第五講全等三角形和角平分線(綜合、拔高)

1、 第五講 全等三角形與角平分線 (綜合與拔高)一選擇題（共10小題）1如圖四邊形ABCD中，ADBC，BCD=90°，AB=BC+AD，DAC=45°，E為CD上一點(diǎn)，且BAE=45°若CD=4，則ABE的面積為（）ABCD2如圖，點(diǎn)P為定角AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且MPN與AOB互補(bǔ)，若MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A4B3C2D13如圖，在RtABC中，C=90°，以頂點(diǎn)A為圓

2、心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則ABD的面積是（）A15B30C45D604如圖，AD是ABC中BAC的角平分線，DEAB于點(diǎn)E，SABC=7，DE=2，AB=4，則AC長(zhǎng)是（）A3B4C6D55如圖，在ABC中，ABC=50°，ACB=60°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，ABC的平分線BD與ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是（）ABAC=70°BDOC=90°CBDC=35°DDAC=55&#

3、176;6如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)7如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分別為A，B下列結(jié)論中不一定成立的是（）APA=PBBPO平分APBCOA=OBDAB垂直平分OP8如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物

4、中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有（）A1處B2處C3處D4處9如圖，在ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，則三個(gè)結(jié)論AS=AR；QPAR；BPRQSP中（）A全部正確B僅和正確C僅正確D僅和正確10如圖，AOB=30°，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（）A4B3C2D1二填空題（共10小題）11如圖，已知ABEACF，E=F=90°，CMD=70°，則2= 度12已知ABC中，AB=BCAC，作與ABC只有一條公共邊，且與ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出 個(gè)13AB是四邊形AC

5、BE的對(duì)角線，AB=AC，過點(diǎn)C作CDAE交BE于D若AE=DE，ACD=45°，BD=1，CD=5，則AE= 14如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，ABOADO下列結(jié)論：ACBD；CB=CD；ABCADC；DA=DC其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 15如圖，AB=12，CAAB于A，DBAB于B，且AC=4m，P點(diǎn)從B向A運(yùn)動(dòng)，每分鐘走1m，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走2m，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng) 分鐘后CAP與PQB全等16如圖，ABC中，C=90°，CA=CB，點(diǎn)M在線段AB上，GMB=A，BGMG，垂足為G，MG與BC相交于點(diǎn)H若MH=8cm，則BG= c

6、m17如圖，已知在ABC中，A=90°，AB=AC，CD平分ACB，DEBC于E，若BC=15cm，則DEB的周長(zhǎng)為 cm18在RtABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，則D到邊AB的距離是 19如圖，已知RtABCRtDEC，連結(jié)AD，若1=20°，則B的度數(shù)是 20如圖，ABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BCA路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P和Q分別以每秒1cm和3cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P

7、和Q作PEl于E，QFl于F則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 時(shí)，PEC與QFC全等三解答題（共15小題）21如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)（1）直線BF垂直于CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖l），求證：AE=CG；（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段（不需要添加輔助線），并說明理由22如圖，已知ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)

8、過1秒后，BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說明理由（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使BPD與CQP全等？23已知ABC，點(diǎn)D、F分別為線段AC、AB上兩點(diǎn)，連接BD、CF交于點(diǎn)E（1）若BDAC，CFAB，如圖1所示，試說明BAC+BEC=180°；（2）若BD平分ABC，CF平分ACB，如圖2所示，試說明此時(shí)BAC與BEC的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，若BAC=60°，試說明：EF=ED24如圖，四邊形ABCD中，B=90°，ABCD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分BAD，DM平分ADC求證：（1）AMDM；（2）M為

9、BC的中點(diǎn)25如圖，已知1=2，P為BN上的一點(diǎn)，PFBC于F，PA=PC求證：PCB+BAP=180°26如圖1，OA=2，OB=4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰RtAPD，過D作DEx軸于E點(diǎn)，求OPDE的值27如圖1，ABC的邊BC在直線l上，ACBC，且AC=BC；EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（1）示例：在圖1中，通過觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分

