真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)課件

1、真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)上外附屬大境中學(xué)上外附屬大境中學(xué) 趙玉梅趙玉梅 2012年年7月月3日日真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)故事之一：石匠的目標(biāo)v有個(gè)人經(jīng)過(guò)一個(gè)建筑工地，問(wèn)那里的建筑工人們?cè)谧鍪灿袀€(gè)人經(jīng)過(guò)一個(gè)建筑工地，問(wèn)那里的建筑工人們?cè)谧鍪裁?？三個(gè)工人有三個(gè)不同的回答。么？三個(gè)工人有三個(gè)不同的回答。v第一個(gè)工人回答：第一個(gè)工人回答：我正在砌一堵墻。我正在砌一堵墻。v第二個(gè)工人回答：第二個(gè)工人回答：我正在蓋一座大樓。我正在蓋一座大樓。v第三個(gè)工人回答：第三個(gè)工人回答：我正在建造一座城市。我正在建造一座城市。v十年以后，第一個(gè)工人還在砌墻，第二個(gè)工人成了建筑十年以后，第一個(gè)工人還在砌墻，第二個(gè)工人成了建

2、筑工地的管理者，第三個(gè)工人則成了這個(gè)城市的領(lǐng)導(dǎo)者。工地的管理者，第三個(gè)工人則成了這個(gè)城市的領(lǐng)導(dǎo)者。v心靈啟示：思想有多遠(yuǎn)，我們就能走多遠(yuǎn)。心靈啟示：思想有多遠(yuǎn)，我們就能走多遠(yuǎn)。真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)故事之二：笨鳥(niǎo)v在一間無(wú)人居住的房子的窗戶(hù)外，一只不知名的鳥(niǎo)總是每日在一間無(wú)人居住的房子的窗戶(hù)外，一只不知名的鳥(niǎo)總是每日準(zhǔn)時(shí)光顧，它站在窗臺(tái)上，不停地用頭撞擊玻璃，然后總被準(zhǔn)時(shí)光顧，它站在窗臺(tái)上，不停地用頭撞擊玻璃，然后總被撞得落回窗臺(tái)，但它堅(jiān)持不懈，每日總要撞十來(lái)分鐘，爾后撞得落回窗臺(tái)，但它堅(jiān)持不懈，每日總要撞十來(lái)分鐘，爾后又跌回窗臺(tái)，隨即離開(kāi)。又跌回窗臺(tái)，隨即離開(kāi)。v人們好奇心大發(fā)，紛紛猜測(cè)它大

3、概是為了進(jìn)那間房；但是就人們好奇心大發(fā)，紛紛猜測(cè)它大概是為了進(jìn)那間房；但是就在這鳥(niǎo)兒站立的窗臺(tái)旁邊，另外一扇窗戶(hù)是打開(kāi)的，于是得在這鳥(niǎo)兒站立的窗臺(tái)旁邊，另外一扇窗戶(hù)是打開(kāi)的，于是得出結(jié)論：這是只大笨鳥(niǎo)。出結(jié)論：這是只大笨鳥(niǎo)。真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)故事之二：笨鳥(niǎo)v直到有一天，好事者帶來(lái)望遠(yuǎn)鏡，一切才真相大白：窗玻璃直到有一天，好事者帶來(lái)望遠(yuǎn)鏡，一切才真相大白：窗玻璃上粘滿(mǎn)了小飛螢的尸體，鳥(niǎo)兒吃得不亦樂(lè)乎。上粘滿(mǎn)了小飛螢的尸體，鳥(niǎo)兒吃得不亦樂(lè)乎。v心靈啟示：人們總喜歡將自己的思維方式強(qiáng)加于別人，而且心靈啟示：人們總喜歡將自己的思維方式強(qiáng)加于別人，而且自以為是。不要以為我們看不見(jiàn)的東西就不存在。自以

