隨機事件的概率

1、隨機事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一個發(fā)生的概率.相互獨立事件同時發(fā)生的概率.獨立重復試驗. 考試要求: (1)了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義. (2)了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率. (3)了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率. (4)會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率. 6、概率與統(tǒng)計 考試內(nèi)容: 離散型隨機變量的分布列.離散型隨機變量的期望值和方差. 抽樣方法.總體分布的估計.正態(tài)分布.線性回歸. 考試要求: (1)了解離散型

2、隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列. (2)了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差. (3)會用隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層.抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本. (4)會用樣本頻率分布去估計總體分布. (5)了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì). (6)了解線性回歸的方法和簡單應用- 二、高考數(shù)學試題對概率與統(tǒng)計的考查特點 1、試題特點 (1) 與教材聯(lián)系密切，有些試題是通過教材改編的問題或從實際生活中概括出來的，具有新的情境，并賦予時代的氣息，貼近學生的生活，并解決生產(chǎn)生活中的一些實際問題.如:天津卷理科第18題是有關投球問題、陜西卷

3、理科第18題是射擊問題、浙江卷理科第19題和湖北卷理科第17題都是取球問題，它們基本上是來自教材原題的改編，通過對基礎知識的重組，拓廣成為立意較高的題目;安徽卷文科第18題是有關學生普通話測試 的題目，海南寧夏卷文科第19題是有關道路交通法在中學生中的普及程度問題，貼近學生的實際生活;北京卷理科第17題和文科第18題以奧運志愿者為問題情境，山東卷理科第7題和第18題是分別以奧運志愿者和火炬手為情境的問題，具有很強的時代氣息;全國卷I理科第20題是有關患病動物的化驗問題，江西卷理科第18題是有關冰凍自然災害問題，安徽卷理科第19題是有關綠化問題，全國卷理科第18題是有關保險的問題等解決生產(chǎn)生活中

4、的一些實際問題.由此我們看到高考中出現(xiàn)的概率問題與其他題目有區(qū)別，其應用性較強. (2)所有的試題注重對概率中四個公式的考查:等可能性事件的概率、互斥事件的概率加法公式、獨立事件的概率乘法公式、事件在n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率，及分布列和數(shù)學期望，并相應地增加了對抽樣方法、直方圖、條形圖、頻率分布估計總體分布、線性回歸等方面的考查. (3)注重與其他數(shù)學知識的綜合.如: 浙江卷理科第19題和海南寧夏卷理科第19題都是與函數(shù)求最值綜合的問題;山東卷理科的第7題是與等差數(shù)列綜合的問題;廣東卷理科的第17題是與解不等式綜合的問題. (4)對分類討論思想的要求較高.分類討論是數(shù)學中非常重要的

5、一種數(shù)學思想，且在平時的生活中應用較為廣泛，從高考數(shù)學試題來看，大部分的試題都需要分類討論且討論的層次較多.有時當分類討論的情況較多時，要求學生會從事物的反面出發(fā)利用對立事件解決問題，可收到事半功倍的效果，這就要求學生思維具有一定的靈活性.三、各套高考數(shù)學試卷概率與統(tǒng)計專題分類詳解 (1) 考題具有時代氣息，增加了數(shù)學的趣味性與應用性 例1、(北京卷理17) 甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到ABCD，四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者 （）求甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率； （）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率； （）設隨機變量x為這五名志愿者中參加A崗位服務的人數(shù)，求x的

6、分布列 例2、(湖北卷文14) 明天上午李明要參加奧運志愿者活動，為了準時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己，假設甲鬧鐘準時響的概率是0.80，乙鬧鐘準時響的概率是0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是 . 除了以上兩個例題與奧運有關之外還有山東卷理科第7、18題分別是有關奧運火炬?zhèn)鬟f和奧運知識競賽的問題，增強了數(shù)學的實用性和趣味性。 (2)以概率中四個典型的計算公式為核心，考查基礎知識 例3、(湖南卷理15) 對有n(n4)個元素的總體1,2,3,n進行抽樣，先將總體分成兩個子總體1,2,，m和m+1、m+2,，n(m是給定的正整數(shù)，且22mn-),再從每個子總體中各隨機抽取2個元素組成

7、樣本，用ijp表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率，則1np= ;所有(1)ijpijn的和等于 . 例4、(湖南卷理16) 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設每人面試合格的概率都是12，且面試是否合格互不影響.求：（）至少有1人面試合格的概率;（）簽約人數(shù)x的分布列和數(shù)學期望.例5、(山東卷理7) 在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為12318L，的18名火炬手若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為（ ） A151 B168 C1306 D1408

8、 例6、(山東卷理18) 甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分假設甲隊中每人答對的概率均為23，乙隊中3人答對的概率分別為221332，且各人回答正確與否相互之間沒有影響用x表示甲隊的總得分 （）求隨機變量x的分布列和數(shù)學期望； （）用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求()PAB (3)對分類討論的要求較高 例7、(全國卷理20) 已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方法： 方案甲：逐個化驗

