力矩及物體的平衡

1、1.2 力矩及物體的平衡力矩及物體的平衡在在門門 位置位置上施力，上施力，門門很容易很容易轉動轉動。ABC轉軸 OOOO（1） （2） （3） 。（1）當力的作用點和方向固定時，施力 ，物體轉動的效果越明顯。（2）當作用方向相同時，力作用點離支點 ，可以用越小的施力，產生相同的轉動效果。（3）當力的作用點固定時，施力的方向和物體的夾角越接近 度，可以用越小的施力產生相同的轉動效果。用力臂用力臂來說來說明施力的明施力的作用點作用點和和方向對轉動方向對轉動效果影效果影響響(1)(1)力臂：力臂： 到到 的垂直距的垂直距離離，符，符號號 。(2)(2)力臂的意力臂的意義義： 在施力大小相同在施力大小

2、相同時時，力臂越大者，力臂越大者越越容易容易轉動轉動。 施力的方向施力的方向與杠桿與杠桿的的夾角夾角越小越小時時，力臂，力臂 。 (3)(3)找力臂程序找力臂程序: : ； ； 。LDOP 若DL 甲2DL 乙D2L丙0L丁 , , LLLL乙甲丙丁垂 直 與 杠 桿 的 施 力力 臂 最 大轉 動 效 果 最 好O欲施力欲施力將將一一圓圓柱（柱（r=10cmr=10cm）推上）推上樓梯樓梯，如，如圖圖：標標出物出物體轉動體轉動時時的的轉軸轉軸（支（支點點）位置。）位置。如如圖圖的四的四個個力力F F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4，其力臂依序，其力臂依序為為： L L1 1

3、cmcm；L L2 2 cm cm , ,L L3 3 cm cm ；L L4 4 cmcm 。OL2L41.1.力矩的定力矩的定義義：符符號號 ，是有方向性的物理量是有方向性的物理量， 以以 與與 的乘的乘積積衡量物衡量物體體的的轉動轉動效果效果。M2.2.力矩的公式：力矩的公式：力臂施力力矩MFL3.3.力矩的力矩的單位單位：力矩的單位： N.m牛頓.米4.4.轉動轉動的的觀觀察察OO 順時針力矩 逆時針力矩5.5.范范例解例解說說如圖如圖，F(xiàn) F1 1、F F2 2、F F3 3對杠桿對杠桿施力，施力，則則：若以若以A A為轉軸為轉軸，可能造成，可能造成順順時針轉動時針轉動的是的是 。若

4、以若以B B為轉軸為轉軸，可能造成逆，可能造成逆時針轉動時針轉動的是的是 。若以若以C C為轉軸為轉軸，可能造成逆，可能造成逆時針轉動時針轉動的是的是 。ACBF1F3F21F3F1F2F1F3FLF FL MFL sin F1F2MF1LFL sin 10 1.20 1. 2.MMMMMMM順順逆逆合力矩或不轉動順時針力矩和逆時針力矩和不轉動或勻速轉動必轉動順時針力矩和逆時針力矩和向順時針方向轉動順時針力矩和逆時針力矩和向逆時針方向轉動F合合0M順順M逆逆F合合0 M順順M逆逆(1)(1)穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡當物體稍稍偏離平衡位置時，有一個力或力矩使之回當物體稍稍偏離平衡位置時，有一個力或力矩使

5、之回到平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡。到平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡。處于穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時一般是勢能增加。處于穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時一般是勢能增加。(2)(2)不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡當物體稍稍偏離平衡位置時，有一個力或力矩使它當物體稍稍偏離平衡位置時，有一個力或力矩使它的偏離繼續(xù)增大，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡。的偏離繼續(xù)增大，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡。處于不穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時一般是勢能處于不穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時一般是勢能減小。減小。(3)(3)隨遇平衡隨遇平衡當物體稍稍偏離平衡位置時，它所受的力或力矩不當物體稍稍偏離平衡位置時，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，它能夠