4、為是。不要以為我們看不見(jiàn)的東西就不存在。v我們對(duì)學(xué)習(xí)的理解何嘗不如此？我們對(duì)學(xué)習(xí)的理解何嘗不如此？真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué) 何謂理解v辭海對(duì)理解的定義是“了解、領(lǐng)會(huì)”。v現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典的解釋是“懂，了解”v維基百科自由的百科全書(shū)v理解理解（Understanding），又稱(chēng)為領(lǐng)會(huì)領(lǐng)會(huì)、了解了解、懂懂得得、思維作用思維作用（intellection），是指一種心理過(guò)程，與諸如人、情形或訊息之類(lèi)的某種抽象的或有形的對(duì)象相關(guān)，籍此一個(gè)人能夠?qū)ζ浼右运伎?，并且運(yùn)用概念對(duì)該對(duì)象加以適當(dāng)?shù)奶幚怼理解乃是概念表達(dá)（又稱(chēng)為概念化概念化）的界線。真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)v互動(dòng)百科 理解就是因每個(gè)人的大腦對(duì)事物分析決

5、定的。一種對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，就是通常所說(shuō)的知其然，又知其所以然。一般也稱(chēng)了解或領(lǐng)會(huì)。理解與概念和問(wèn)題都有密切關(guān)系，有時(shí)是互相重疊的。v行為主義把學(xué)習(xí)解釋為刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，認(rèn)為學(xué)習(xí)過(guò)程是一種試誤過(guò)程，在不斷的嘗試與錯(cuò)誤中逐漸形成聯(lián)結(jié) v 現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為理解的實(shí)質(zhì)是學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有信息建構(gòu)內(nèi)部的心理表征、并進(jìn)而獲得心理意義的過(guò)程 v理解是一種多維度的、復(fù)雜的東西。 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)數(shù)學(xué)理解v數(shù)學(xué)理解的界定vHiebert 和Carpenter認(rèn)為：“一個(gè)數(shù)學(xué)的概念或方法或事實(shí)被理解了，如果它成為個(gè)人內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)部分”v李士锜認(rèn)為：“學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、

6、法則，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說(shuō)明是理解了”真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)v（1）對(duì)數(shù)學(xué)概念、規(guī)則或方法的理解，指?jìng)€(gè)體建立了關(guān)于這些觀念的內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)v（2）數(shù)學(xué)理解的水平具有層次性，個(gè)體的差異往往表現(xiàn)為理解水平的差異v（3）數(shù)學(xué)理解是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)和知識(shí)意義的建構(gòu)過(guò)程 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)數(shù)學(xué)理解的意義數(shù)學(xué)理解的意義v從理論研究的角度看，理解與數(shù)學(xué)理解的研究意義從理論研究的角度看，理解與數(shù)學(xué)理解的研究意義體現(xiàn)在它的廣闊包容性和相對(duì)獨(dú)立性體現(xiàn)在它的廣闊包容性和相對(duì)獨(dú)立性 v從個(gè)體發(fā)展的角度看，知識(shí)的理解有助于完善

7、個(gè)體從個(gè)體發(fā)展的角度看，知識(shí)的理解有助于完善個(gè)體大腦內(nèi)部的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，從而推動(dòng)記憶，進(jìn)而又大腦內(nèi)部的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，從而推動(dòng)記憶，進(jìn)而又更易于同化與理解新知識(shí)、新信息，形成一個(gè)良性更易于同化與理解新知識(shí)、新信息，形成一個(gè)良性學(xué)習(xí)過(guò)程。同時(shí)，知識(shí)只有被深刻理解了，才具有學(xué)習(xí)過(guò)程。同時(shí)，知識(shí)只有被深刻理解了，才具有遷移與應(yīng)用的活性，這種遷移能力對(duì)個(gè)體未來(lái)發(fā)展遷移與應(yīng)用的活性，這種遷移能力對(duì)個(gè)體未來(lái)發(fā)展是十分重要的。是十分重要的。 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)數(shù)學(xué)理解的意義數(shù)學(xué)理解的意義v從社會(huì)需求的角度看，信息化社會(huì)和知識(shí)經(jīng)從社會(huì)需求的角度看，信息化社會(huì)和知識(shí)經(jīng)濟(jì)社會(huì)所需要的是那種能不斷學(xué)習(xí)新知識(shí)、濟(jì)社

