概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第三版)課后答案習(xí)題1

1、第一章事件與概率1 寫出下列隨機試驗的樣本空間。（1 ）記錄一個班級一次概率統(tǒng)計考試的平均分?jǐn)?shù) （設(shè)以百分制記分）。（2 ）同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數(shù)之和。（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn) 品的總件數(shù)。（4 ）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出2個次品 就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的 結(jié)果。（5） 在單位正方形內(nèi)任意取一點，記錄它的坐標(biāo)。（6）實測某種型號燈泡的壽命。Q =i =0,1,100 n,解 （1）n其中n為班級人數(shù)。（2）門"3,4,18。（3）門二10,11。（4）門-00，100, 0

2、100，0101，0110，1100, 1010，1011，0111，1101，0111，1111，其中0表示次品，1表示正品。（5 ）門-（x,y） 0<x<1,0<y<1。（6）0 = t 丨 t > 0。2 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運算關(guān) 系表示下列各事件，。(1) A發(fā)生，B與C不發(fā)生。(2) A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生。(3) A, B, C中至少有一個發(fā)生。(4) A, B, C都發(fā)生。(5) A, B, C都不發(fā)生。(6) A, B, C中不多于一個發(fā)生。(7) A, B, C至少有一個不發(fā)生。(8) A, B, C中至少有兩個發(fā)生。解 (

3、1) ABC , (2) ABC , (3) ABC ,(4) ABC , (5) ABC ,(6)AB AC BC或AB C A BC ABC ABC ,(7) A B C ,( 8 )AB AC BC或AB C 一 A B C A BC 一 ABC3. 指出下列命題中哪些成立，哪些不成立，并作 圖說明。(1) A B=AB B( 2) AB=AB(3 )右 B _ A,則 B AB( 4 )若A B,則 B A(5) A BC 二 AB C且 C 二 A ,則 BC 二 G解：成立，因為AB B =( A B)( B B) = A B o(2) 不成立，因為 AB =A B = AB o(

4、3) 成立， B 二 A,. B - AB ,又 AB 二 B,. B = AB o(4) 成立。(5) 不成立，因左邊包含事件C,右邊不包含事件C,所以不成立。(6) 成立。因若BCM $ ,則因C二A，必 有BC二AB，所以 AB工$與已知矛 盾，所以成立。圖略。4. 簡化下列各式:(1) (A B)(B C)(A B)(A B) (A B)( A B )( A B)解：(1)(A B)( B C) = AB AC B BC因為 AB BC B ,所以，(A - B)(B O 二 B AC。(2) (A B)(A B)=A ABBA BB因為 AB BA = A" - A，bB

5、- G 且 C ：G - C,所以(A B)(A B) = a。(3)(A B)( A B)( A B)=A( A B)-AB = AB o5.設(shè) A, B,1C是三事件，且P (A )= P ( B )=P (C )= 4 ,1P(AB ) =P(BC ) =0, P(AC ),8求A, B, C至少有一個發(fā)生的概率。解/ ABC AB OZP(ABC)乙P(AB)=O，故P(ABC)=O所求概率為P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)111170 0 0 =442886. 從1、2、3、4、5這5個數(shù)中，任取其三，構(gòu)成一個三位數(shù)。試

6、求下列事件的概率：(1 )三位數(shù)是奇數(shù)；(2)三位數(shù)為5的倍數(shù)；(3)三位數(shù)為 3的倍數(shù)；(4)三位數(shù)小于350。解設(shè)A表示事件"三位數(shù)是奇數(shù)” ，B表示事件 “三位數(shù)為5的倍數(shù)”，C表示事件“三位數(shù)為 3的倍數(shù)”，D表示事件“三位數(shù)小于 350”。3基本事件總數(shù)為- A，VaP(A)A；3360.660Vb2=A41,P(B)A； 1A120.260Vc=43!,P(A)43!3A5240.4607#2 1 10.55211A4 況 2 + A3 A333Vd =A4 X2+A3 -A3,P(D)=3=A560o7. 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、 黑漆4桶、紅漆3桶，

7、在搬運中所有標(biāo)簽脫落，交貸人 隨意將這些油漆發(fā)給顧客。問一個定貨4桶白漆、3桶黑漆和2桶紅漆的顧客，能按所定顏色如數(shù)得到定貨的 概率是多少？解 隨機試驗E為任意取9桶交與定貨人，共有9 4 3 1 1 C17種交貨方式。其中符合定貨要求的有 C10C4 C3 種，故所求概率為432CQCs2529524318. 在1700個產(chǎn)品中有 500個次品、1200個正品。任取200個。(1)求恰有90個次品的概率；(2)求至 少有2個次品的概率。解 (1)試驗E為1700個產(chǎn)品中任取200個，共C 200C 1700種取法，其中恰有90個次品的取法為8990110C 500 C 1200，故恰有90個

