工程優(yōu)化設計-優(yōu)化模型

1、工程優(yōu)化設計黃正東二0一二年九月內容提要 工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題建模 優(yōu)化數(shù)學理論優(yōu)化數(shù)學理論 一維搜索方法一維搜索方法 無約束問題直接搜索方法無約束問題直接搜索方法 無約束問題間接接搜索方法無約束問題間接接搜索方法 約束問題直接搜索方法約束問題直接搜索方法 線性規(guī)劃與二次規(guī)劃問題求解線性規(guī)劃與二次規(guī)劃問題求解 約束問題間接搜索方法約束問題間接搜索方法 特殊優(yōu)化問題求解方法特殊優(yōu)化問題求解方法 啟發(fā)式算法啟發(fā)式算法 優(yōu)化計算與軟件系統(tǒng)優(yōu)化計算與軟件系統(tǒng)工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型工程優(yōu)化問題模型Find: x=(x1,x2,xn) RnMinimize: F(x)=Subject t

2、o: hi(x)=0, i=1,2, p gi(x)0, i=1,2, q min F(x)s. t. hi(x)=0, i=1,2, p gi(x)0, i=1,2, q )(),.,(),(21xfxfxfmFind xMinimize F(x)Subject to h(x)=0 and g(x) 0 工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型工程優(yōu)化問題模型: 三要素三要素1. 設計變量設計變量 x=(x1,x2,xn)2. 目標函數(shù)目標函數(shù) F(x)=(f1(x), f2(x), , fm(x)3. 約束條件約束條件 等式約束等式約束 hi(x)=0, i=1,2, p不等式約束不等式約束 gi

3、(x)0, i=1,2, q優(yōu)化問題分類優(yōu)化問題分類1. 單目標優(yōu)化問題單目標優(yōu)化問題2. 多目標優(yōu)化問題多目標優(yōu)化問題工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例一工程優(yōu)化問題模型舉例一: 籬笆圍墻設計籬笆圍墻設計 Find: x=(L,W)Minimize: F(x)-(+W2/4)Subject to: h(x)=2L+ W=400 g1(x)=-L0 g2(x)=-W0工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例二工程優(yōu)化問題模型舉例二: 階梯型懸臂粱設計階梯型懸臂粱設計 截面尺寸截面尺寸彈性模量彈性模量最大容許應力最大容許應力總長總長工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例二工程優(yōu)化問題模型舉例二: 階

4、梯型懸臂粱設計階梯型懸臂粱設計 參見參見工程優(yōu)化問題建模Find: x=(h1, h2, , h6)Minimize: F(x)=( 1(x), y6(x), V(x) )Subject to: bi=hi/20, li=hi/10, i hi 70, -hi-5 i=1,2,6.li1=PLh1/(2I1)y661iiiilhbV6工程優(yōu)化問題建模多目標優(yōu)化問題的解多目標優(yōu)化問題的解被稱為被稱為“非劣解非劣解”:即每個目標的減小方向上即每個目標的減小方向上均無其它解均無其它解.解可有多個解可有多個.目標目標-1-1目標目標-2-2設計變量設計變量-1-1設計變量設計變量-2-2工程優(yōu)化問題建

5、模工程優(yōu)化問題模型舉例三工程優(yōu)化問題模型舉例三: 傳遞轉矩的等截面軸的最優(yōu)設計傳遞轉矩的等截面軸的最優(yōu)設計1. 1. 設計變量設計變量 x=(x1, x2)=(d, l )2. 2. 設計目標設計目標 軸的質量最小軸的質量最小 F(x)=W= *( d2/4)*l工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例三工程優(yōu)化問題模型舉例三: 傳遞轉矩的等截面軸的最優(yōu)設計傳遞轉矩的等截面軸的最優(yōu)設計3. 3. 約束條件約束條件(1)(1)扭轉應力上界限制扭轉應力上界限制 =MT/WT MT 軸所傳遞的最大轉矩軸所傳遞的最大轉矩; ;WT 抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù), ,對實心軸對實心軸: :WT= d 3/16.