6、在新的位置上再次平衡，這樣的平發(fā)生變化，它能夠在新的位置上再次平衡，這樣的平衡叫隨遇平衡。衡叫隨遇平衡。處于隨遇平衡的物體偏離平衡位置時勢能一般不變。處于隨遇平衡的物體偏離平衡位置時勢能一般不變。 當質點受到外界的擾動稍微偏離平衡位置以后，當質點受到外界的擾動稍微偏離平衡位置以后，如果所受合外力指向平衡位置，則此質點的平衡是穩(wěn)如果所受合外力指向平衡位置，則此質點的平衡是穩(wěn)定的；如果所受的合外力背離平衡位置，則此質點的定的；如果所受的合外力背離平衡位置，則此質點的平衡是不穩(wěn)定的：如果所受的合外力為零，則質點處平衡是不穩(wěn)定的：如果所受的合外力為零，則質點處于隨遇平衡狀態(tài)。于隨遇平衡狀態(tài)。 對于有支

7、軸的剛性物體，當它受外界擾動而偏對于有支軸的剛性物體，當它受外界擾動而偏離平衡位置時，如果外力會引起一個回復力矩，此離平衡位置時，如果外力會引起一個回復力矩，此力矩有把物體拉回到原平衡位置的傾向，則稱物體力矩有把物體拉回到原平衡位置的傾向，則稱物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；如果外力會引起一推斥力矩，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；如果外力會引起一推斥力矩，它有把物體推離原平衡位置的傾向，則稱物體處于它有把物體推離原平衡位置的傾向，則稱物體處于不穩(wěn)定狀態(tài)；如果物體所受合力矩仍為零，則稱物不穩(wěn)定狀態(tài)；如果物體所受合力矩仍為零，則稱物體處于隨遇平衡狀態(tài)。體處于隨遇平衡狀態(tài)。 對受重力和支持力作用而平衡的物體（包括質對受重

8、力和支持力作用而平衡的物體（包括質點和剛體兩種），判斷其平衡種類時，?？捎弥匦狞c和剛體兩種），判斷其平衡種類時，?？捎弥匦纳捣?。即若使物體稍微偏離平衡位置，如其重心升降法。即若使物體稍微偏離平衡位置，如其重心升高，則為穩(wěn)定平衡；若物體稍微偏離平衡位置后升高，則為穩(wěn)定平衡；若物體稍微偏離平衡位置后其重心降低，則為不穩(wěn)定平衡；而若物體偏離平衡其重心降低，則為不穩(wěn)定平衡；而若物體偏離平衡位置后其重心高度不變，則為隨遇平衡。位置后其重心高度不變，則為隨遇平衡。 具有支面的物體平衡時，物體所重力的作用線具有支面的物體平衡時，物體所重力的作用線一定在支面內，如果偏離平衡位置后，重力作用線一定在支面內，如

9、果偏離平衡位置后，重力作用線仍在支面內，物體就能回到平衡位置，屬于穩(wěn)定平仍在支面內，物體就能回到平衡位置，屬于穩(wěn)定平衡；但如果物體傾斜較大時，重力的作用線超出支衡；但如果物體傾斜較大時，重力的作用線超出支面，重力的力矩會使物體繼續(xù)遠離原來的位置，即面，重力的力矩會使物體繼續(xù)遠離原來的位置，即原來的平衡被破壞，利用這一點，常能為處理平衡原來的平衡被破壞，利用這一點，常能為處理平衡種類的一些問題找到解題的突破口。種類的一些問題找到解題的突破口。1.1.有固定轉軸平衡問題有固定轉軸平衡問題1.均勻板重均勻板重300 N，裝置如圖，裝置如圖，AO長長4 m，OB長長8 m，人重人重500 N，繩子能承

10、受的最大拉力為，繩子能承受的最大拉力為200 N，求：，求：人能在板上安全行走的范圍。人能在板上安全行走的范圍。 C A O 30 B 8m4m2m C A O 30 B C A O 30 B G1G2x12mG1x1G2 2G1G22mx2FTG1x2G2 2 FT sin 308x11.2mx20.4m2.如如左圖勻質直角尺重為左圖勻質直角尺重為2G，C端為水平軸，不計端為水平軸，不計摩擦，當摩擦，當BC部分處于水平靜止時，試求加在部分處于水平靜止時，試求加在A端的最端的最小作用力。小作用力。 A C B A C B G L2G LGFGF 2L3.如如圖所示，一根均勻直棒圖所示，一根均勻