8、會(huì)所需要的是那種能不斷學(xué)習(xí)新知識(shí)、新技能，能應(yīng)用自己的已有知識(shí)去解決新問(wèn)新技能，能應(yīng)用自己的已有知識(shí)去解決新問(wèn)題的創(chuàng)新人才。題的創(chuàng)新人才。v沃特海梅爾的研究沃特海梅爾的研究:讓兩組學(xué)生對(duì)平行四邊行讓兩組學(xué)生對(duì)平行四邊行面積公式分別展開(kāi)理解法學(xué)習(xí)和死記法學(xué)習(xí)。面積公式分別展開(kāi)理解法學(xué)習(xí)和死記法學(xué)習(xí)。 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)數(shù)學(xué)理解的層次數(shù)學(xué)理解的層次v正向理解正向理解 v變式理解變式理解 v反省理解反省理解 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的路徑促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的路徑v對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解v對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解 v對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解 v對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解

9、對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解v學(xué)習(xí)一個(gè)概念取決于對(duì)它的理解，而理解的含義是對(duì)概念本質(zhì)的把握。v下面從5個(gè)例子看概念理解真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)自然數(shù)自然數(shù)整數(shù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)？NZQR舉例舉例1：揭示概念的背景：揭示概念的背景在新舊聯(lián)系中理解復(fù)在新舊聯(lián)系中理解復(fù)數(shù)數(shù)真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)對(duì)于一元二次方程對(duì)于一元二次方程 沒(méi)有實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根012 x12 x12 ii真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué) （1）； （2） i 形如形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)的數(shù)叫做復(fù)數(shù). 全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做，一般用字母一般用字母 表示表

10、示 .真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)卡盟 卡盟 Microsoft Office PowerPoint，是微軟公司的演示文稿軟件。用戶(hù)可以在投影儀或者計(jì)算機(jī)上進(jìn)行演示，也可以將演示文稿打印出來(lái)，制作成膠片，以便應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域中。利用Microsoft Office PowerPoint不僅可以創(chuàng)建演示文稿，還可以在互聯(lián)網(wǎng)上召開(kāi)面對(duì)面會(huì)議、遠(yuǎn)程會(huì)議或在網(wǎng)上給觀眾展示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出來(lái)的東西叫演示文稿，其格式后綴名為：ppt、pptx；或者也可以保存為：pdf、圖片格式等真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(

11、RbRa 其中其中 稱(chēng)為稱(chēng)為虛數(shù)單位虛數(shù)單位。i000000bababb，非純虛數(shù)，純虛數(shù)虛數(shù)實(shí)數(shù)000000bababb，非純虛數(shù)，純虛數(shù)虛數(shù)實(shí)數(shù)CR 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)復(fù)數(shù)集，虛數(shù)集，實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)集，虛數(shù)集，實(shí)數(shù)集，純虛數(shù)集之間的關(guān)集，純虛數(shù)集之間的關(guān)系？系？思考？思考？復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集虛數(shù)集虛數(shù)集實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集純虛數(shù)集真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)舉例舉例2：要理解概念的實(shí)質(zhì)：要理解概念的實(shí)質(zhì)對(duì)頻對(duì)頻率與概率的理解率與概率的理解v隨機(jī)事件A出現(xiàn)的概率等于事件A所包含的基本事件數(shù)除以試驗(yàn)中所有的基本事件數(shù) v對(duì)于隨機(jī)事件E，如果在次試驗(yàn)中出現(xiàn)了v次（ ），那么 稱(chēng)為事件E出現(xiàn)的v頻數(shù)， 稱(chēng)為事件E出現(xiàn)的