8、次品的概率為90110P1C 500 C 1200200C 17 00(2)設(shè)事件A表示至少有2個次品，B表示恰有1個次品，C表示沒有次品，則A=S-(B U C)，且BC=0 , BU C二SP(A)=PS-(B1199200/ C 500 ，C 1200C 1200二 1 200C)=P(S)-P(B)+P(C)C17009. 把10本書任意地放在書架上，求其中指定的三本書放在一起的概率。解 V Q =Pi0=10!,設(shè)所論事件為 A,則8K3!Va=8! X 3!P( A)0.0 6 710!10. 從5雙不同的鞋子中任取 4只，這4只鞋子中 至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？解 W

9、=&。，設(shè)A表示事件“ 4只鞋中至少有2只配成一雙”，貝U A表示“ 4只鞋中沒有2只能配成一雙”。先求出P( A )，再求P(A)。10 864有利于 A 的情形共有4!種（因為不考慮取4只鞋的次序，所以被 4!除）。1086480.38121813P (A) =1 一 P( A) =10.61921 21另一解法有利于事件A的總數(shù)為10#P(A)1 2 2C5C8 GC 4C 10C；C： C：（C：是重復(fù)的數(shù)）目13=-0.6192111 將3雞蛋隨機地打入 5個杯子中去，求杯子中 雞蛋的最大個數(shù)分別為 1, 2, 3的概率。解依題意知樣本點總數(shù)為 52 C3 C5 C 412個

10、。以Ai（i=1,2, 3）表示事件“杯子中雞蛋的最大個數(shù)為i” ,則A1表示每杯最多放一只雞蛋，共有 故.3A5種放法,A；12p（a r525A2表示由3個雞蛋中任取2個放入5個杯中的任一個中，其余一個雞蛋放入其余 4個杯子中，放法總數(shù)為2 11C 3 C5C 4 種C51PR)352512. 把長度為a的線段在任意二點折斷成為三線段， 求它們可以構(gòu)成一個三角形的概率。解設(shè)所論事件為 A，線段a被分成的三段長度分別用x, y和a-x-y表示，則樣本空間 Q為：Ov x2尺 aL(C) = ，v a, Ov y v a, Ov x+y v a,其面積為2 而有利于A的情形必須滿足構(gòu)成三角形的

11、條件，即ax y : a.2aa0 ： x ,0 - y ,22其 面 積 為1 a 2L(A) ()2 2P(A)二L(A)I(2)L()10.25413. 甲乙兩艘輪船要在一個不能同時停泊兩艘輪船 的碼頭停泊，它們在一晝夜內(nèi)到達的時刻是等可能的。 若甲船的停泊時間是一小時，乙船的停泊時間是兩小 時，求它們中任何一艘都不需等候碼頭空出的概率。解 設(shè)自當(dāng)天0時算起，甲乙兩船到達碼頭的時 刻分別為x及y,貝U Q為：0< x < 24, 0< y< 24,/ L( Q )=24 2，設(shè)所論事件為 A，則有利于 A的情形分別 為：(1) 當(dāng)甲船先到時，乙船應(yīng)遲來一小時以上，

12、即 y-x > 1 或 y > 1+x ;(2) 當(dāng)乙船先到時，甲船應(yīng)遲來兩小時以上，即 x-y > 2 或 y < x-2 ;12事件A應(yīng)滿足關(guān)系：y1+x , y w x-2 ,13#L(A)=-(241)2 - - (24-2)2 2P(A)L(A)LW)1 2 2(2322 )224：0.879o#112111P(A) = , P(BA) = ,P(AB)=14 .已知432求 P(B), P(AUB)。解由乘法公式知1 11P(AB) = P(B | A)P( A)= 一漢一=3412P(AB) = P(A1 B)P(B)P(AB) 1/121P(B)-=P(