10、別是 、 （2）將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ請(qǐng)你觀察、測(cè)量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 、 （3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP、BQ你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由28如圖，ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M（1）求證：FMC=FCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由29如圖，ABC中，BA

11、C=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點(diǎn)E在ABC外有一點(diǎn)F，使FAAE，F(xiàn)CBC（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME求證：MEBC；DE=DN30問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)且EAF=60°探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 ；探索延伸：如圖2，

12、若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離31如圖，在ABC中，ACB=90°

13、，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作ADAB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且ACF=CBG求證：（1）AF=CG；（2）CF=2DE32如圖，點(diǎn)E是AOB的平分線上一點(diǎn)，ECOA，EDOB，垂足分別為C、D求證：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD；（3）OE是線段CD的垂直平分線33如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長(zhǎng)34四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，ADC+B=180°求證：2AE=AB+AD3

14、5如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=90°，B=E=30°（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定ABC，使DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是 ；設(shè)BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 （2）猜想論證當(dāng)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DEAB交BC于點(diǎn)E（如圖4）若在射線BA上存在點(diǎn)F，

15、使SDCF=SBDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)參考答案與試題解析一選擇題（共10小題）1如圖四邊形ABCD中，ADBC，BCD=90°，AB=BC+AD，DAC=45°，E為CD上一點(diǎn)，且BAE=45°若CD=4，則ABE的面積為（） ABCD【解答】解：如圖取CD的中點(diǎn)F，連接BF延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于G，作FHAB于H，EKAB于K作BTAD于TBCAG，BCF=FDG，BFC=DFG，F(xiàn)C=DF，BCFGDF，BC=DG，BF=FG，AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，AB=AG，BF=FG，BFAF，ABF=G=CBF，F(xiàn)HBA，F(xiàn)CBC，F(xiàn)

16、H=FC，易證FBCFBH，F(xiàn)AHFAD，BC=BH，AD=AH，由題意AD=DC=4，設(shè)BC=TD=BH=x，在RtABT中，AB2=BT2+AT2，（x+4）2=42+（4x）2，x=1，BC=BH=TD=1，AB=5，設(shè)AK=EK=y，DE=z，AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，42+z2=2y2，（5y）2+y2=12+（4z）2由得到2510y+2y2=58z+z2，代入可得z=代入可得y=（負(fù)根已經(jīng)舍棄），SABE=×5×=，故選D2如圖，點(diǎn)P為定角AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且MPN與AOB互補(bǔ)，若MPN在繞點(diǎn)P旋

17、轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（） A4B3C2D1【解答】解：如圖作PEOA于E，PFOB于FPEO=PFO=90°，EPF+AOB=180°，MPN+AOB=180°，EPF=MPN，EPM=FPN，OP平分AOB，PEOA于E，PFOB于F，PE=PF，在POE和POF中，POEPOF，OE=OF，在PEM和PFN中，PEMPFN，EM=NF，PM=PN，故（1）正確，SPEM=SPNF，S四邊形PMON=S

18、四邊形PEOF=定值，故（3）正確，OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值，故（2）正確，MN的長(zhǎng)度是變化的，故（4）錯(cuò)誤，故選B3如圖，在RtABC中，C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則ABD的面積是（） A15B30C45D60【解答】解：由題意得AP是BAC的平分線，過點(diǎn)D作DEAB于E，又C=90°，DE=CD，ABD的面積=ABDE=×15×4=30故選B4如圖，AD是ABC中BAC的

19、角平分線，DEAB于點(diǎn)E，SABC=7，DE=2，AB=4，則AC長(zhǎng)是（） A3B4C6D5【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的角平分線，DEAB，DE=DF，由圖可知，SABC=SABD+SACD，×4×2+×AC×2=7，解得AC=3故選：A5如圖，在ABC中，ABC=50°，ACB=60°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，ABC的平分線BD與ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是（）ABAC=70°BDOC=90°CBDC=35°DDAC=55°【解答