9、，直到能確定患病動物為止 方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗 （）求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率； （）x表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求x的期望 例8、(江西卷理18) 因冰雪災害，某柑桔基地果林嚴重受損，為此有關專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實施若實施方案一，預計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復到災前的1倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1倍的概率分別是0.5、0

10、.5若實施方案二，預計第一年可以使柑桔產(chǎn)量達到災前的1.2倍、1倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1倍的概率分別是0.4、0.6實施每種方案第一年與第二年相互獨立，令()1,2iix=表示方案i實施兩年后柑桔產(chǎn)量達到災前產(chǎn)量的倍數(shù) （1）寫出12,xx的分布列； （2）實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災前產(chǎn)量的概率更大? （3）不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達不到、恰好達到、超過災前產(chǎn)量，預計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元問實施哪種方案的平均利潤更大? (4)注重在與其他知識部分知識交匯處結合來考查學生的綜合能力 例9、(

11、遼寧卷理18) 某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量(單位:噸)進行統(tǒng)計,最近100周的統(tǒng)計結果如下表所示: 周銷售量 2 3 4 頻數(shù) 20 50 30 根據(jù)上面統(tǒng)計結果,求周銷售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率; 已知每噸該商品的銷售利潤為2千元,x表示該種商品兩周銷售利潤的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷售量相互獨立,求x的分布列和數(shù)學期望. 例10、(海南寧夏理19) AB，兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為 X1 5 10 P 0.8 0.2 （）在AB，兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤

12、，求方差DY1，DY2； （）將(0100)xx萬元投資A項目，100x-萬元投資B項目，()fx表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和求()fx的最小值，并指出x為何值時，()fx取到最小值 （注：2()DaXbaDX+=）例11、(浙江卷理19) 一個袋中裝有若干個大小相同的黑球，白球和紅球已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是25；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是79 （）若袋中共有10個球， 求白球的個數(shù)；從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為x，求隨機變量x的數(shù)學期望Ex （）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于710并指出

13、袋中哪種顏色的球個數(shù)最少 四、復習建議 概率等知識既是高中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，又是高考的重點，綜觀近幾年各地高考數(shù)學試題，概率是新課程高考的一大熱點和亮點，常與函數(shù)、數(shù)列、幾何、實際生活等內(nèi)容交叉滲透，使數(shù)學問題情境新穎別致.試題的難度由易向中等難度靠近，并逐步成為高考試卷中的主流應用題.從學生答題情況看，概率試題失分率較大，表明學生對這一部分內(nèi)容掌握往往不到位，因此，在復習備考中，建議做到以下幾點. 1.重視教材，回歸基礎 綜觀高考數(shù)學試卷中的概率統(tǒng)計試題，大多數(shù)試題是由教材例題和習題經(jīng)過組合、加工和拓展而成，充分體現(xiàn)出教材的基礎作用.復習階段要以課本的例題和習題為素材，舉一反三地類比高考試

14、題，力求對教材內(nèi)容融會貫通，收到事半功倍的效果.注重基礎知識和基本方法，從最基本的公式、定理人手，恰當選取典型例題，構建思維模式，造成思維依托和思維的合理定勢.復習概率最重要的是搞清概念，弄懂過程，區(qū)分事件的種類，選擇相關的概率公式，同時要注意閱讀例題和習題的解答格式. 2.關注生活，注重聯(lián)系 高考中概率以考查實際問題為主，解決此類問題不能機械地套用模式，而要認真分析，抽象出其中的數(shù)量關系，轉化為數(shù)學問題，再利用有關的數(shù)學知識加以解決. 2008年高考數(shù)學全國卷的概率問題是聚焦人民生活、百姓普遍關注和熟悉的保險問題，引導學生深入社會實際，關注社會生活，在加強數(shù)學應用意識的同時，對隨機變量考查的

15、深度、難度明顯加強，思維價值高，需在深刻理解題意和數(shù)學期望概念的基礎上，運用多種方法解決，著重考查了學生提煉數(shù)學模型、應用數(shù)學的能力.從考生答題情況看，概率得分率明顯低于往年，原因在于讀不懂題目，不熟悉題目背景，缺乏語言轉換能力，不了解數(shù)學期望的實際意義.數(shù)學閱讀能力與語言轉換能力的形成不是一獻而就的，為此要注意復習中尋找或自行編制一些貼近生活的實際應用題，重點抓好運用概率知識解決生活中實際問題能力的培養(yǎng)與訓練. 3.強化思想，提煉方法 概率中蘊含了許多重要的數(shù)學思想，如分類討論思想、等價轉化思想、整體思想、數(shù)形結合思想，在復習中不可就題論題，將問題孤立，片面強調(diào)單一知識和題型，要注意對數(shù)學思想方法的挖掘、提煉、總結，以增強分析問題和解決問題的能力.許多概率問題求解的關鍵在于利用轉化的思想，搞清文字如至少、至多、恰好、都發(fā)生、不都發(fā)生、都不發(fā)生等一類詞語的含義，把具有現(xiàn)實意義的事件轉化為容易列式求解的各種事件.分類討論思想在概率問題中體現(xiàn)較多，即把概率分成若干個分支的概率之和，其關