6、 許用扭轉應力許用扭轉應力. . g1(x)=16MT / d 3 - 0.工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例三工程優(yōu)化問題模型舉例三: 傳遞轉矩的等截面軸的最優(yōu)設計傳遞轉矩的等截面軸的最優(yōu)設計(2)(2)扭轉變形上界限制扭轉變形上界限制 =MT*l /(G*Jp) 扭轉角扭轉角; ;G 材料的剪切彈性模數(shù)材料的剪切彈性模數(shù); ;Jp p 極慣性矩極慣性矩, , 對實心軸對實心軸 Jp= d4/32 許用扭轉角許用扭轉角 g2(x)=32MT*l / Gd 4 - 0. (3)(3)幾何尺寸約束幾何尺寸約束dmin d dmaxlmin l lmax工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例四工程

7、優(yōu)化問題模型舉例四: 保證動力穩(wěn)定性的變截面高轉速軸保證動力穩(wěn)定性的變截面高轉速軸的最優(yōu)設計的最優(yōu)設計 1. 1. 設計變量設計變量 x=(d1, d2)2. 2. 設計目標設計目標 軸的質量最小軸的質量最小 F(x)=W= *( l /4)* (2d12+ d22 )工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例四工程優(yōu)化問題模型舉例四: 保證動力穩(wěn)定性的變截面高轉速軸保證動力穩(wěn)定性的變截面高轉速軸的最優(yōu)設計的最優(yōu)設計 3. 3. 約束條件約束條件(1)(1) 旋轉角速度旋轉角速度 要小于臨界轉速要小于臨界轉速 c c: : 達到臨界轉速時達到臨界轉速時, , 軸便處于共振狀態(tài)軸便處于共振狀態(tài). .

8、臨界轉速臨界轉速 c數(shù)數(shù)值上等于值上等于 軸的橫向振動軸的橫向振動( (彎曲振動彎曲振動) )的固有頻率的固有頻率 n: n= g-重力加速度重力加速度g= = , , E E 是材料彈性模量是材料彈性模量Q是中間輪子質量是中間輪子質量)38. 21(67.1042413ddEQl工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例四工程優(yōu)化問題模型舉例四: 保證動力穩(wěn)定性的變截面高轉速軸保證動力穩(wěn)定性的變截面高轉速軸的最優(yōu)設計的最優(yōu)設計 令令: : n= K, K1, 安全系數(shù)安全系數(shù), , 給定給定. .這樣得約束條件這樣得約束條件: :(2) (2) 幾何尺寸約束幾何尺寸約束d1,min d1 d1,m

9、axd2,min d2 d2,max0)38. 21(67.10),(4241223211ddKQlEgddh工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例五工程優(yōu)化問題模型舉例五: 壓桿的最優(yōu)設計壓桿的最優(yōu)設計 P1. 1. 設計變量設計變量 x=(d1, d2, l )2. 2. 設計目標設計目標 體積最小體積最小 F(x)=V=( /4)* (d22- d12 )* l 3. 3. 約束條件約束條件(1)(1)應力不超過材料的彈性極限應力不超過材料的彈性極限: : 即單位截面的受力大小受限制即單位截面的受力大小受限制, , 否則否則會出現(xiàn)斷裂會出現(xiàn)斷裂. . 與長度無關與長度無關. .0)(4),

10、(2122211ddPddg 1, 1, 安全系數(shù)安全系數(shù). .工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例五工程優(yōu)化問題模型舉例五: 壓桿的最優(yōu)設計壓桿的最優(yōu)設計 (2)(2)載荷不超過彎曲臨界載荷載荷不超過彎曲臨界載荷: :根據(jù)歐拉壓桿公式根據(jù)歐拉壓桿公式, , 對于兩端均為鉸支的對于兩端均為鉸支的壓桿壓桿, , 彎曲臨界載荷彎曲臨界載荷( (與長度有關與長度有關):):22lEJPcE材料彈性模量材料彈性模量; ;J橫截面的最小慣性矩橫截面的最小慣性矩; ;EJ為彎曲剛度為彎曲剛度. .對于不同的端部約束對于不同的端部約束, , 上式為上式為: : 22) (lEJPc 1, , 安全系數(shù)安全系

