2.1 導(dǎo)數(shù)概念

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二1高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（牛頓（Newton）萊布尼茲（萊布尼茲（Leibniz）返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二2第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念 第二章第二章 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義一、引一、引 例例四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、小結(jié)與思考題五、小結(jié)與思考題（The Concept of Derivative）返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二3一、引一、引 例例（Introduction）1. 變速直線運(yùn)動的速度變

2、速直線運(yùn)動的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為)(tfs 0t則 到 的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0t0 limttv0( )( )f tf t0tt212sgtso)(0tf)(tft自由落體運(yùn)動返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二4曲線)(:xfyC在 M 點(diǎn)處的切線割線 M N 的極限位置 M T(當(dāng) 時(shí))2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx 割線 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線 MT 的斜率tanktanlim0 limxxk0( )()f xf x0 xx返回返回上頁上頁

3、下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二5so0t)(0tf)(tft瞬時(shí)速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 兩個(gè)問題的兩個(gè)問題的共性:所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題變化率問題返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二6二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義（Definition of Derivatives）1

4、. 函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù). 定義定義1 設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)0 x0limxx00( )()f xf xxx0limxyx )()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)可導(dǎo), 在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 0 xxy)(0 xf 0limxyx xxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000即返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二7若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo). 0 x若0lim,

5、xyx 也稱)(xf在0 x若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就說函數(shù)就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo). 的導(dǎo)數(shù)為無窮大 .0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二8由此可見，( )sf tso0t)(0tf)(tft運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線:( )C yf x在 M 點(diǎn)處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 x

6、Mx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 0( )f t0()fx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二9Cxf)(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2 求函數(shù))N()(nxxfn.處的導(dǎo)數(shù)在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx例例1 求函數(shù)2. 求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例. 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二10對一般冪函數(shù)yx( 為常數(shù)) 1()xx 例如，例如，)(x)(21 x2121xx21

7、x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）說明：說明：返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二11類似可證得類似可證得: :(cos )sinxx 例例3解解: :0sin()sin(sin )limhxhxxh 0sin2limcos()22hhhxhcos . x(sin )cos .xx44(sin )cosxxxx2.2即即返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二12例例4解解: :haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax ()ln .xxaaa即即第第1章第章第9節(jié)例節(jié)例6特別的，特別的，(e )e

8、 .xx 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二13例例5解：解：0log ()loglimaahxhxyh 1(log).lnaxxa .1)(lnxx 0log (1)1limahhxhxx01limlog (1)xhahhxx1.lnxa即即返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二14在點(diǎn)0 x的某個(gè)右右 鄰域內(nèi))(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),0 x記作0()fx(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x定義定義2 設(shè)函數(shù)有定義,存在,3. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù). 在點(diǎn)0

9、 x)(xfy 可導(dǎo)的充分必要條件充分必要條件注注1： 函數(shù),)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf是注注2： 若函數(shù))(xf)(af)(bf與在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),),(ba且都存在 , 則稱)(xf在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,ba返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二15xxf)(在 x = 0 不可導(dǎo). 例例6 證明函數(shù)證證:0()fx0(0)(0)limxfxfx 0limxxx 1因此，函數(shù)xxf)(在 x = 0 不可導(dǎo). 0()fx0(0)(0)limxfxfx 0limxxx 1 00()()fxfx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期

10、二16三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（Geometric Interpretation）xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點(diǎn)),(00yx的切線斜率為0tan()fx若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點(diǎn)駐點(diǎn);),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點(diǎn)處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時(shí) xf返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2

11、月8日星期二173xy 哪一點(diǎn)有垂直切線 ? 哪一點(diǎn)處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.（由本本例（由本本例8改編）改編）解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x故在原點(diǎn) (0 , 0) 有垂直切線例例7 問曲線xyO令,3113132x得,1x對應(yīng),1y則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線131xy1111平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即023 yx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二18四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(定理定理處連續(xù)在點(diǎn)xxf)(證證: 設(shè))(x

12、fy 在點(diǎn) x 處可導(dǎo),)(lim0 xfxyx存在 , 故0limxy 即0limxyxx 00limlimxxyxx 0所以函數(shù))(xfy 在點(diǎn) x 連續(xù) .注意注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo).反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二19例例81sin,0( ),0,0 xxf xxx解：解：1sinx01lim sin0 xxx( )f x0 x 1(0)sin00 xyxxx1sin.x0 x ( )f x0(0)lim( )0 xff x在在 處的處的討論函數(shù)討論函數(shù)0 x 是有界函數(shù)是

13、有界函數(shù),0 x 在在 處連續(xù)性處連續(xù)性.但但在在處有處有當(dāng)當(dāng)yx時(shí)，時(shí)，在在1和和1之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在.在在 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo).0 x 連續(xù)性與可導(dǎo)性連續(xù)性與可導(dǎo)性.返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二20內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 本節(jié)通過兩個(gè)引例抽象出導(dǎo)數(shù)的定義：本節(jié)通過兩個(gè)引例抽象出導(dǎo)數(shù)的定義：0 xxy)(0 xf 000( )()limxxf xf xxx)()(0 xfxfy0 xxx0limxyx 000()()limxf xxf xx 000()()limhf xhf xh返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二212. 利

14、用導(dǎo)數(shù)的定義得出以下導(dǎo)數(shù)公式：利用導(dǎo)數(shù)的定義得出以下導(dǎo)數(shù)公式：( )C )(x )(sin x(cos ) x (ln ) x 0;1x;cosxsin ;x1,x()ln;xxaaa (e )e .xx 3. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù), 一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;5. 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo)。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二22課后練習(xí)課后練習(xí)習(xí)習(xí) 題題 2-1 1；4；5（偶數(shù)題）；（偶數(shù)題）；10（2）；）；11思考與練習(xí)

15、思考與練習(xí)1. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?與導(dǎo)函數(shù)區(qū)別:( )fx是函數(shù) ,0()fx是數(shù)值;聯(lián)系:0( )x xfx0()fx注意注意: )()(00 xfxf？返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二23._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx0()fx0k)(0 xf 存在 , 則2. 設(shè)4. 設(shè))(0 xf 存在, 求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(00()f xhhxf2)( 00()f x)(210 xf )(210 xf 0()fx)( 2 )(0hhxf0()f x返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二240,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時(shí),)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時(shí),1)0( f此時(shí))(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .5. 設(shè)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年2月8日星期二25解解: 因?yàn)?(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2