數(shù)字電路邏輯設(shè)計課件：2-1

1、2.1邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)2.1.1基本邏輯基本邏輯2.1.2基本邏輯運算基本邏輯運算2.1.3真值表與邏輯函數(shù)真值表與邏輯函數(shù)2.1.4邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的基本定律2.1.5三個規(guī)則三個規(guī)則2.1.6常用公式常用公式2.1.7邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式表2-1-1 與邏輯舉例狀態(tài)表開關(guān)開關(guān)S1開關(guān)開關(guān)S2燈燈斷斷斷斷滅滅斷斷合合滅滅合合合合斷斷滅滅合合亮亮2.1.1基本邏輯基本邏輯S1S2圖2-1-1 與邏輯舉例燈燈電源電源與與、或或、非非三種基本邏輯關(guān)系三種基本邏輯關(guān)系(1)與與邏輯關(guān)系邏輯關(guān)系只有當(dāng)決定某一事件的條件全部具備時，這一事件才會發(fā)只有當(dāng)決定某一事件的條件全部具備

2、時，這一事件才會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為生。這種因果關(guān)系稱為與與邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)系。演演 示示表2-1-2 或邏輯舉例狀態(tài)表開關(guān)開關(guān)S1開關(guān)開關(guān)S2燈燈斷斷斷斷滅滅斷斷合合亮亮合合合合斷斷亮亮合合亮亮(2)或或邏輯關(guān)系邏輯關(guān)系只要在決定某一事件的各種條件中，有一個或幾個條件具只要在決定某一事件的各種條件中，有一個或幾個條件具備時，這一事件就會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為備時，這一事件就會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為或或邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)系。S1燈燈電源電源圖2-1-2 或邏輯舉例S2演演 示示表2-1-3 非邏輯舉例狀態(tài)表開關(guān)開關(guān)S燈燈斷斷亮亮合合滅滅燈燈S圖2-1-3 非邏輯舉例電源電源(3)非非邏輯關(guān)系邏

3、輯關(guān)系事件發(fā)生的條件具備時，事件不會發(fā)生；事件發(fā)生的條件事件發(fā)生的條件具備時，事件不會發(fā)生；事件發(fā)生的條件不具備時，事件發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為不具備時，事件發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為非非邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)系。演演 示示表2-1-4 與邏輯真值表表2-1-5 或邏輯真值表表2-1-6 非邏輯真值表ABP001010110001ABP001010110111AP0110基本邏輯關(guān)系在邏輯代數(shù)中的描述基本邏輯關(guān)系在邏輯代數(shù)中的描述(1)真值表描述法真值表描述法在邏輯代數(shù)中用字母表示邏輯變量，邏輯變量在二值邏輯在邏輯代數(shù)中用字母表示邏輯變量，邏輯變量在二值邏輯中只有中只有0和和1兩種取值，以代表兩種不同的邏

4、輯狀態(tài)。兩種取值，以代表兩種不同的邏輯狀態(tài)。用狀態(tài)變量和取值可以列出表示三種基本邏輯關(guān)系的圖表，用狀態(tài)變量和取值可以列出表示三種基本邏輯關(guān)系的圖表，稱為稱為邏輯真值表邏輯真值表，或簡稱，或簡稱真值表真值表。(2)數(shù)學(xué)表達(dá)式描述法數(shù)學(xué)表達(dá)式描述法與與邏輯：邏輯：P = A 又稱為又稱為與與運算運算或或邏輯乘邏輯乘。運算符。若不致混淆，可省略。運算符。若不致混淆，可省略?；蚧蜻壿嫞哼壿嫞篜 = A + 又稱為又稱為或或運算運算或或邏輯加邏輯加。非非邏輯：邏輯：P = A 讀作讀作“A非非” 或或“非非A” 。(1)(2)(3)AB+PABP11APABPABPAP&ABPAP圖2-1-4

5、基本邏輯的邏輯符號與邏輯符號與邏輯符號或邏輯符號或邏輯符號非邏輯符號非邏輯符號ABP(3)(3)邏輯符號描述法邏輯符號描述法現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)過去適用的符號過去適用的符號國外常用的符號國外常用的符號能實現(xiàn)基本邏輯關(guān)系的基本單元電路稱為能實現(xiàn)基本邏輯關(guān)系的基本單元電路稱為邏輯門電路邏輯門電路。如。如與與門門、或或門門、非非門門（反相器）等。（反相器）等。2.1.2基本邏輯運算基本邏輯運算邏輯加（邏輯加（或或運算）運算）P = A +運算規(guī)則：運算規(guī)則：0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1一般形式：一般形式：A + 0 = AA + 1 = 1A + A