12、頻率。 m0mnmmn真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)挖掘定義的內(nèi)涵v（1）“頻率的穩(wěn)定值就是概率的估計(jì)值頻率的穩(wěn)定值就是概率的估計(jì)值”嗎？嗎？v（2）“隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就越來(lái)越接近隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就越來(lái)越接近于于 概率概率”嗎？嗎？v（3）“用頻率估計(jì)概率，一定要大量重復(fù)試驗(yàn)用頻率估計(jì)概率，一定要大量重復(fù)試驗(yàn)”嗎？嗎？v（4）“必然事件與概率為必然事件與概率為1等價(jià)，不可能事件與概等價(jià)，不可能事件與概率為率為0等價(jià)，隨機(jī)事件的概率大于等價(jià)，隨機(jī)事件的概率大于0而小于而小于1”嗎？嗎？真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)頻率與概率v頻率是隨機(jī)的v概率是一個(gè)客觀存在的常數(shù)真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)舉例舉例3

13、：對(duì)抽象概念的理解要層層深：對(duì)抽象概念的理解要層層深入入“曲線與方程曲線與方程”概念的理解概念的理解v一般地，如果曲線C和方程之間有以下兩個(gè)關(guān)系：v曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程 解；v以方程 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)，此時(shí)，把方程叫做曲線C的方程（the equation of a curve C），曲線C叫做方程的曲線。( , )0F x y ( , )0F x y 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)曲線與方程曲線與方程v1對(duì)曲線與方程概念本質(zhì)的第一層認(rèn)識(shí)對(duì)曲線與方程概念本質(zhì)的第一層認(rèn)識(shí)v2對(duì)曲線與方程概念本質(zhì)的第二層認(rèn)識(shí)對(duì)曲線與方程概念本質(zhì)的第二層認(rèn)識(shí)v3對(duì)曲線與方程概念本質(zhì)的第三層認(rèn)識(shí)對(duì)曲線與方程

14、概念本質(zhì)的第三層認(rèn)識(shí)v4.強(qiáng)化對(duì)強(qiáng)化對(duì)“曲線的方程與方程的曲線曲線的方程與方程的曲線”兩個(gè)兩個(gè)概念的理解概念的理解 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)曲線與方程概念理解曲線與方程概念理解v練習(xí)練習(xí)1 v（1）到兩坐標(biāo)軸距離相等的的點(diǎn)的軌跡的方）到兩坐標(biāo)軸距離相等的的點(diǎn)的軌跡的方程是程是 嗎？為什么？v（2）以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的等腰三角形的底邊的方程是x=0嗎？為什么？0 xy真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)練習(xí)練習(xí)2 (1)寫(xiě)出表示下列圖形(實(shí)線部分)的方程： 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)作下列方程所表示的圖形：1(02)yxx 21yx真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)舉例舉例4：預(yù)設(shè)好問(wèn)題串，深化理解核：預(yù)設(shè)好問(wèn)題串，深化理解核心概

15、念心概念函數(shù)概念的理解函數(shù)概念的理解v問(wèn)題1：下列解析式能表示函數(shù)嗎?v(1)v(2)v(3)1 y)0( xxyxxy 13-真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)問(wèn)題2：下列圖像能作為函數(shù)圖像的是那些？xyOxyOxyOABCDxyO真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)預(yù)設(shè)好問(wèn)題串，深化理解核心概念預(yù)設(shè)好問(wèn)題串，深化理解核心概念函數(shù)概念的理解函數(shù)概念的理解v問(wèn)題3：函數(shù)都有解析式嗎？v問(wèn)題4：函數(shù)都能畫(huà)出圖像嗎？真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué) 函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法 1 主要方法：解析法（公式法）、列表法和圖象法。2 可用“特殊方法”來(lái)表示的函數(shù)。（1）分段函數(shù)）分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來(lái)表示。例如1,0