20、】解：ABC=50°，ACB=60°，BAC=180°ABCACB=180°50°60°=70°，故A選項(xiàng)正確，BD平分ABC，ABO=ABC=×50°=25°，在ABO中，AOB=180°BACABO=180°70°25°=85°，DOC=AOB=85°，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；CD平分ACE，ACD=（180°60°）=60°，BDC=180°85°60°=35°，故C選項(xiàng)

21、正確；BD、CD分別是ABC和ACE的平分線，AD是ABC的外角平分線，DAC=（180°70°）=55°，故D選項(xiàng)正確故選：B6如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（） A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【解答】解：連接CD；ABC是等腰直角三角形，DCB=A=4

22、5°，CD=AD=DB；AE=CF，ADECDF（SAS）；ED=DF，CDF=EDA；ADE+EDC=90°，EDC+CDF=EDF=90°，DFE是等腰直角三角形（故正確）；當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF是正方形（故錯(cuò)誤）；如圖2所示，分別過點(diǎn)D，作DMAC，DNBC，于點(diǎn)M，N，可以利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變（故錯(cuò)誤）；DEF是等腰直角三角形，DE=EF，當(dāng)EFAB時(shí)，AE=CF，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，故EF是ABC的中位線，EF取最小值=2 ，CE=CF=2，此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離

23、為EF=（故正確）；故正確的有2個(gè)，故選：B7如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分別為A，B下列結(jié)論中不一定成立的是（）APA=PBBPO平分APBCOA=OBDAB垂直平分OP【解答】解：OP平分AOB，PAOA，PBOBPA=PBOPAOPBAPO=BPO，OA=OBA、B、C項(xiàng)正確設(shè)PO與AB相交于EOA=OB，AOP=BOP，OE=OEAOEBOEAEO=BEO=90°OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故選D8如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有（）A1處B2處C3處D4處【

24、解答】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；（2）三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)，共三處故選：D9如圖，在ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，則三個(gè)結(jié)論AS=AR；QPAR；BPRQSP中（）A全部正確B僅和正確C僅正確D僅和正確【解答】解：PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，AP=APARPASP（HL）AS=AR，RAP=SAPAQ=PQQPA=SAPRAP=QPAQPAR而在BPR和QSP中，只滿足BRP=QSP=90°和PR=PS，找不到第3個(gè)條件，所以無法得出BPRQSP故本題僅和正確故選B10如圖，AOB=30°，O

25、P平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（） A4B3C2D1【解答】解：過P作PEOA于點(diǎn)E，則PD=PE，PCOBOPC=POD，又OP平分AOB，AOB=30°，OPC=COP=15°，ECP=COP+OPC=30°，在直角ECP中，PE=PC=3，則PD=PE=3故選B二填空題（共10小題）11如圖，已知ABEACF，E=F=90°，CMD=70°，則2=20度【解答】解：AME=CMD=70°在AEM中1=1809070=20°ABEACF，EAB=FAC，即1+CAB=2+CAB，2=1=20

26、°故填2012已知ABC中，AB=BCAC，作與ABC只有一條公共邊，且與ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出7個(gè)【解答】解：以AB為公共邊有三個(gè)，以CB為公共邊有三個(gè)，以AC為公共邊有一個(gè)，所以一共能作出7個(gè)故答案為：713AB是四邊形ACBE的對(duì)角線，AB=AC，過點(diǎn)C作CDAE交BE于D若AE=DE，ACD=45°，BD=1，CD=5，則AE=【解答】解：連接AD，過A分別作DC、BE的垂線，垂足分別為F、G，過E作EHAD于H，AE=DE，ADE=DAE，CDAE，CDA=DAE，ADE=CDA，AGBE，AFCD，AG=AF，AGD=AFD=90°