6、= A邏輯乘（邏輯乘（與與運算）運算）P = A 運算規(guī)則：運算規(guī)則：0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1一般形式：一般形式：A 1 = AA 0 = 0A A = A邏輯邏輯非非（非非運算）運算） P = A運算規(guī)則：運算規(guī)則：0 = 11 = 0一般形式：一般形式：A = AA + A = 1A A = 0復(fù)合邏輯運算復(fù)合邏輯運算表2-1-7 兩輸入變量與非邏輯真值表ABP001010111110(1)(1)(2)(2)(3)(3)ABPAB&ABPP(a)與非邏輯與非邏輯圖2-1-5 復(fù)合邏輯符號(1)與非與非邏輯邏輯 P = A B表2-1-8 兩輸入變量或

7、非邏輯真值表ABP001010111000(2)或非或非邏輯邏輯P = A+B(1)(2)(3)圖2-1-5 復(fù)合邏輯符號+B1AABABPPP(b)或非邏輯或非邏輯(3)與或非與或非邏輯邏輯 P = A B + C D (1)(2)(3)圖2-1-5 復(fù)合邏輯符號&1PBADCPBADC+PBADC(c)與或非邏輯與或非邏輯表2-1-9 2-2輸入變量與或非邏輯真值表ABP000000001110C0011D0101011110001110001101011000011111100011010111111111000000110101(4)同或同或邏輯邏輯ABBABAP 若兩個輸入變

8、量的值若兩個輸入變量的值相同相同，輸出為，輸出為1，否則為，否則為0。(1)(2)(3)圖2-1-5 復(fù)合邏輯符號B=1APBAPABP(e)同或邏輯同或邏輯表2-1-10 同或邏輯真值表ABP001010111001運算規(guī)則：運算規(guī)則：0 0 = 10 1 = 01 0 = 01 1 = 1一般形式：一般形式：A 0 = AA 1 = AA A = 0A A = 1(5)(5)異或異或邏輯邏輯BABABAP 若兩個輸入變量的值若兩個輸入變量的值相異相異，輸出為，輸出為1，否則為，否則為0。運算規(guī)則：運算規(guī)則：0 0 = 00 1 = 11 0 = 11 1 = 0+一般形式：一般形式：A 0

9、 = AA 1 = AA A = 1A A = 0+B=1APBAPABP(d)異或邏輯異或邏輯(1)(2)(3)圖2-1-5 復(fù)合邏輯符號表2-1-11 異或邏輯真值表ABP001010110110幾種常用邏輯運算的比較幾種常用邏輯運算的比較同或同或與與異或異或邏輯的關(guān)系：邏輯的關(guān)系：+A B = A B A B = A B根據(jù)運算規(guī)則和真值表可知：根據(jù)運算規(guī)則和真值表可知：A B = A B A B = A B+若兩個變量的原變量相同，則取非后的反變量也相同；反之若兩個變量的原變量相同，則取非后的反變量也相同；反之亦然。因此有：亦然。因此有：A B = A B = A B A B = A

10、B = A B+若變量若變量A和變量和變量B相相同同，則，則A必與必與B相相異異或或A與與B相相異異；反之亦；反之亦然。因此有：然。因此有：表2-1-12 樓道燈開關(guān)狀態(tài)表和真值表ABP001010111001開關(guān)開關(guān) A燈燈cdbdbcaa亮亮滅滅滅滅亮亮(a)(b)開關(guān)開關(guān) B2.1.3真值表與邏輯函數(shù)真值表與邏輯函數(shù)abcdAB圖2-1-6 樓道燈開關(guān)示意圖求解給定邏輯命題的邏輯函數(shù)求解給定邏輯命題的邏輯函數(shù)表達(dá)式。表達(dá)式。第一步：消化邏輯命題并列寫第一步：消化邏輯命題并列寫真值表。真值表。第二步：由真值表寫邏輯函數(shù)表達(dá)式。第二步：由真值表寫邏輯函數(shù)表達(dá)式。方法一：方法一：把每個輸出為把