16、sgn0,01,0 xxxx，（符號(hào)函數(shù)）（借助于Sgnx可表示()|,fxx即( ) |sgnf xxxx）。真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)（2) 符號(hào)函數(shù) 例如 （3) 取整函數(shù) 010001xxxy xy 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)（4）用語(yǔ)言敘述的函數(shù)用語(yǔ)言敘述的函數(shù)。（注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù)）例 ） yx（取整函數(shù)）1,( )0,xD xx當(dāng) 為有理數(shù),當(dāng) 為無(wú)理數(shù),（irichlet）1,( ,( )0,0,1(0,1)ppxp qNqqqR xx當(dāng)為假分?jǐn)?shù)),當(dāng)和內(nèi)的無(wú)理數(shù).（Riemman函數(shù)） ） ） 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)舉例舉例5：巧設(shè)問(wèn)題，適時(shí)追問(wèn)，展示概念的形：巧設(shè)問(wèn)題，適時(shí)

17、追問(wèn)，展示概念的形成過(guò)程成過(guò)程對(duì)三角比定義的理解對(duì)三角比定義的理解v第一步：引入問(wèn)題：任意畫(huà)一個(gè)銳角，能否根據(jù)銳角三角比的定義，借助三角板求出的近似值？v追問(wèn)1：有更好的構(gòu)造法能使計(jì)算更簡(jiǎn)便嗎？v追問(wèn)2：哪條邊畫(huà)成單位長(zhǎng)方便呢？v追問(wèn)3：還有其它三角比嗎？有幾個(gè)？v追問(wèn)4： 中角 有限制范圍嗎？sin真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)第二步：從銳角到任意角的推廣從銳角到任意角的推廣v追問(wèn)1：引進(jìn)直角坐標(biāo)系的作用？v追問(wèn)2：能否使定義的形式比較簡(jiǎn)單？v追問(wèn)3：通過(guò)類(lèi)比，能否借助坐標(biāo)來(lái)定義任意角的正弦值呢？v追問(wèn)4：類(lèi)似地，在直角坐標(biāo)系中，其他的三角比又該如何定義呢？真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)第三步：對(duì)概念獲得的

18、第三步：對(duì)概念獲得的“精致精致”過(guò)程，過(guò)程，也是思維深刻性和批判性的發(fā)展要求也是思維深刻性和批判性的發(fā)展要求v展示概念背景，培養(yǎng)思維的主動(dòng)性v創(chuàng)設(shè)求知情境，培養(yǎng)思維的敏捷性v精確表述概念，培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性v解剖新概念，培養(yǎng)思維的縝密性v分析錯(cuò)解成因，培養(yǎng)思維的批判性真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解注重注重三用，即正著用、變著用、逆著用三用，即正著用、變著用、逆著用 v正用：就是指公式左邊符合兩項(xiàng)和兩項(xiàng)差的乘積條正用：就是指公式左邊符合兩項(xiàng)和兩項(xiàng)差的乘積條件就可直接應(yīng)用，得出簡(jiǎn)潔的結(jié)果件就可直接應(yīng)用，得出簡(jiǎn)潔的結(jié)果v變用：是指將暫時(shí)不能直接利用公式的變形后再利變用：是指將暫

19、時(shí)不能直接利用公式的變形后再利用公式例如：用公式例如： v逆用：是指將公式的條件和結(jié)論互換后的利用公逆用：是指將公式的條件和結(jié)論互換后的利用公式是一個(gè)恒等式（在一定條件下），左右兩邊互換式是一個(gè)恒等式（在一定條件下），左右兩邊互換后仍然成立平方差公式：后仍然成立平方差公式：()()abc abc22()()ab abab真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解平方差公式平方差公式v1、歸納v2、應(yīng)用v3、深化真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)舉例：兩角和與差的正弦、余弦和正切舉例：兩角和與差的正弦、余弦和正切對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解體會(huì)公式體會(huì)公式的內(nèi)在聯(lián)系的內(nèi)在聯(lián)系真正有效的數(shù)學(xué)理

