高等數(shù)學(xué)方明亮66空間直線(xiàn)及其方程ppt課件

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄第六節(jié)第六節(jié) 空間直線(xiàn)及其方程空間直線(xiàn)及其方程 第六章第六章 ( Space Straight Line and Its Equation)四、直線(xiàn)與平面的夾角四、直線(xiàn)與平面的夾角一、空間直線(xiàn)方程的一般方程一、空間直線(xiàn)方程的一般方程 二、空間直線(xiàn)方程的對(duì)稱(chēng)式方程和參數(shù)方程二、空間直線(xiàn)方程的對(duì)稱(chēng)式方程和參數(shù)方程三、兩直線(xiàn)的夾角三、兩直線(xiàn)的夾角五、平面束五、平面束六、小結(jié)與思考練習(xí)六、小結(jié)與思考練習(xí)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程(General Equation of a Space

2、 Straight Line)直線(xiàn)可視為兩平面交線(xiàn)，( (不唯一不唯一) )一、空間直線(xiàn)方程的一般方程一、空間直線(xiàn)方程的一般方程返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄(Symmetric Expression) 1. 對(duì)稱(chēng)式方程點(diǎn)向式方程對(duì)稱(chēng)式方程點(diǎn)向式方程),(0000zyxM故有說(shuō)明說(shuō)明: 某些分母為零時(shí)某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零其分子也理解為零.mxx0設(shè)直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)為 那么),(zyxMnyy0pzz0此式稱(chēng)為直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程(也稱(chēng)為點(diǎn)向式方程)直線(xiàn)方程為s已知直線(xiàn)上一點(diǎn)),(0000zyxM),(zyxM例如, 當(dāng),0, 0時(shí)pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0二、

3、空間直線(xiàn)方程的對(duì)稱(chēng)式方程和參數(shù)方程二、空間直線(xiàn)方程的對(duì)稱(chēng)式方程和參數(shù)方程00yyxx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄設(shè)得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz03. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程(Parametric Form ) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄解解: :先在直線(xiàn)上找一點(diǎn)先在直線(xiàn)上找一點(diǎn). .102340 xyzxyz 632zyzy再求直線(xiàn)的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線(xiàn)的兩平面的法向量為是直線(xiàn)上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns例例1 1 用對(duì)稱(chēng)式及參數(shù)

4、式表示直線(xiàn)用對(duì)稱(chēng)式及參數(shù)式表示直線(xiàn)（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄故所給直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: :先找直線(xiàn)上一點(diǎn);再找直線(xiàn)的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji(自學(xué)課本自學(xué)課本 例例1)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄例例 2 求與兩平面求與兩平面x4y = 3 和和2xy5z = 1 的交線(xiàn)的交線(xiàn)平行且過(guò)點(diǎn)平行且過(guò)點(diǎn)(3, 2, 5)的直線(xiàn)的方程的直線(xiàn)的方程.解：因?yàn)樗笤谥本€(xiàn)與兩平面的交線(xiàn)平行，也就是直解：因?yàn)樗笤谥本€(xiàn)與兩平面的交線(xiàn)平行，也就是直線(xiàn)的方向向量線(xiàn)的方向向量s 一定同時(shí)與

5、兩平面的法線(xiàn)向量一定同時(shí)與兩平面的法線(xiàn)向量n1、n2垂直，所以可以取垂直，所以可以取 12104(43)215ijksnnijk 因此所求直線(xiàn)的方程為 325431xyz返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄例例3 求直線(xiàn)求直線(xiàn) 234112xyz與平面2xyz6=0的交點(diǎn). 解：所給直線(xiàn)的參數(shù)方程為解：所給直線(xiàn)的參數(shù)方程為x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)6=0. 解上列方程，得t =1. 把求得的t值代入直線(xiàn)的參數(shù)方程中，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為 x=1, y=2, z=2. （由課本例（由課本例3改編）改編）返回

6、返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2L1L則兩直線(xiàn)夾角 滿(mǎn)足21, LL設(shè)直線(xiàn) 兩直線(xiàn)的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s（The Angle between Two Straight Lines）三、兩直線(xiàn)的夾角三、兩直線(xiàn)的夾角返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄特別地有特別地有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄解解: : 直線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)二直線(xiàn)

