matlab實驗三級數(shù)Word版

1、實驗三 級數(shù)【實驗目的】1.了解級數(shù)的有關理論。2.了解函數(shù)的Taylor展開式。3.學習,掌握MATLAB軟件中有關命令?！緦嶒瀮?nèi)容】1.求函數(shù)的級數(shù)，并考察其Taylor展開式的前幾項構成的多項式函數(shù)的圖形向的圖形的逼近情況。2.計算級數(shù)的值。3.驗證Euler公式?！緦嶒灉蕚洹?.級數(shù)的基本概念。數(shù)項級數(shù)；Taylor級數(shù)。2.級數(shù)的MATLIB命令。主要用symsum,taylor求級數(shù)的和及進行Taylor展開式?！緦嶒炛攸c】1、級數(shù)的計算【實驗難點】1、無窮級數(shù)的計算【實驗方法與步驟】練習1 先用Taylor命令觀察函數(shù)Maclaurin展開式的前幾項,若觀察前6項,相應的MATL

2、IB代碼為>>clear;syms x;1 / 8>>taylor(sin(x),0,1)>>taylor(sin(x),0,2)>>taylor(sin(x),0,3)>>taylor(sin(x),0,4)>>taylor(sin(x),0,5)>>taylor(sin(x),0,6)運行結果為>> taylor(sin(x),0,1) ans =0 >> taylor(sin(x),0,2) ans = x >> taylor(sin(x),0,3) ans = x &

3、gt;> taylor(sin(x),0,4) ans = x-1/6*x3 >> taylor(sin(x),0,5) ans = x-1/6*x3 >> taylor(sin(x),0,6) ans = x-1/6*x3+1/120*x5然后在同一坐標系里作出函數(shù)和其Taylor展開式的前幾項構成的多項式函數(shù),的圖形,觀察這些多項式函數(shù)的圖形向的圖形逼近的情況。在區(qū)間上作函數(shù)與多項式函數(shù)圖形的MATLIB代碼為>>x=0:0.01:pi; >>y1=sin(x); y2=x; y3=x-x.3/6;y4=x-x.3/6+x.5/120;

4、>>plot(x,y1,x,y2,':',x,y3,':',x,y4,':')運行結果如圖3.1，其中實線表示函數(shù)的圖形。類似的，根據(jù)函數(shù)的Taylor級數(shù)作圖觀察其展開式的前幾項多項式函數(shù)逼近原函數(shù)的情況。練習2 利用冪級數(shù)計算指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)可展開為冪級數(shù)其通項為，因此用下列循環(huán)相加就可計算出這個級數(shù)。>>x=input('x=');n=input('n=');y=1;%輸入原始數(shù)據(jù),初始化y>>for i=1:n y=y+xi/prod(1:i);end,vpa(y,10

5、),%將通項循環(huán)相加，得y執(zhí)行此程序，分別帶入x=1,2,4,-4這四個數(shù)，取n=0，得到結果如下：2.718281801,7.388994709,54.44310406,.9671957672e-1用vpa(exp(1),10),vpa(exp(2),10),vpa(exp(4),10),vpa(exp(-4),10)命令可得?的有10位精確有效數(shù)字的結果為2.718281828,7.389056099,54.59815003,.1831563889e-1對照可知，用級數(shù)法計算的有效數(shù)字分別為8，4，2，0位。因此這個程序雖然原理上正確，但不適用。對不同的x，精度差別很大。還存在其它的問題：

6、這個程序不能用于x的元素群運算；當x為負數(shù)時，它成為交錯級數(shù)，收斂很慢；該程序要做次乘法，n很大時，乘法次數(shù)太多，計算速度很低；對不同的x，要取不同的n才能達到精度要求，因此n不應由用戶輸入，應該由程序按精度要求來選。針對上面的四個問題,可以采用下面的四種方法改進:(1)允許數(shù)組輸入,改進輸出顯示x=input('x=');n=input('n=');y=ones(size(x);%輸入原始數(shù)據(jù),初始化yfor i=1:ny=y+x.i/prod(1:i);%循環(huán)相加s1=sprintf('%13.0f',i);s2=sprintf('%

7、15.8f',y);%將結果變?yōu)樽址甦isp(s1,s2)%顯示end,執(zhí)行此程序,輸入x=1 2 4 -4,n=10,結果為 1 2.00000000 3.00000000 5.00000000 -3.00000000 2 2.50000000 5.00000000 13.00000000 5.00000000 3 2.66666667 6.33333333 23.66666667 -5.66666667 4 2.70833333 7.00000000 34.33333333 5.00000000 5 2.71666667 7.26666667 42.86666667 -3.533

8、33333 6 2.71805556 7.35555556 48.55555556 2.15555556 7 2.71825397 7.38095238 51.80634921 -1.09523810 8 2.71827877 7.38730159 53.43174603 0.53015873 9 2.71828153 7.38871252 54.15414462 -0.19223986 10 2.71828180 7.38899471 54.44310406 0.09671958(2)可以利用exp(-x)=1/exp(x)來避免交錯級數(shù)的計算。（3）為了減少乘法次數(shù)，設一個中間變量z，它的

9、初始值為z=ones(sine(x)，把循環(huán)體中的計算語句改為y=y+z;z=x.z/i;這樣，求得的z就是z=x.i/i，于是每個循環(huán)只需做一次乘法，計算整個級數(shù)只需n次乘法。按這種方法，y的初始值改為y=zeros(size(x)。(4)為了按精度選擇循環(huán)次數(shù)，不應使用for循環(huán)，而用while語句，它可以設置循環(huán)的條件語句，通常可用y+z-y>tol，tol是規(guī)定的允許誤差，只要相鄰的兩次y值之差大于tol，循環(huán)就繼續(xù)進行，直到小于tol為止。當x較大時，exp(x)仍能很快收斂，還可以利用關系式，令x1=x/k。k通常取大于x而接近x的2的冪，例如x=100，就取k=128，可以保證x1的絕對值小于1，這時級數(shù)收斂的很快。從練習中可以看出，n取10時就能保證7位有效數(shù)字，而可以化為，即exp(x1)的7次自乘，總共享17次乘法就可完成？的計算，既保證了精度，又提高了速度?！揪毩暸c思考】習題1用Taylor命令求出函數(shù)的Maclaurin展開式的前幾項，然后在同一坐標系