27、，AD=AD，AGDAFD，DG=FD，AGB=AFC=90°，AB=AC，AGBAFC，ABG=ACD=45°，F(xiàn)AC=45°，F(xiàn)AC=ACF，AF=CF，DC=DF+CF=DF+AF=DG+AG=5，設(shè)DG=t，則AG=5t，AG=BG=5t，BG=BD+DG=1+t，5t=1+t，t=2，DG=2，AG=3，AD=，在ADE中，AE=DE，EHAD，AH=AD=，在RtAEH中，cosDAE=，在RtADG中，cosADE=，AE=14如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，ABOADO下列結(jié)論：ACBD；CB=CD；ABCADC；DA=DC其中所

28、有正確結(jié)論的序號(hào)是【解答】解：ABOADO，AOB=AOD=90°，OB=OD，ACBD，故正確；四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，COB=COD=90°，在ABC和ADC中，ABCADC（SAS），故正確BC=DC，故正確；故答案為15如圖，AB=12，CAAB于A，DBAB于B，且AC=4m，P點(diǎn)從B向A運(yùn)動(dòng)，每分鐘走1m，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走2m，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)4分鐘后CAP與PQB全等【解答】解：CAAB于A，DBAB于B，A=B=90°，設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后CAP與PQB全等；則BP=xm，BQ=2xm，則AP=（12x）m，分兩種情

29、況：若BP=AC，則x=4，AP=124=8，BQ=8，AP=BQ，CAPPBQ；若BP=AP，則12x=x，解得：x=6，BQ=12AC，此時(shí)CAP與PQB不全等；綜上所述：運(yùn)動(dòng)4分鐘后CAP與PQB全等；故答案為：416如圖，ABC中，C=90°，CA=CB，點(diǎn)M在線段AB上，GMB=A，BGMG，垂足為G，MG與BC相交于點(diǎn)H若MH=8cm，則BG=4cm 【解答】解：如圖，作MDBC于D，延長(zhǎng)MD交BG的延長(zhǎng)線于E，ABC中，C=90°，CA=CB，ABC=A=45°，GMB=A，GMB=A=22.5°，BGMG，BGM=90°，GBM

30、=90°22.5°=67.5°，GBH=EBMABC=22.5°MDAC，BMD=A=45°，BDM為等腰直角三角形BD=DM，而GBH=22.5°，GM平分BMD，而BGMG，BG=EG，即BG=BE，MHD+HMD=E+HMD=90°，MHD=E，GBD=90°E，HMD=90°E，GBD=HMD，在BED和MHD中，BEDMHD（AAS），BE=MH，BG=MH=4故答案是：417如圖，已知在ABC中，A=90°，AB=AC，CD平分ACB，DEBC于E，若BC=15cm，則DEB的周長(zhǎng)為

31、15cm【解答】解：CD平分ACBACD=ECDDEBC于EDEC=A=90°CD=CDACDECDAC=EC，AD=EDA=90°，AB=ACB=45°BE=DEDEB的周長(zhǎng)為：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm18在RtABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，則D到邊AB的距離是6【解答】解：BC=15，BD：DC=3：2CD=6C=90°AD平分BACD到邊AB的距離=CD=6故答案為：619如圖，已知RtABCRtDEC，連結(jié)AD，若1=20

32、°，則B的度數(shù)是65°【解答】解：RtABCRtDEC，AC=CD，ACD是等腰直角三角形，CAD=45°，DEC=1+CAD=20°+45°=65°，由RtABCRtDEC的性質(zhì)得B=DEC=65°故答案為：65°20如圖，ABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BCA路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P和Q分別以每秒1cm和3cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PEl于E，QFl于F則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1

33、或時(shí)，PEC與QFC全等【解答】解：如圖1所示；PEC與QFC全等，PC=QC6t=83t解得：t=1如圖2所示：點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，PEC與QFC全等，6t=3t8解得：t=故答案為：1或四解答題（共15小題）21如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)（1）直線BF垂直于CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖l），求證：AE=CG；（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段（不需要添加輔助線），并說明理由【解答】解：（1）點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC，ACB=90°，CDAB，ACD=BCD=