7、夾角 的余弦為13411:1zyxL220:20 xyLxz cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 例例4由課本例由課本例4改編）改編） 求以下兩直線(xiàn)的夾角求以下兩直線(xiàn)的夾角返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄（The Angle between a Straight Lines and a Plane）當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線(xiàn)所夾銳角 稱(chēng)為直線(xiàn)與平面間的夾角;L當(dāng)直線(xiàn)與平面不垂直時(shí),設(shè)直線(xiàn) L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線(xiàn)與平面夾角 滿(mǎn)足.22

8、22222CBApnmpCnBmA直線(xiàn)和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn四、直線(xiàn)與平面的夾角四、直線(xiàn)與平面的夾角返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄特別有特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns例例5 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面且與平面解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zyx則直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程為0432zyx直的直線(xiàn)方程.為所求直線(xiàn)的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄五、平面束五、平面束 有時(shí)用平面束的方程解題比較方便，現(xiàn)在我們來(lái)介紹它的方程.

9、設(shè)直線(xiàn)L由方程組111122220,0,AxB yC zDA xB yC zD所確定，其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例. 我們建立三元一次方程： 11112222()0AxB y C zDA xB y C zD ( III )其中 為任意常數(shù). 因?yàn)锳1、B1、C1與A2、B2、C2不成 ( II ) ( I )（Pencil of Planes）返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄比例，所以對(duì)于任何一個(gè) 值，方程(III)的系數(shù)： 121212AABBCC、不全為零，從而方程(III)表示 一個(gè)平面，若一點(diǎn)在直線(xiàn)L上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿(mǎn)足方程(I)和(II)，因而也滿(mǎn)足方程(I

10、II)，故方程(III)表示通過(guò)直線(xiàn)L的平面，且對(duì)于于不同的 值，方程(III)表示通過(guò)直線(xiàn)L的不同的平面. 反之，通過(guò)直線(xiàn)L 的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面內(nèi). 通過(guò)定直線(xiàn)的所有平面的全體稱(chēng)為平面束，而方程(III)就作為通過(guò)直線(xiàn)L的平面束的方程(事實(shí)上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束). 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄例例6 求直線(xiàn)求直線(xiàn) 10,10 xyzxyz 在平面x+y+z=0上的投影直線(xiàn)的 方程. 解：過(guò)直線(xiàn)解：過(guò)直線(xiàn) 10,10 xyzxyz 的平面束的方程為 (x +y- z-1) + (xy+z+1)=0,(1+ )x+(

11、1- )y+(-1+ )z+(-1+ )=0, 即 ( (* *) ) 其中 為待定常數(shù). 這平面與平面x+y+z=0垂直的條件是 01)1(1)1 (1)1 (即 10 由此得 =-1 代入(*)式，得投影平面的方程為 2y-2z-2 =0 即 y-z-1=0所以投影直線(xiàn)的方程為 10,0.yzxyz 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄解：解：返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄解：解：返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄1. 空間直線(xiàn)方程空間直線(xiàn)方程一般式對(duì)稱(chēng)式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小

12、結(jié)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄,1111111pzznyymxxL：直線(xiàn)0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm直線(xiàn)夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 2. 線(xiàn)與線(xiàn)的關(guān)系線(xiàn)與線(xiàn)的關(guān)系返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄, 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：夾角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx直線(xiàn) L :),(CBAn ),(pnms 0ns0nsnsns L3. 面與線(xiàn)間的關(guān)系面與線(xiàn)間的關(guān)系4. 平面束平面束返回返回上頁(yè)上

13、頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄課外練習(xí)課外練習(xí)習(xí)題習(xí)題66 1偶數(shù)題）；偶數(shù)題）；3；42）（）（4）；）； 62）；）；7 （偶數(shù)題）；（偶數(shù)題）；10；12思考與練習(xí)思考與練習(xí)D返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄CC面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( 面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( A返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄BB返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL設(shè)直線(xiàn)解：解：,2上在因原點(diǎn)LO12:2zyxL相交,求此直線(xiàn)方程 .的方向向量為過(guò) A 點(diǎn)及 的平2L面的法向量為則所求直線(xiàn)的方向向量方法方法1 利用叉積利用叉積. ),2, 1( isi, n,1nss所以O(shè)Asn2121112kjikji333且垂直于直線(xiàn) 又和直線(xiàn)nOA2L2s2. 一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄設(shè)所求直線(xiàn)與的交點(diǎn)為512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直線(xiàn)的方向向量方法方法2 利用所求直線(xiàn)與利用所求直線(xiàn)與L2 的交點(diǎn)的交點(diǎn) .即故所求直線(xiàn)方程為 2L),(