20、解教學(xué)sin()cos() （其中R,）tan() （其中2k2k)(2zkk ） （其中R,）sincoscossincoscossinsintantan1tantansin()sincoscossincos() coscossinsintan()tantan1tantan （其中2k2k)(2zkk ）真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)逆用公式：化簡(jiǎn)下列各式2sin67.5 cos67.522cossin88 22cos11222tan22.51tan 22.5真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解 v正向理解正向理解 ：正確區(qū)分定理的條件和結(jié)論，并能直接利用數(shù)學(xué)定理 v變式理解變式理

21、解 ：能直接創(chuàng)造定理成立的條件來(lái)利用定理解決問(wèn)題v反省理解：反省理解：能夠解決條件開(kāi)放或結(jié)論開(kāi)放的開(kāi)放題，提高學(xué)生的反省理解 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解 v（1）設(shè)計(jì)問(wèn)題有梯度，循序漸進(jìn)，層層深）設(shè)計(jì)問(wèn)題有梯度，循序漸進(jìn)，層層深入入課例課例1與圓錐曲線定義有關(guān)的軌跡問(wèn)題與圓錐曲線定義有關(guān)的軌跡問(wèn)題 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)執(zhí)教：高二執(zhí)教：高二(1)(1)班班201220124 42424與圓錐曲線定義有關(guān)的與圓錐曲線定義有關(guān)的軌跡問(wèn)題的探求軌跡問(wèn)題的探求真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1、若、若F(2,0)且且|MF|=1，則點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡是什么？的軌跡是什么？2、若

22、、若MAB的一邊的一邊AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為6，周長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為16，則，則頂點(diǎn)頂點(diǎn)M的軌跡是什么？的軌跡是什么？3、若線段、若線段AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為6，M為為AB外一點(diǎn)，且外一點(diǎn)，且|MA|-|MB|=4，則點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡是什么？的軌跡是什么？ 4、若點(diǎn)、若點(diǎn)F(1,0)，直線，直線l：x=-1，則過(guò)點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)F且與直且與直線線l相切的圓的圓心的軌跡是什么？相切的圓的圓心的軌跡是什么？真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)探求探求問(wèn)題一：?jiǎn)栴}一：已知?jiǎng)訄A已知?jiǎng)訄AP與圓和圓與圓和圓 都外切，求動(dòng)圓圓心都外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡的軌跡方程方程.221:(5)49Cxy222: (5)1Cxy真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)Pyx

23、OC1 1C2 2問(wèn)題一：?jiǎn)栴}一：已知?jiǎng)訄A已知?jiǎng)訄AP與圓和圓與圓和圓 都外切，求動(dòng)圓圓心都外切，求動(dòng)圓圓心P的軌的軌跡方程跡方程.221: (5)49Cxy222: (5)1Cxy真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)P（1）在問(wèn)題一中，若動(dòng)圓）在問(wèn)題一中，若動(dòng)圓P與圓與圓C2內(nèi)切，內(nèi)切，與圓與圓C1外切，則動(dòng)圓圓心外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是的軌跡方程是什么？什么？拓展拓展PyxOC1 1C2 2yxOC1 1C2 2（2）在問(wèn)題一中，若動(dòng)圓）在問(wèn)題一中，若動(dòng)圓P與圓與圓C1內(nèi)切，與圓內(nèi)切，與圓C2外切，則動(dòng)圓圓心外切，則動(dòng)圓圓心P的的軌跡方程是什么？軌跡方程是什么？ PyxOC1 1C2 2（3）在問(wèn)題