11、每個輸出為1的一組輸入變量組合狀態(tài)以的一組輸入變量組合狀態(tài)以邏輯乘邏輯乘形式表示（原變量表示取值形式表示（原變量表示取值1，反變量表示取值，反變量表示取值0），再將所有），再將所有的這些邏輯乘進(jìn)行的這些邏輯乘進(jìn)行邏輯加邏輯加。這種表達(dá)式稱為。這種表達(dá)式稱為與或與或表達(dá)式表達(dá)式，或，或稱為稱為“積之和積之和”式。式。ABBAP 方法二：方法二：把每個輸出為把每個輸出為0的一組輸入變量組合狀態(tài)以的一組輸入變量組合狀態(tài)以邏輯加邏輯加形式表示（原變量表示取值形式表示（原變量表示取值0，反變量表示取值，反變量表示取值1），再將所有），再將所有的這些邏輯加進(jìn)行的這些邏輯加進(jìn)行邏輯乘邏輯乘。這種表達(dá)式稱為。

12、這種表達(dá)式稱為或與或與表達(dá)式表達(dá)式，或，或稱為稱為“和之積和之積”式。式。)()(BABAP 例例2- -1列出下列問題的真值表，并寫出描述該問題的邏輯函列出下列問題的真值表，并寫出描述該問題的邏輯函數(shù)表達(dá)式。數(shù)表達(dá)式。有有A、B、C個輸入信號，當(dāng)個輸入信號中有兩個或兩個個輸入信號，當(dāng)個輸入信號中有兩個或兩個以上為高電平時，輸出高電平，其余情況下，均輸出低電平。以上為高電平時，輸出高電平，其余情況下，均輸出低電平。表2-1-13 例 2-1 真值表11111011110100011110001001000000PCBA解解根據(jù)題意可得到如表根據(jù)題意可得到如表2- -1- -13所示的真值表：所

13、示的真值表：“積之和積之和”式：式：ABCCABCBABCAP “和之積和之積”式：式：)( )(CBACBACBACBAP 2.1.4邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的基本定律假設(shè)假設(shè)F和和G都是變量都是變量A1、A2、An的邏輯函數(shù)，如果對應(yīng)的邏輯函數(shù)，如果對應(yīng)于于A1、A2、An的任一組狀態(tài)組合，的任一組狀態(tài)組合，F(xiàn)和和G的值都相同，則的值都相同，則F和和G是相等的，記作是相等的，記作FG。若若FG，則它們具有相同的真值表；反之，若，則它們具有相同的真值表；反之，若F和和G的真值的真值表相同，則表相同，則FG 。例例2- -2 設(shè)設(shè)F(A,B,C)=A(B+C)，G(A,B,C)=AB+AC，

14、請證明：，請證明：F = G。解解列寫函數(shù)列寫函數(shù)F和和G的真值表，如果二者的真值表完全一致，的真值表，如果二者的真值表完全一致，則說明則說明FG。邏輯函數(shù)相等邏輯函數(shù)相等表2-1-14 例2-2真值表1111111011111010000100110000100010000000G=AB+ACF=A(B+C)CBA由真值表可見，對于任何一組變量的取值，由真值表可見，對于任何一組變量的取值， F和和G的值完全的值完全相同，所以相同，所以FG。(1)關(guān)于變量和常量關(guān)系的公式關(guān)于變量和常量關(guān)系的公式邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的基本定律+A 1 = AA 0 = AA A = 1+A 0 = AA

15、1 = AA A = 0A 1 = AA 0 = 0A A = 0A + 0 = AA + 1 = 1A + A = 1(2)交換律、結(jié)合律、分配律交換律、結(jié)合律、分配律交換律：交換律：A + B = B + AA B = B AA B = B AA B = B A+A B C = (A B) C 結(jié)合律：結(jié)合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C A B C = (A B) C +A ( B C ) = AB AC 分配律：分配律：A ( B + C ) = AB + AC +A + BC = ( A + B )( A + C )A + ( B C

16、 ) = (A + B ) (A + C ) +(3)特殊規(guī)律特殊規(guī)律重疊律：重疊律：A + A = AA A = AA A = 1A A = 0+反演律：反演律：A + B = A BAB = A + B A B = A B A B = A B +調(diào)換律：調(diào)換律：若若A B = C，則必有：，則必有： A C = B， B C = A。若若A B = C，則必有：，則必有： A C = B， B C = A。+A B = A B (A + B )A + B = A B (A B )A + B = A B (A B )A B = A B (A + B )+推論：推論：2.1.5三個規(guī)則三個規(guī)則