11、直棒AB，A端用光滑鉸鏈端用光滑鉸鏈固定于頂板上，固定于頂板上，B端擱在一塊表面粗糙的水平板上，端擱在一塊表面粗糙的水平板上，現(xiàn)設板向上運動而棒現(xiàn)設板向上運動而棒AB勻速轉動，則木板對棒的彈勻速轉動，則木板對棒的彈力如何變化？力如何變化？ A B GFNFf 4.如圖，如圖，均勻細桿均勻細桿AB質量為質量為M，A端裝有轉軸，端裝有轉軸，B端端連接細線通過光滑滑輪和質量為連接細線通過光滑滑輪和質量為m的重物的重物C相連，若桿相連，若桿AB呈水平，細線與水平方向夾角為呈水平，細線與水平方向夾角為 時恰能保持靜止，時恰能保持靜止，則則M與與m的關系的關系是是_，桿對軸桿對軸A的作用力大小的作用力大小

12、為為_。 A B C 5.如圖，如圖，光滑水平面上有一長木板，一均勻桿質光滑水平面上有一長木板，一均勻桿質量為量為m，上端鉸于，上端鉸于O點，下端擱在板上，桿與板間的點，下端擱在板上，桿與板間的動摩擦因數(shù)為動摩擦因數(shù)為 1/2，桿，桿與豎直方向成與豎直方向成45 角角，則：，則：（1）為使板向右勻速運）為使板向右勻速運動，向動，向右的水平拉力右的水平拉力F應應多多大？大？（2）為使板向左勻速運）為使板向左勻速運動，動，向向左的水平拉力左的水平拉力F應多大？應多大？ O F 6.（第十屆全國預賽）半徑為（第十屆全國預賽）半徑為R，質量，質量為為m1的均勻圓球與一質量為的均勻圓球與一質量為m2的重

13、物的重物分別用細繩分別用細繩AD和和ACE懸掛于同一點懸掛于同一點A，并處于平衡。如圖所示，已知懸點并處于平衡。如圖所示，已知懸點A到到球心球心O的距離為的距離為L，若不考慮繩的質量，若不考慮繩的質量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角和豎直方向的夾角。 7.（第六屆預賽）有（第六屆預賽）有6個完全相同的剛性長條薄片個完全相同的剛性長條薄片AiBi（i=1，2），其兩端下方各有一個小突起，薄片及突），其兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的質量均不計，現(xiàn)將此起的質量均不計，現(xiàn)將此6個薄片架在一只水平的碗口個薄片架在一只水平的碗口上，使每個薄片一端的

14、小突起上，使每個薄片一端的小突起B(yǎng)i恰在碗口上，另一端小恰在碗口上，另一端小突起突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將質量為示，若將質量為m的質點放在薄片的質點放在薄片A6B6上一點，這一點與此薄片中點上一點，這一點與此薄片中點的距離等于它與小突起的距離等于它與小突起A6的距離，的距離，則薄片則薄片A6B6中點所受的（由另一薄中點所受的（由另一薄片的小突起片的小突起A1所施的）壓力。所施的）壓力。 2.2.桿秤專題桿秤專題8.如圖所示，如圖所示，c為桿秤秤桿系統(tǒng)的重心，為桿秤秤桿系統(tǒng)的重心，a為桿稱的定為桿稱的定盤星，證明：無論稱桿的粗

15、細如何變化，桿秤的刻度盤星，證明：無論稱桿的粗細如何變化，桿秤的刻度沿桿軸線的方向總是均勻分布的。沿桿軸線的方向總是均勻分布的。 9.（第九屆預賽）有一水果店，所用的秤是吊盤式桿（第九屆預賽）有一水果店，所用的秤是吊盤式桿秤，量程為秤，量程為10千克現(xiàn)有一較大的西瓜，超過此秤的千克現(xiàn)有一較大的西瓜，超過此秤的量程店員量程店員A找到另一秤砣，與此秤砣完全相同，把找到另一秤砣，與此秤砣完全相同，把它與原秤砣結在一起，作為秤砣進行稱量平衡時，它與原秤砣結在一起，作為秤砣進行稱量平衡時，雙跎位于雙跎位于6.5千克處他將此讀數(shù)乘以千克處他將此讀數(shù)乘以2得得13千克，作千克，作為此西瓜的質量，賣給顧客店員