11、數(shù). . 工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例五工程優(yōu)化問題模型舉例五: 壓桿的最優(yōu)設計壓桿的最優(yōu)設計 (3)(3)幾何尺寸約束幾何尺寸約束d1,min d1 d1,max, d2,min d2 d2,max. lmin l lmax Find Find x=(d1, d2, l ) Minimize Minimize F(x)=( /4)* (d22- d12 )* l Subject to Subject to0)(4),(2122211ddPddgd1,min d1 d1,max, d2,min d2 d2,max. lmin l lmax工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例六工程優(yōu)化問

12、題模型舉例六: 汽車轉向機構最優(yōu)設計汽車轉向機構最優(yōu)設計 Ctg=OC/LCtg=OD/LOC-OD=KCtg - Ctg=K/L左輪與左輪與AE桿固定桿固定右輪與右輪與BF桿固定桿固定 = () 隨隨 變化變化,選擇選擇ABEF使使 逼近逼近AE擺動擺動 角角 是是右輪與左右輪與左輪同心的角度輪同心的角度四輪都在同心圓上四輪都在同心圓上工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例六工程優(yōu)化問題模型舉例六: 汽車轉向機構最優(yōu)設計汽車轉向機構最優(yōu)設計 由輪子的同心運動要求由輪子的同心運動要求, , 得出理想?yún)?shù)關系得出理想?yún)?shù)關系: :ctg -ctg =K/L所以所以, , =f( )=ctg-1(c

13、tg -K/L)然而然而, , 四聯(lián)桿能夠產(chǎn)生的參數(shù)關系是四聯(lián)桿能夠產(chǎn)生的參數(shù)關系是: :m=AE=BF 工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例六工程優(yōu)化問題模型舉例六: 汽車轉向機構最優(yōu)設計汽車轉向機構最優(yōu)設計 1. 1. 設計變量設計變量 X=( 0, m ) 2.2. 設計目標設計目標 偏差的加權和最小偏差的加權和最小: :Rmin前外輪最小轉彎半徑前外輪最小轉彎半徑. .0工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例六工程優(yōu)化問題模型舉例六: 汽車轉向機構最優(yōu)設計汽車轉向機構最優(yōu)設計 3. 3. 約束條件約束條件四桿機構的轉動角四桿機構的轉動角 不宜太小不宜太小, , 取取 min=400, ,

14、 據(jù)此據(jù)此, , 有有: :工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例七工程優(yōu)化問題模型舉例七: 離散變量優(yōu)化例子離散變量優(yōu)化例子 旅行商問題旅行商問題(Traveling Salesman Problem, TSP)min s.t. jiijijxd1 , 0,.,2 , 1 , 12 , 1,.,2 , 1 , 1,.,2 , 1 , 1,11ijsjiijniijnjijxnsnssxnjxnix不能有子回路不能有子回路12341234x12=1x23=1x34=1x41=1其余 xij=0 x13=1x32=1x24=1x41=1其余 xij=0工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題建模mins. t

15、. 工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例七工程優(yōu)化問題模型舉例七: 離散變量優(yōu)化例子離散變量優(yōu)化例子 能力約束機器調度問題能力約束機器調度問題(Capacitated machine scheduling)min Ts.t. n個加工量為d1,d2,dn的產(chǎn)品在一臺機器上加工,機器在第t個時間段(1天或1周)的工作能力為ct, 求完成所有加工的最少時間段數(shù).1 , 0,.,2 , 1 ,.,2 , 1 , 111ittniitiTtitxTtcxdnixc1c3c2d1d2x23=1, x2t=0, t3 這里目標函數(shù)這里目標函數(shù)T 比較特殊比較特殊, ,沒有表達式?jīng)]有表達式. .工程優(yōu)化問題