13、A | B) 1 /26P(A B) = P(A) P(B)P(AB)= -4615 .已知在10只晶體管中有2只次品，在其 中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求下列事件 的概率。（1）兩只都是正品；（2）兩只都是次品；（3） 一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解 設(shè)以Ai（i=1,2）表示事件“第i次取出的是正品“，因為不放回抽樣，故148728PSA?) = P(AJP(A2 | Ai)(1) 109452 1 1 P(AA) = P(Ai)P(A2 | A1)(2) 10945(3)P(A1 A2 A1A2) = P(AA) P(A1 A2)8 2 2 8 16二 P

14、(A)P(A2 | a) p(ajp(A2 | A1):10 9 10 9 45(4)945i r 8221P(A2) = P(AA2 AA2) = P(A,A2) P ( A1 A2)10910916 在做鋼筋混凝土構(gòu)件以前，通過拉伸試驗，抽樣檢 查鋼筋的強度指標(biāo)，今有一組 A3鋼筋100根，次品率 為2%，任取3根做拉伸試驗，如果 3根都是合格品的 概率大于0. 95，認(rèn)為這組鋼筋可用于做構(gòu)件，否則作 為廢品處理，問這組鋼筋能否用于做構(gòu)件？解 設(shè)Ai表示事件“第i次取出的鋼筋是合格品”，則98P(A10097P(A2 A9996P(A3 az =98P(A1 A2A3 P(A1)P(A2

15、A1)P(A3 A*：)常 0.9406 < 0.95故這組鋼筋不能用于做構(gòu)件。17.某人忘記了密碼鎖的最后-個數(shù)字，他隨意地?fù)軘?shù)，求他撥數(shù)不超過三次而打開鎖的概率。若已知最后一個數(shù)字是偶數(shù)，那么此概率是多少？解設(shè)以A表示事件“第i次打開鎖”(i=1,2,3 ),A表示“不超過三次打開”，則有A 二 A、. A：、 A2 A3易知：A1 , A1 A2, A1 A2 A3是互不相容的。P(A)二P(Ai 瓦 A? A1A2A3) =P(A P(Aa) P(AiA2A3)=P(Ai) P(Ai)P(A2 | Ai) P(Ai)P(A2 | Ai)P(A3)| A1A2)191981I i

16、l i i10109109810所求概率是同理，當(dāng)已知最后一個數(shù)字是偶數(shù)時,1 4 1 4 3 1 3P ''5 5 4 5 4 3 518 .袋中有8個球，6個是白球、2個是紅球。8個人依次從袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋 中。問第一人，第二人，”，最后一人取得紅球的概 率各是多少個。解 設(shè)以A(i=1,2, 8)表示事件“第i個人取到的1是紅球”。貝y P(A1)= 4又因A2= A1 A2 A1 A2，由概率的全概公式得P(A2)= P(A1A2) P(AA) =p(aj p(A2 |a!) p(aj p(A2 |AJ類似地有1P(Ai) (i 二 3,4，8)41

17、9.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩 件，已知兩件中有一件是不合格品， 問另一件也是不合 格品的概率是多少？解 設(shè)A, B分別表示取出的第一件和第二件為正 品，則所求概率為P(A B A +B)P(AB )-P(A B)2 2P(AB)A4“ A12(1 r)1_P(AB)AgA®520 對某種水泥進行強度試驗，已知該水泥達到500#的概率為0. 9,達到600#的概率為0.3，現(xiàn)取一水 泥塊進行試驗，已達到500#標(biāo)準(zhǔn)而未破壞，求其為600# 的概率。解 設(shè)A表示事件“水泥達到500#” , B表示事件“水泥達到600# ”。則 P(A)=0.9,P(B)=0.3,又 B

18、二 A ,即P(AB)=0.3,所以P(B A) =P(AB). P(A) =0.3 0.9 =1 321. 以A, B分別表示某城市的甲、乙兩個區(qū)在某 一年內(nèi)出現(xiàn)的停水事件，據(jù)記載知P (A)= 0.35, P ( B)= 0.30，并知條件概率為 P(A B )= 0.15，試求：(1) 兩個區(qū)同時發(fā)生停止供水事件的概率；(2) 兩個區(qū)至少有一個區(qū)發(fā)生停水事件的概率。解(1 ) 由題設(shè)，所求概率為P(AB) =P(B)P(A B) =0.3沃 0.15 = 0.045 .;(2)所求概率為P (A B)二P(A) P(B)-P(AB)=0.350.300.045=0.605。22. 設(shè)有甲