17、代入規(guī)則代入規(guī)則任何一個含有變量任何一個含有變量A的等式，如果將的等式，如果將所有所有出現(xiàn)變量出現(xiàn)變量A的地方的地方都代之以一個邏輯函數(shù)都代之以一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。，則等式仍然成立。例2- -3已知等式已知等式A(B+E)=AB+AE，試證明將所有出現(xiàn)試證明將所有出現(xiàn)E的的地方代之以地方代之以(C+D) ，等式仍成立。，等式仍成立。解解 原式左邊原式左邊AB+ (C+D) AB+A(C+D) AB+AC +AD原式右邊原式右邊 AB+A(C+D) AB+AC +AD所以等式仍然成立。所以等式仍然成立。反演規(guī)則反演規(guī)則設(shè)設(shè)F是一個邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果將是一個邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果將F中

18、中所有所有的的與運算與運算和和或或運算運算互換；互換；常量常量0和和常量常量1互換；互換；原變量原變量和和反變量反變量互換，這樣得互換，這樣得到的新函數(shù)式就是到的新函數(shù)式就是F 。 F 稱為原函數(shù)稱為原函數(shù)F的反函數(shù)。的反函數(shù)。，求，求已知已知例例FCDBAF 42解解由反演規(guī)則，可得由反演規(guī)則，可得 DCBAF DCBACDBACDBAF 若用若用反演律反演律求解，則求解，則。，求，求已知已知例例FEDCBAF 52解解由反演規(guī)則，可得由反演規(guī)則，可得) (EDCBAF 注意運算的先后順序注意運算的先后順序?qū)ε家?guī)則對偶規(guī)則設(shè)設(shè)F是一個邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果將是一個邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果將F中中所

19、有所有的的與與運算和運算和或或運算互換運算互換；常量常量0和常量和常量1互換互換，則可得到一個新函數(shù)式，則可得到一個新函數(shù)式F。F稱為稱為F的對偶式。的對偶式。 1* 0 * CABAFCABAFCBAFCBAF例如：例如：推論：推論：等式的對偶式也是等式，即：等式的對偶式也是等式，即： 。則則如果如果*,GFCBAGCBAF 2.1.6常用公式常用公式（吸收律）（吸收律） . 1ABAAB ABABA 對偶式：對偶式： . 2AABA ABAA 對偶式：對偶式： . 3BABAA BABABAAABAA 1 證明：證明： ABBAA 對偶式：對偶式：CAABBCCAAB . 4 CAABBC

20、AABCCAABBCAACAABBCCAAB 證明：證明： CABACBCABA 對偶式：對偶式： BACACAAB . 5 BAACCABA 對偶式：對偶式：CAABBCDECAAB 推論：推論：2.1.7邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式最小項表達(dá)式最小項表達(dá)式(1)最小項最小項設(shè)有設(shè)有n個變量的邏輯函數(shù)，在由此個變量的邏輯函數(shù)，在由此n個變量組成的個變量組成的乘積項乘積項（與與項）中，若每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，項）中，若每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，而且僅出現(xiàn)一次，則這樣的而且僅出現(xiàn)一次，則這樣的乘積項乘積項稱為稱為n變量邏輯函數(shù)的變量邏輯函數(shù)的最小項最小

21、項。最小項可用符號最小項可用符號mi 表示，下標(biāo)表示，下標(biāo) i 的確定方法是：對于最小的確定方法是：對于最小項中的各變量，用項中的各變量，用1代替其中的代替其中的原變量原變量，用，用0代替其中的代替其中的反變量反變量，得到一個二進(jìn)制數(shù)，下標(biāo)得到一個二進(jìn)制數(shù)，下標(biāo) i 就是與此二進(jìn)制數(shù)等值的十進(jìn)制數(shù)。就是與此二進(jìn)制數(shù)等值的十進(jìn)制數(shù)。例如三變量邏輯函數(shù)的最小項：例如三變量邏輯函數(shù)的最小項： 30mBCAmCBA最小項的性質(zhì)：最小項的性質(zhì)： 對于任意一個最小項，只有一組變量的取值可以使其值對于任意一個最小項，只有一組變量的取值可以使其值為為1，其余均為，其余均為0；任意兩個最小項任意兩個最小項mi

22、和和mj 之積為之積為0（ij）；）；n個變量的所有最小項（個變量的所有最小項（2n個）之和為個）之和為1。表2-1-15(a) 3變量最小項AB00011000C0101100111110101對應(yīng)最小項對應(yīng)最小項(m i)A B C = m0A B C = m1A B C = m2A B C = m3A B C = m4A B C = m5A B C = m6A B C = m7最小項表達(dá)式的書寫形式：最小項表達(dá)式的書寫形式： mCBAFmmmmCBAFCBABCACABABCF7 , 6 , 3 , 1,1367或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑嚎梢院唽懗桑嚎梢院唽懗桑簩τ谶壿嫼瘮?shù)對于邏輯函數(shù)(2)最小項