16、為此西瓜的質量，賣給顧客店員B對這種稱量結果對這種稱量結果表示懷疑為了檢驗，他取另一西瓜用單秤砣正常表示懷疑為了檢驗，他取另一西瓜用單秤砣正常稱量得稱量得8千克用店員千克用店員A的雙秤砣法稱得讀數(shù)為的雙秤砣法稱得讀數(shù)為3千克，千克，乘以乘以2得得6千克由此證明了店員千克由此證明了店員A的辦法是不可靠的辦法是不可靠的試問：店員的試問：店員A賣給顧客的那個西瓜的實際質量。賣給顧客的那個西瓜的實際質量。3.3.一般物體平衡問題一般物體平衡問題hBCA（第一屆全國決賽），如圖所示，有一長為（第一屆全國決賽），如圖所示，有一長為L，重，重為為G0的粗細均勻桿的粗細均勻桿AB，A端頂在豎直的粗糙的墻壁上，

17、端頂在豎直的粗糙的墻壁上，桿端和墻壁間的摩擦因數(shù)為桿端和墻壁間的摩擦因數(shù)為，B端用一強度足夠大且端用一強度足夠大且不可伸長的繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁不可伸長的繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁C點，木點，木桿處于水平，繩和桿夾角為桿處于水平，繩和桿夾角為。（1）求桿能保持水平時，）求桿能保持水平時，和和應滿足的條件；應滿足的條件；（2）若桿保持平衡狀態(tài)時，在桿上某一范圍內，）若桿保持平衡狀態(tài)時，在桿上某一范圍內，懸掛任意重的重物，都不能破壞懸掛任意重的重物，都不能破壞桿的平衡狀態(tài)而在這個范圍以桿的平衡狀態(tài)而在這個范圍以外，則當重物足夠重時，總可外，則當重物足夠重時，總可以使平衡破壞，求出這個范圍

18、來。以使平衡破壞，求出這個范圍來。CABtanLdL1cot4.4.重心、質心求解重心、質心求解半徑半徑R=30cm的均勻圓板上挖出一個半徑的均勻圓板上挖出一個半徑r=15cm的內切圓板，如圖所示，求剩下部分的的內切圓板，如圖所示，求剩下部分的重心。重心。 如圖所示是一個均勻三角形割去一個小三角形如圖所示是一個均勻三角形割去一個小三角形AB C ，而，而B C /BC，且，且 AB C 的面積為原三的面積為原三角形面積的角形面積的1/4 ，已知，已知BC邊中線長度為邊中線長度為L，求，求剩下部分剩下部分BCC B 的重心。的重心。 一薄壁圓柱形燒杯一薄壁圓柱形燒杯, ,半徑為半徑為R,R,質量

19、為質量為m,m,重心位于中心重心位于中心線上線上, ,離杯底的高度為離杯底的高度為H,H,今將水慢慢注入燒杯中今將水慢慢注入燒杯中, ,問燒問燒杯連同杯中的水共同重心最低時水面離杯底的距離是杯連同杯中的水共同重心最低時水面離杯底的距離是多少？多少？( (設水的密度為設水的密度為)2222RmHRmmh5.5.飛檐專題飛檐專題如圖所示，磚長為如圖所示，磚長為L，每放一塊磚，就向外伸出，每放一塊磚，就向外伸出L/8，求最多放多少層？求最多放多少層？有三塊密度均勻、完全相同的磚有三塊密度均勻、完全相同的磚,長為長為L,采用如圖所采用如圖所示的方法疊放在水平桌面上示的方法疊放在水平桌面上,使每塊磚壓著