16、建模工程優(yōu)化問題模型舉例八工程優(yōu)化問題模型舉例八: 結構優(yōu)化設計例子結構優(yōu)化設計例子 工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例八工程優(yōu)化問題模型舉例八: 結構優(yōu)化設計例子結構優(yōu)化設計例子 離合器蓋結構離合器蓋結構 工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例八工程優(yōu)化問題模型舉例八: 結構優(yōu)化設計例子結構優(yōu)化設計例子 離合器蓋結構離合器蓋結構 1. 1. 設計變量設計變量X=(Z1,Z2,Z6,t), t厚度厚度 Zi曲線高度坐標曲線高度坐標2. 2. 設計目標設計目標工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例八工程優(yōu)化問題模型舉例八: 結構優(yōu)化設計例子結構優(yōu)化設計例子 離合器蓋結構離合器蓋結構 3. 3. 約

17、束條件約束條件 忽視第一強度理論中的脆斷準則忽視第一強度理論中的脆斷準則工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例八工程優(yōu)化問題模型舉例八: 結構優(yōu)化設計例子結構優(yōu)化設計例子 3. 3. 約束條件約束條件 第三強度理論中的第三強度理論中的屈服準則屈服準則 )( fCu外力應力xuxuu通常變換為位移的方程通常變換為位移的方程, ,變量減少變量減少f s=0f s=0彈性力學方程彈性力學方程 表征物體總勢能達到最小的一種力平衡狀態(tài)表征物體總勢能達到最小的一種力平衡狀態(tài)：SdufdCSdufduETT 21 21)(應變能應變能外力作功外力作功總勢能總勢能在外力做功條件下在外力做功條件下, ,剛體產(chǎn)生剛

18、體產(chǎn)生動能動能與與勢能勢能, ,彈性體還產(chǎn)生彈性體還產(chǎn)生應變能應變能. .1.1.在靜態(tài)時在靜態(tài)時, ,動能為零動能為零, , 剩下剩下勢能與應變能勢能與應變能.2. 在靜態(tài)平衡時在靜態(tài)平衡時, 勢能達到最小值勢能達到最小值. ( (直觀地講直觀地講, ,在最低點時才不會自動往高處運動在最低點時才不會自動往高處運動) )上式有個符號變化上式有個符號變化, ,不影響極值性不影響極值性KU=F工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例八工程優(yōu)化問題模型舉例八: 結構優(yōu)化設計例子結構優(yōu)化設計例子 結構優(yōu)化分類結構優(yōu)化分類: 尺寸優(yōu)化尺寸優(yōu)化, 形狀優(yōu)化形狀優(yōu)化, 拓撲優(yōu)化拓撲優(yōu)化工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問

19、題模型舉例八工程優(yōu)化問題模型舉例八: 結構優(yōu)化設計例子結構優(yōu)化設計例子 工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例八工程優(yōu)化問題模型舉例八: 結構優(yōu)化設計例子結構優(yōu)化設計例子 最小柔度的拓撲優(yōu)化問題最小柔度的拓撲優(yōu)化問題Find X=(x1, x2, , xn) 單元密度單元密度Minimize C=FTUSubject to V= xivi V* - -體積約束體積約束 F=KU - -結構平衡方程結構平衡方程 0 xi 1xiK 為剛度矩陣為剛度矩陣, K=K(X)F 為載荷向量為載荷向量, U 位移位移, vi 單元單元i體積體積C 為結構總體柔度為結構總體柔度工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題建模

20、隨機優(yōu)化模型混凝土鋼筋模殼M ：在95%概率下擬承受的彎矩。取值在105, 2*105區(qū)間服從均勻分布。fc ：混凝土強度,取值在25, 35MPa區(qū)間服從均勻分布。fs ：鋼筋強度,取值在500, 550MPa區(qū)間服從均勻分布。價格價格隨機優(yōu)化模型DV： x1:=b, x2:= d, x3:= As， 確定量目標：成本)(2)()(213213xxCxxxCxCXffcs約束：強度要求鋼筋與混凝土比例要求幾何范圍工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題模型舉例九工程優(yōu)化問題模型舉例九: 動力系統(tǒng)控制動力系統(tǒng)控制優(yōu)化變量優(yōu)化變量:)(),(ttF目標目標: L=x(tf)約束約束: y(tf)=0, m(