24、一中，若把圓）在問(wèn)題一中，若把圓C1的半徑改為的半徑改為1，那么動(dòng)圓圓心，那么動(dòng)圓圓心P的軌跡又是什么？的軌跡又是什么？（4）上述的結(jié)論是否具有一般性？）上述的結(jié)論是否具有一般性？ 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)探求探求問(wèn)題二：?jiǎn)栴}二：F1 、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是橢圓的中心，點(diǎn)是橢圓的中心，點(diǎn)P是橢圓上不在長(zhǎng)軸上的任是橢圓上不在長(zhǎng)軸上的任意一點(diǎn)，從右焦點(diǎn)意一點(diǎn)，從右焦點(diǎn)F2引引F1 PF2的外角平分線的外角平分線的垂線，求垂足的垂線，求垂足M的軌跡方程的軌跡方程.2214xy真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)yxOF1 1F2 2PMQ問(wèn)題二：?jiǎn)栴}二：F1 、F2是橢圓的是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，

25、兩個(gè)焦點(diǎn)，O是橢圓的中心，點(diǎn)是橢圓的中心，點(diǎn)P是橢圓上不在長(zhǎng)軸上的任意一點(diǎn)，是橢圓上不在長(zhǎng)軸上的任意一點(diǎn)，從右焦點(diǎn)從右焦點(diǎn)F2引引F1 PF2的外角平分的外角平分線的垂線，求垂足線的垂線，求垂足M的軌跡方程的軌跡方程.2214xy真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)練習(xí)練習(xí)練習(xí)練習(xí)1：已知已知F1 、F2是雙曲線是雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是雙曲線的中心，點(diǎn)是雙曲線的中心，點(diǎn)P是是雙曲線上不在實(shí)軸上的任雙曲線上不在實(shí)軸上的任意一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)引意一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)引F1PF2的角平分線的垂的角平分線的垂線，求垂足線，求垂足M的軌跡方程的軌跡方程.22221xyabyxOF1 1F2 2PMQ真正有效的

26、數(shù)學(xué)理解教學(xué)練習(xí)練習(xí)2： 已知一個(gè)橢圓過(guò)點(diǎn)已知一個(gè)橢圓過(guò)點(diǎn)A（-7,0）、）、B（7,0），），一焦點(diǎn)一焦點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為C（2,-12），），求另一焦點(diǎn)求另一焦點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程. 練習(xí)練習(xí)yxOABC真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)問(wèn)題三：?jiǎn)栴}三：動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)到定點(diǎn)F（3 3，0 0）的距離的距離比它到比它到 y 軸的距離大軸的距離大3 3 ，求動(dòng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的的軌跡方程軌跡方程.探求探求yxOFM真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)練習(xí)練習(xí)1：動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)到定點(diǎn)F（3 3，0 0）的距離的距離比它到比它到 y 軸的距離大軸的距離大1 1 ，求動(dòng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的的

27、軌跡方程軌跡方程.練習(xí)練習(xí)練習(xí)練習(xí)2：動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)到定點(diǎn)F（3 3，0 0）的距離的距離比它到比它到 y 軸的距離大軸的距離大5 5 ，求動(dòng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的的軌跡方程軌跡方程.真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解 v（2）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，引發(fā)思考，促）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，引發(fā)思考，促進(jìn)理解進(jìn)理解v課例課例2：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法研究方程：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法研究方程根問(wèn)題根問(wèn)題 真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)討論問(wèn)題v1、討論關(guān)于 的方程 在下列情況下實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù) .v（1）在 上；v（2）在 上；v (3) 在 上.2210 xxm xR(,0)( 2,1)真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)討論問(wèn)題22221 log02 log | |0|log | |0 xxmxmxm、討論下列關(guān)于 的方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).（ ）.（ ）.(3).真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)討論問(wèn)題6105xxa3、討論關(guān)于 的方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)試一試v請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方程問(wèn)題.v（1）含有參數(shù)；v（2）與判斷方程解的個(gè)數(shù)有關(guān).真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué) 2221log2log301 8.xxxaa 問(wèn)題 ：關(guān)于 的方程在 ， 上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍研究問(wèn)題（來(lái)自學(xué)生）真正有效的數(shù)學(xué)理解教學(xué)問(wèn)題2（來(lái)自學(xué)生