20、下面的磚使每塊磚壓著下面的磚并伸出一部分并伸出一部分,則磚能伸出桌面的最大長度為則磚能伸出桌面的最大長度為_. 6.6.二力桿專題二力桿專題如圖所示，每側梯長為如圖所示，每側梯長為L的折梯置于鉛垂平面內，已的折梯置于鉛垂平面內，已知知A、B兩處與地面間的動摩擦因數(shù)分別為兩處與地面間的動摩擦因數(shù)分別為 A=0.2， B=0.6，C點用光滑的鉸鏈連接，不計梯重，求人最點用光滑的鉸鏈連接，不計梯重，求人最多能爬多高。多能爬多高。 請問一鎖鏈由請問一鎖鏈由2n個相同的鏈環(huán)組成個相同的鏈環(huán)組成,各鏈環(huán)間光滑連各鏈環(huán)間光滑連接接,鏈環(huán)兩段掛在水平鐵絲上鏈環(huán)兩段掛在水平鐵絲上,鏈環(huán)與鐵絲間的靜摩擦鏈環(huán)與鐵絲

21、間的靜摩擦因數(shù)為因數(shù)為u試求鏈環(huán)處于臨界平衡狀態(tài)時試求鏈環(huán)處于臨界平衡狀態(tài)時,末端鏈環(huán)與豎末端鏈環(huán)與豎直方向間的夾角直方向間的夾角? 如圖所示，一根細長棒上端如圖所示，一根細長棒上端A處用鉸鏈與天花板相連，處用鉸鏈與天花板相連，下端用鉸鏈與另一細棒相連，兩棒的長度相等，兩棒下端用鉸鏈與另一細棒相連，兩棒的長度相等，兩棒限以圖示的豎直平面內運動，且不計鉸鏈處的摩擦，限以圖示的豎直平面內運動，且不計鉸鏈處的摩擦，當在當在C端加一個適當?shù)耐饬Γㄔ诩埫鎯龋┛墒箖砂羝蕉思右粋€適當?shù)耐饬Γㄔ诩埫鎯龋┛墒箖砂羝胶庠趫D示的位置處，即兩棒間的夾角為衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為90 ，且，且C端端正好在正好

22、在A端的正下方。端的正下方。（1）不管兩棒的質量如何，此外力只）不管兩棒的質量如何，此外力只可能在哪個方向的范圍內？說明道理可能在哪個方向的范圍內？說明道理（不要求推算）。（不要求推算）。（2）如果）如果AB棒的質量為棒的質量為m1，BC棒的棒的質量為質量為m2，求此外力的大小和方向。，求此外力的大小和方向。 一架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在一架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻的最大靜摩擦因豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻的最大靜摩擦因數(shù)分別為數(shù)分別為1、2 . 求梯子能平衡時與地面所成的最小求梯子能平衡時與地面所成的最小夾角。夾角。 1

23、2121arctan7.7.多處摩擦力專題多處摩擦力專題如圖所示如圖所示,繞線輪繞線輪c重重W=1000N,用細線與重用細線與重G=500N物物A相連相連,已知物體已知物體A與接觸面的摩擦因數(shù)為與接觸面的摩擦因數(shù)為0.5 , 輪輪C與與接觸面的摩擦因數(shù)為接觸面的摩擦因數(shù)為0.2，且，且r=5cm,R=10cm,不計滑不計滑輪摩擦與繩重求維持平衡的最大重量輪摩擦與繩重求維持平衡的最大重量P. 8.8.平衡種類的判斷平衡種類的判斷一塊厚度為一塊厚度為h的均勻長方形物塊，靜止地放在半徑為的均勻長方形物塊，靜止地放在半徑為R的半圓柱頂上，如圖，設摩擦系數(shù)足夠大，長方形的半圓柱頂上，如圖，設摩擦系數(shù)足夠大，長方形物塊與柱面不發(fā)生滑動。求此靜止位置為穩(wěn)定平衡的物塊與柱面不發(fā)生滑動。求此靜止位置為穩(wěn)定平衡的條件。條件。有一玩具蹺板，如圖所示，試討論它的穩(wěn)定性（不考有一玩具蹺板，如圖所示，試討論它的穩(wěn)定性（不考慮桿的質量）慮桿的質量）一根質量為一根質量為m的均勻桿，長為的均勻桿，長為L，處于豎直的位置，處于豎直的位置，一端可繞固定的水