21、tf) 以及ODE工程優(yōu)化問題建模最優(yōu)控制數(shù)學模型最優(yōu)控制數(shù)學模型 0),( )( )(),(,( . .)(),(),()( min00010ffttffuttxUtuxtxtuxfdtdxtsdttutxfttxuJ狀態(tài)方程狀態(tài)方程控制量約束控制量約束終點約束終點約束終點目標終點目標過程性能過程性能x1, x2 火箭位置坐標火箭位置坐標x3=dx1/dt, x4 =dx2/dtx5 火箭質量火箭質量u1, u2 火推力向量方向余弦火推力向量方向余弦u3=-dx5/dt 質量流失率質量流失率c 有效排氣速度有效排氣速度g 重力加速度重力加速度0)(, 0)( 1,0| ),( , , . .

22、)( min15155121222221max330504030201353254315342313010txxxtxxxuuuuuUxxxxxxudtdx-guuxcdtdxuuxcdtdxxdtdxxdtdxtsdtxuJttttu，工程優(yōu)化問題建模不隨時間變化不隨時間變化取定值時,運動方向與推力方向可能不一致!工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題建模xM=vx(t)yM=vy(t)工程優(yōu)化問題建模工程優(yōu)化問題建模旋度能量耗散矩陣點乘工程優(yōu)化問題建模振動系統(tǒng)的材料質量分布優(yōu)化振動系統(tǒng)的材料質量分布優(yōu)化p-軸向剛度、 材料密度尋找最優(yōu)材料質量分布使尋找最優(yōu)材料質量分布使最小特征值最大、最小特征值最大

23、、最大特征值最??！最大特征值最??！+nkxkhxhxphmkkkkkkk,.,2 , 1)()(工程優(yōu)化問題建模 0 0)( 0)( :0)( :1.0)( :2 0)( :1 , 00)(0)(0)()(0) () (0) () (11111111211122122233311011122210111111111112121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkumuuumuuuumuuunkumuuunkumuuukumuuukuuuumuuuumuuuumhuuphuupuhpupuuhp

24、upu+2工程優(yōu)化問題建模簡化約束方程的形式：簡化約束方程的形式：同乘同乘A需要求mkvv工程優(yōu)化問題建模采用另外一種變換：采用另外一種變換：這樣，約束都是線性的。工程優(yōu)化問題建模xxAxxxAxxIATT/0)(, xs.t.優(yōu)變優(yōu)變: :, xLagrange轉換轉換必要不充分必要不充分,但極值但極值是是的上下界的上下界xTx=1二次方程組一次方程組特殊性特殊性: :求鞍點求鞍點工程優(yōu)化問題建模尋找最優(yōu)材料質量分布使最小特征值最大！尋找最優(yōu)材料質量分布使最小特征值最大！取取工程優(yōu)化問題建模尋找最優(yōu)材料質量分布使最小特征值最大！尋找最優(yōu)材料質量分布使最小特征值最大！取取根據(jù)根據(jù)( (a) )在在a=a0附近的附近的極大極小性決定是極大極小性決定是1還是還是4max min -lamda-1min max -lamda-n這里只用到一階導數(shù)，沒用到二階導數(shù)，無法直接確定這里只用到一階導數(shù)，沒用到二階導數(shù)，無法直接確定是最大還是最小特征值。需要其它信息來判斷。是最大還是最小特征值。需要其它信息來判斷。工程優(yōu)化問題建模尋找最優(yōu)材料質量分布使最小特征值最大！尋找最優(yōu)材料質量分布使最小特征值最大！在在n段情況：段情況：工程優(yōu)化問題建模尋找最優(yōu)材料質量分布使最小特征值最大！尋找最優(yōu)材料