34、45°，CAD=CBD=45°，CAE=BCG，又BFCE，CBG+BCF=90°，又ACE+BCF=90°，ACE=CBG，在AEC和CGB中，AECCGB（ASA），AE=CG；（2）BE=CM理由：CHHM，CDED，CMA+MCH=90°，BEC+MCH=90°，CMA=BEC，又ACM=CBE=45°，在BCE和CAM中，BCECAM（AAS），BE=CM22如圖，已知ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向

35、A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說明理由（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使BPD與CQP全等？【解答】解：（1）經(jīng)過1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，ABC中，AB=AC，在BPD和CQP中，BPDCQP（SAS）（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x3）cm/s，經(jīng)過tsBPD與CQP全等；則可知PB=3tcm，PC=83tcm，CQ=xtcm，AB=AC，B=C，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：當(dāng)BD=PC，BP=CQ時(shí)，當(dāng)BD=CQ，BP=PC時(shí)，兩三角形全等；當(dāng)

36、BD=PC且BP=CQ時(shí)，83t=5且3t=xt，解得x=3，x3，舍去此情況；BD=CQ，BP=PC時(shí)，5=xt且3t=83t，解得：x=；故若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使BPD與CQP全等23已知ABC，點(diǎn)D、F分別為線段AC、AB上兩點(diǎn)，連接BD、CF交于點(diǎn)E（1）若BDAC，CFAB，如圖1所示，試說明BAC+BEC=180°；（2）若BD平分ABC，CF平分ACB，如圖2所示，試說明此時(shí)BAC與BEC的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，若BAC=60°，試說明：EF=ED【解答】解：（1）BDAC，CFAB，DCE+D

37、EC=DCE+FAC=90°，DEC=BAC，DEC+BEC=180°，BAC+BEC=180°；（2）BD平分ABC，CF平分ACB，EBC=ABC，ECB=ACB，BEC=180°（EBC+ECB）=180°（ABC+ACB）=180°（180°BAC）=90°BAC；（3）作BEC的平分線EM交BC于M，BAC=60°，BEC=90°+BAC=120°，F(xiàn)EB=DEC=60°，EM平分BEC，BEM=60°，在FBE與EBM中，F(xiàn)BEEBM，EF=EM，同理D

38、E=EM，EF=DE24如圖，四邊形ABCD中，B=90°，ABCD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分BAD，DM平分ADC求證：（1）AMDM；（2）M為BC的中點(diǎn) 【解答】解：（1）ABCD，BAD+ADC=180°，AM平分BAD，DM平分ADC，2MAD+2ADM=180°，MAD+ADM=90°，AMD=90°，即AMDM；（2）作NMAD交AD于N，B=90°，ABCD，BMAB，CMCD，AM平分BAD，DM平分ADC，BM=MN，MN=CM，BM=CM，即M為BC的中點(diǎn)25如圖，已知1=2，P為BN上的一點(diǎn)，PFBC于F

39、，PA=PC求證：PCB+BAP=180° 【解答】證明：如圖，過點(diǎn)P作PEBA于E，1=2，PFBC于F，PE=PF，PEA=PFB=90°，在RtPEA與RtPFC中，RtPEARtPFC（HL），PAE=PCB，BAP+PAE=180°，PCB+BAP=180°26如圖1，OA=2，OB=4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰RtAPD，過D作DEx軸于E點(diǎn)，求OPDE的值【解答】解：（1）如圖1，過C作CMx軸于M點(diǎn)，

40、MAC+OAB=90°，OAB+OBA=90°，則MAC=OBA，在MAC和OBA中MACOBA（AAS），CM=OA=2，MA=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，2）（2）如圖2，過D作DQOP于Q點(diǎn)，則DE=OQOPDE=OPOQ=PQ，APO+QPD=90°，APO+OAP=90°，QPD=OAP，在AOP和PQD中，AOPPQD（AAS）PQ=OA=2即OPDE=227如圖1，ABC的邊BC在直線l上，ACBC，且AC=BC；EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（1）示例：在圖1中，通過觀察、測(cè)量，

