何一個確定的常數(shù) 11 xxf10 x0 xx 11 xxf定義1 設(shè)函數(shù) 在點 的一個去心領(lǐng)域 內(nèi)有定義。如果當 時，函數(shù)值 無限接近于某個確定的常數(shù)A,那么就稱當 時函數(shù) 的極限是A，亦稱函數(shù) 在點 的極限是A，記為 xf0 x 0 xu0 xx xf0 xx xf xf0 x ;lim00 xxAxfAxfxx 或或者者如果這樣的常數(shù)A不存在，就稱當 時函數(shù) 沒有極限，亦稱函數(shù) 在點 處沒有極限，習慣上也常常表達為 不存在。0 xx xf xf0 x xfxx0lim定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的一個左領(lǐng)域內(nèi)有定義。的一

3、個左領(lǐng)域內(nèi)有定義。如果當如果當 時，函數(shù)值時，函數(shù)值 無限接近于某確定無限接近于某確定的常數(shù)的常數(shù)A,那么稱為那么稱為 時，函數(shù)時，函數(shù) 的左極限是的左極限是A，亦稱函數(shù)，亦稱函數(shù) 在點在點 處的左極限是處的左極限是A,記為記為 xf0 x 0 xx xf 0 xx xf xf0 x AxfAxfxx 00lim或或者者定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的一個右領(lǐng)域內(nèi)有定義。的一個右領(lǐng)域內(nèi)有定義。如果當如果當 時，函數(shù)值時，函數(shù)值 無限接近于某確定無限接近于某確定的常數(shù)的常數(shù)A,那么稱為那么稱為 時，函數(shù)時，函數(shù) 的右極限是的右極限是A，亦稱函數(shù)，亦稱函數(shù) 在點在點 處的右極限是處的右極限是

4、A,記為記為 xf0 x 0 xx xf 0 xx xf xf0 x AxfAxf0 xx0 或或者者lim左極限與右極限稱為單側(cè)極限左極限與右極限稱為單側(cè)極限.2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo0,( ),2.xxyf xyA 當當 在在 的的去去心心 鄰鄰域域時時 函函數(shù)數(shù)圖圖形形完完全全落落在在以以直直線線為為中中心心線線寬寬為為的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf2. 與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 有有關(guān)關(guān).,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 000: lim( )

5、()().xxf xAf xf xA 定定理理.lim0不不存存在在驗驗證證xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim11x .sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放2.自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當xxxf

6、x 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:定義定義3 記為記為在無窮遠處的極限是在無窮遠處的極限是，并稱函數(shù)，并稱函數(shù)極限是極限是的的時，函數(shù)時，函數(shù)，那么，就稱當，那么，就稱當?shù)某?shù)的常數(shù)無限接近于某個確定無限接近于某個確定時，函數(shù)值時，函數(shù)值當當。如果。如果大于某一正數(shù)時有定義大于某一正數(shù)時有定義當當設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),AxfAxfxAxfxxxf lim.xfxAfxA x 或或者者類似于函數(shù)類似于函數(shù) 在在 處的左、右極限，我們有處的左、右極限，我們有 xf0 x定義定義4 記記為為限限是是的的極極時時，函函數(shù)數(shù)值值，那那么么就就稱稱當當常常數(shù)數(shù)無無限限接接近近于于某某個個確確定定的

7、的時時，函函數(shù)數(shù)值值，如如果果當當大大于于某某一一正正數(shù)數(shù)時時有有定定義義當當設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),AxfxAxfxxxf lim;xfxAfxA x 或或者者 記記為為限限是是的的極極時時，函函數(shù)數(shù)值值，那那么么就就稱稱當當常常數(shù)數(shù)無無限限接接近近于于某某個個確確定定的的時時，函函數(shù)數(shù)值值，如如果果當當小小于于某某一一負負數(shù)數(shù)時時有有定定義義當當設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),AxfxAxfxxxf lim.xfxAfxA x 或或者者定義類似地，我們有定義類似地，我們有 AxfAxfAxfxxx limlimlim且且的的充充分分必必要要條條件件是是命題命題2例例6 1011lim0,0 xxfxxyyxx 由由于

8、于當當時時，函函數(shù)數(shù)值值無無限限接接近近于于 ，所所以以有有以以及及直直線線是是曲曲線線的的一一條條水水平平 漸漸近近線線. :.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當Axfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3.幾何解釋幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時時或或當當 AyxfyXxXx Axxys

9、in 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 X1 , ,0 ,1 X取取時時恒恒有有則則當當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定定理理 若若在在某某個個過過程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過過程程的的一一個個時時刻刻, ,在在此此時時刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.推論推論0000lim( ), lim( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xAg xBABxU xf xg x 設(shè)設(shè)且且則則有有3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) )0000lim( ), lim( ).0,(, ),( )( ),.xxxxf xAg xBxU xf xg xAB 設(shè)設(shè)若若有有則則000lim( ),0(0),0,(, ),( )0( )0).xxf xAAAxU xf xf x 若若且且或或則則當當時時或或定理定理( (保號性