19、、乙兩袋，甲袋中裝有n只白球、，m只紅球；乙袋中裝有 N只白球、M只紅球，今從甲袋 中任意取一只球放人乙袋中，再從乙袋中任意取一只球。問取到白球的概率是多少？解設(shè)Ai、A2分別表示從甲、乙袋中取到白球，貝UnmP(AP(AJn亠mn亠mN +1P(A2 | A1)N +M +1NP(A2 |A"N +M +1由全概率公式P(A2)二p(A2 I a)P(A) P(A2 |Ai)P(Ai)N 1nNm=.+.N M 1 n m N M 1 m n mN +n(N +1)(N M 1)( n m)23. 盒中放有12只乒乓球，其中有 9只是新的。 第一次比賽時從其中任取 3只來用，比賽后

20、仍放回盒中。 第二次比賽時再從盒中任取 3只，求第二次取出的球都 是新球的概率。解 設(shè)Bi(i =0，1,2,3)表示事件“第一次比賽時用了 i個新球”，用A表示事件“第二次比賽時取出的球都是新球”。則有P(BJC9C123C 123P(A)八 P(Bi)P(ABi)八i zfiC9C3 -i-.339 -i-.32(C12 )441 30250.41624. 將兩信息分別編碼為 A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02.而B被誤收 作A的概率為0. 01.信息A與信息B傳送的頻繁程 度為2: I.若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是 A的概率是多少？解 設(shè)事件H表示原發(fā)信息

21、為 A, C表示收到信息 為A，則H表示原發(fā)信息是 B。H , H是S的一個劃 分。依題意有2 1 P(H ) ,P(H ), P(C | H ) =0.98, P(C | H ) = 0.0120.98-3P(H |C)P(H )3 由貝葉斯公式有P(C | H )P(H ) + P(C |H )P(H ) 門 “2 丄 c 0.980.01325. 甲、乙、丙三組工人加工同樣的零件，它們出現(xiàn)廢品的概率：甲組是0.01,乙組是0.02,丙組是0.03, 它們加工完的零件放在同一個盒子里，其中甲組加工的零件是乙組加工的2倍，丙組加工的是乙組加工的一半， 從盒中任取一個零件是廢品，求它不是乙組加

22、工的概 率。 1961197x3P(H |C):解 設(shè)A3分別表示事件“零件是甲、乙、 丙加工的”，B表示事件“加工的零件是廢品”。貝UP(B A=0.01,P(B A2) =0.02,P(B A3) =0.0320#4P(AJ,72P(A2),7#P(A2)P(B A2)2 漢0.02 / 70.04P( A2 B)=P(B)(4x0.01+2x0.02+1x0.03)/70.04 +0.04 +0.03411所以-4P(A2 B) =1 _P(A2 B) =1 - 11711 。26.有兩箱同種類的零件。第一箱裝50只，其中10只一等品；第二箱裝30只，其中18只一等品。今從 兩箱中任挑出

23、一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任 取一只，作不放回抽樣。試求(1)第一次取到的零件 是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的條 件下，第二次取到的也是一等品的概率。解 設(shè)事件A表示"取到第一箱”，則A表示"取 到第二箱”，B1， B2分別表示第一、二次取到一等品。(1)依題意有：1101P(A) =P(A)P(B! | A):2 ，50 5 ，183P(B1 | A)305由全概率公式113 1 2P(B1 P(B1 | A)P(A) P(B | A)P(A)5 2 5 25109P(B1B2 | A)=(2)50491817P(B1B2 | A):30 X29

24、由全概率公式-913171P(B! B2) = P(Be2 | A) P(A) P(B! B2 | A)P(A)5 X 4925 X 29222P(Bi B2)(93 07)12P(B2|B=+儀一/= 0.4856P(BJ(5X495 X 29丿2527.設(shè)有四張卡片分別標(biāo)以數(shù)字 1 , 2, 3. 4今 任取一張.設(shè)事件 A為取到4或2,事件B為取到4 或3，事件C為取到4或1,試驗證P (AB )= P ( A) P ( B), P ( BC)= P ( B) P(C), P (CA)= P ( C) P ( A，P (ABC ) =P AP ( B) P ( C)。證樣本空間i 中有4

25、個樣本點，而A、B、C中均含有2個樣本點，故2 1 P(A) = P(B) = P(C)4 2又AB、AC、BC中均含有1個樣本點“取到 4 ”1 P(AB ) = P(AC ) = P(BC )= 故41P(AB) = P(A)P(B):4同理P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)又ABC中有1個樣本點取到41 1P(ABC )P(A) P(B) P(C)4828 .假設(shè)B1,B2關(guān)于條件A與A都相互獨立，求證P(AB!B2)P ab/pIa)P( a|b1)P(b2|ap( AB1 )P( b2|a)證 由B1, B2關(guān)于條件A與A是相互獨立的，故A)P® B2