41、猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是AB=AP、ABAP（2）將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ請(qǐng)你觀察、測(cè)量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是BQ=AP、BQAP（3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP、BQ你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）AB=AP，ABAP；（2）BQ=AP，BQAP；（3）成立證明：如圖，EPF=4

42、5°，CPQ=45°ACBC，CQP=CPQ，CQ=CP在RtBCQ和RtACP中，RtBCQRtACP（SAS）BQ=AP；延長(zhǎng)QB交AP于點(diǎn)N，PBN=CBQRtBCQRtACP，BQC=APC在RtBCQ中，BCQ+CBQ=90°，APC+PBN=90°PNB=90°QBAP28如圖，ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M（1）求證：FMC=FCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由【解答】（1）證明：ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，DFAE，DF=AF=E

43、F，又ABC=90°，DCF，AMF都與MAC互余，DCF=AMF，在DFC和AFM中，DFCAFM（AAS），CF=MF，F(xiàn)MC=FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，MFC=90°，F(xiàn)D=FA=FE，F(xiàn)M=FC，F(xiàn)DE=FMC=45°，DECM，ADMC29如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點(diǎn)E在ABC外有一點(diǎn)F，使FAAE，F(xiàn)CBC（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME求證：MEBC；DE=DN 【解答】證明：（1）BAC=90

44、76;，AB=AC，B=ACB=45°，F(xiàn)CBC，BCF=90°，ACF=90°45°=45°，B=ACF，BAC=90°，F(xiàn)AAE，BAE+CAE=90°，CAF+CAE=90°，BAE=CAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），BE=CF；（2）如圖，過點(diǎn)E作EHAB于H，則BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45°，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45°，BEM=45°+45

45、76;=90°，MEBC；由題意得，CAE=45°+×45°=67.5°，CEA=180°45°67.5°=67.5°，CAE=CEA=67.5°，AC=CE，在RtACM和RtECM中，RtACMRtECM（HL），ACM=ECM=×45°=22.5°，又DAE=×45°=22.5°，DAE=ECM，BAC=90°，AB=AC，ADBC，AD=CD=BC，在ADE和CDN中，ADECDN（ASA），DE=DN30問題背景：如

46、圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)且EAF=60°探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+DF；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中

47、心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離【解答】解：?jiǎn)栴}背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立證明如下：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接AG，B+ADC=180°，ADC+ADG=180°，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BA

48、D，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=FG，F(xiàn)G=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，AOB=30°+90°+（90°70°）=140°，EOF=70°，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（90°30°）+（70°+50°）=180°，符合探索延伸中的條件，結(jié)論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=

49、210海里答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里31如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作ADAB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且ACF=CBG求證：（1）AF=CG；（2）CF=2DE 【解答】證明：（1）ACB=90°，CG平分ACB，ACG=BCG=45°，又ACB=90°，AC=BC，CAF=CBF=45°，CAF=BCG，在AFC與CGB中，AFCCBG（ASA），AF=CG；（2）延長(zhǎng)CG交AB于H，CG平分ACB，AC=BC，CHAB，CH平分AB，A

50、DAB，ADCG，D=EGC，在ADE與CGE中，ADECGE（AAS），DE=GE，即DG=2DE，ADCG，CH平分AB，DG=BG，AFCCBG，CF=BG，CF=2DE32如圖，點(diǎn)E是AOB的平分線上一點(diǎn)，ECOA，EDOB，垂足分別為C、D求證：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD；（3）OE是線段CD的垂直平分線 【解答】證明：（1）OE平分AOB，ECOA，EDOB，ED=EC，即CDE為等腰三角形，ECD=EDC；（2）點(diǎn)E是AOB的平分線上一點(diǎn)，ECOA，EDOB，DOE=COE，ODE=OCE=90°，OE=OE，OEDOEC（AAS），OC=OD；（3）OC=OD，且DE=EC，OE是線段CD的垂直平分線33如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長(zhǎng) 【解答】（1）證明