23、表達(dá)式最小項表達(dá)式全部由最小項全部由最小項相加相加而構(gòu)成的而構(gòu)成的與或與或表達(dá)式表達(dá)式稱為稱為最小項表達(dá)最小項表達(dá)式式，又稱為，又稱為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)與或與或式式，或，或標(biāo)準(zhǔn)積之和式標(biāo)準(zhǔn)積之和式。(3)邏輯函數(shù)展開成邏輯函數(shù)展開成最小項表達(dá)式最小項表達(dá)式方法：方法：先變換成先變換成與或與或表達(dá)式表達(dá)式，然后將各與項中所缺的變，然后將各與項中所缺的變量逐步補齊。任何邏輯函數(shù)都有惟量逐步補齊。任何邏輯函數(shù)都有惟一一的最小項表達(dá)式。的最小項表達(dá)式。展開成最小項表達(dá)式。展開成最小項表達(dá)式。將將例例 62DCCDAABCF DCBBAACDBBADDABCDCCDAABCF 解解DCBADCBADCBADCAB

24、CDBACDBADABCABCD 04812371415, mmmmmmmmDCBAF 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?mDCBA，最大項表達(dá)式最大項表達(dá)式(1)最大項最大項設(shè)有設(shè)有n個變量的邏輯函數(shù)，在由此個變量的邏輯函數(shù)，在由此n個變量組成的個變量組成的和項和項（或或項）中，若每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，而項）中，若每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，而且僅出現(xiàn)一次，則這樣的且僅出現(xiàn)一次，則這樣的和項和項稱為稱為n變量邏輯函數(shù)的變量邏輯函數(shù)的最大項最大項。最大項可用符號最大項可用符號Mi 表示，下標(biāo)表示，下標(biāo) i 的確定方法是：對于最大的確定方法是：對于最大

25、項中的各變量，用項中的各變量，用0代替其中的代替其中的原變量原變量，用，用1代替其中的代替其中的反變量反變量，得到一個二進(jìn)制數(shù)，下標(biāo)得到一個二進(jìn)制數(shù)，下標(biāo) i 就是與此二進(jìn)制數(shù)等值的十進(jìn)制數(shù)。就是與此二進(jìn)制數(shù)等值的十進(jìn)制數(shù)。例如三變量邏輯函數(shù)的最大項：例如三變量邏輯函數(shù)的最大項： 47MCBAMCBA最大項的性質(zhì)：最大項的性質(zhì)：對于任意一個最大項，只有一組變量的取值可以使其對于任意一個最大項，只有一組變量的取值可以使其值為值為0，其余均為，其余均為1；任意兩個最大項任意兩個最大項Mi 和和Mj 之和為之和為1（ij）；）；n個變量的所有最大項（個變量的所有最大項（2n個）之個）之積積為為0。表

26、2-1-15 (b) 3變量的最大項AB00011000A+B+C=M0C0101100111110101對應(yīng)最大項對應(yīng)最大項(M i)A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7最大項表達(dá)式的書寫形式：最大項表達(dá)式的書寫形式： 410,410，或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑嚎梢院唽懗桑嚎梢院唽懗桑簩τ谶壿嫼瘮?shù)對于邏輯函數(shù)MCBAFMMMCBAFCBACBACBAF(2)最大項表達(dá)式最大項表達(dá)式全部由最大項全部由最大項相相與與而構(gòu)成的而構(gòu)成的或與或與表達(dá)式表達(dá)式稱為稱為最大項表達(dá)最大項表達(dá)式式，又稱為，又稱為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)或與或與式式，或，或標(biāo)準(zhǔn)和之積式標(biāo)準(zhǔn)和之積式。(3)邏輯函數(shù)展開成邏輯函數(shù)展開成最大項表達(dá)式最大項表達(dá)式方法：反復(fù)利用分配律方法：反復(fù)利用分配律A+BC=(A+B)(A+C)進(jìn)行變換。任何進(jìn)行變換。任何邏輯函數(shù)都有邏輯函數(shù)都有惟一惟一的最大項表達(dá)式。的最大項表達(dá)式。展開成最大項表達(dá)式。展開成最大項表達(dá)式。將將例例 72BCAAF CABABCABCAAF解解 )(CBBACCBA )( )( )(CBACBACBA 210MMM 210