26、 A) =P(Bt A) P(B2 A), P(BtB2 A) = P® A) P(B2，以及P(A)P(B! A) =P(ABJ =P(BJP( A BJ從而P(ABiB2)P(A)P(BA)P(B2|A)P(A)P(Bi A)P(B2 A) - P(A)P(Bi A)P(B2 A)p(Bi)p(a|bp(B2|a)P(Bi)P(A Bi)P(B2 A) P(Bi)P(A Bi)P(B2 A)p(a|bjp(B2|a)p(a|bjp(B2|a)+p(A|Bi)p(B2A)29如果一危險情況 C發(fā)生時，一電路閉合并發(fā)出 警報，我們可以借用兩個或多個開關(guān)井聯(lián)以改善可靠 性，在C發(fā)生時這

27、些開關(guān)每一個都應(yīng)閉合，且若至少一個開關(guān)閉合了，警報就發(fā)出，如果兩個這樣的開關(guān)并聯(lián) 聯(lián)接，它們每個具有0.96的可靠性(即在情況C發(fā)生 時閉合的概率)，問這時系統(tǒng)的可靠性(即電路閉合的 概率)是多少？如果需要有一個可靠性至少為0. 9999的系統(tǒng)，則至少需要用多少只開關(guān)并聯(lián)？這里設(shè)各開關(guān) 閉合與否都是相互獨立的。解 設(shè)n只開關(guān)并聯(lián)，以 Ai表示事件“在 C發(fā)生 時，第i只開關(guān)閉合“，則由已知條件諸Ai相互獨立，且P(Ai)=0.96，從而知，當(dāng)n=2時，系統(tǒng)的可靠性為P(A A2) =1 -P(A A2) =1 -P(Ai)P(A2)21 -(1 -0.96)0.9984又若使系統(tǒng)可靠性至少為0

28、.9999，則必須0.9999nnnP( AJ"P( A"P(A=1 P(A )n =1 (0.04)i Xi -1i 土(1 0.9999 )n _lg2.86即故至少需用0.9999。lg 0.043只開關(guān)才能使系統(tǒng)的可靠性至少為30.甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人中 的概率分別為0.4, 0.5, 0.7 飛機被一人擊中而被擊落 的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。解 設(shè)A1，A2，A3分別表示甲、乙、丙擊中飛機,Bi (i = 0,1,2,3)表示有i個人擊中飛機，H表示飛機被擊落。則A1，A2

29、, A3獨立，且B0= A1 A2 A3 -B A1 A? A3' Ai A2 A3 ' Ai A2 A3B 3 = Ai A2 A3B2 二A1A2A3A1A2A3AiA?A3,于是 P(B°) =(1 - 0.4)(1 - 0.5)(1 - 0.7) =0.09P(Bi)=0.40.50.30.6 0.50.30.60.5 0.7 =0.36P(B2) =0.4 0.50.30.40.50.70.60.50.7 = 0.41P(B3) = 0.40.50.7 =0.14依題意有：P(H Bo) =O,P(H B=0.2,P(H B2) =0.6,P(H B3) =

30、1于是，由全概公式有P(H ) = 0.0900.360.20.410.60.141 = 0.458。31 在裝有6個白球，8個紅球和3個黑球的口袋 中，有放回地從中任取5次，每次取出一個。試求恰有3次取到非白球的概率。解 由題設(shè)知，取一個非白球的概率p=11/17，于是332b(3;5,11 /17 ) =C5 (11 /17 ) (6 /17): 0.3375若視 11 /17 ： 0.65，則可查表得b(3;5,11 /17 ) =b(3;5,0.65) > 0.3 36 4。32 .電燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率為 0.2, 求三個燈泡在使用1000小時后最多只有一只壞了的概率。解 設(shè)A表示事件“一個燈泡可使用1000小時以上”,則A的概率為p=0.2,q=0.8。考察三個燈泡可視為n=3的貝努利試驗，于是所求概率為L小22C3 p q32=(0.2)3(0.2)0.8 = 0.1 0 433. 某地區(qū)一年內(nèi)發(fā)生洪水的概率為0.2,如果每年發(fā)生洪水是相互獨立的，試求:(1) 洪水十年一遇的概率;(2)至少要多少年才能以99% 以概率保證至少有一年發(fā)生洪水。解這是貝努利概型