二項式定理復習課精品教育doc

1、二項式定理復習課樊加虎一.教案描述教學設想：精心設計例題，用二節(jié)課的時間對二項式定理進行復習。除理 清基本概念外，著重訓練定理運用中的七個層次，使學生的數(shù)學知識和數(shù)學 思想都得到訓練。1、會正用.即套用公式，這一層次的思維量較小，但對理解和鞏固定理是完全 必要的，例題安排上由淺入深，復習方法上以提問或學生練習為主，要做 到正確、熟練。例1、求X2 (2 3x)6的展開式中含X5的項.解：x2C；23(3x)3 =4320x5例2、求(1 -2x)5 (13x)4展開式中前三項之和.解：計算時注意每個因式的展開式只須取前三項即可。5422(1-2x) (1 3x) =1 -5 2x 10 (_2

2、x) - 1 4 3x 6 (3x)=(1 -10x 40x2 - )(1 12x 54x2 J =1 2x -26x2仁展開式前三項之和為1，2x-26x2.例3、求(2x2 -3x 1)8展開式中x項.解：若將(2x2 -3x - 1)8化為(2x-1)8(x-1)8來確定展開式中x項，解法不甚合理，注意到2x2與x項無關，可轉化為求(-3x T)8展開式中x項，即C；(-3x)=-24x，解法較捷。本題較靈活，有助于提高學生轉化能力。2、會反用.逆向思維的訓練能加深對定理的理解，培養(yǎng)觀察能力，但學生往往 不習慣，例題和習題可逐步加深。例 4、求值(1)4n d4nC；4n2 C：'

3、;4 T ；(2) 1 _2C： +22c：+(_2)ncn .解：原式即為(41)n的展開式，.原式=5n.(2)注意符號問題，原式=(12)n =(一忙例 5、設函數(shù) f (x) =1 5x-10x2 10x5x4 x5.求 f(x)的反函數(shù) f'(x).解：如果f (x)的表達式中第一項1改為-1，則為(1 x)5的展開式.f(X)=(一1 x)52.易得 f J(x) =15 x -2 (x R)3、會變用.不少問題需要將數(shù)式變形后，再運用二項式定理。這一層次要求學 生有一定的分析能力，復習中應引導學生觀察數(shù)式特征，進行合理變形。例6、求(x2 2-2)3展開式中的常數(shù)項.x解

4、：一般有兩種變形方法，其一變形為(X2，厶)-？3，其二變形為(X-)6.后xx者較簡，其常數(shù)項即為第四項T4=-c3=-20.例7、設 1-xx2 -x3亠亠 x16-x17=a0a1(x1)a2(x1)亠 a17 (x1)17,求a2.解：為了比較系數(shù)，將左式變形為1 -(x 1) -1 (x T) -12 " -(x T)-117.再展開之，展開式中(x 1)2項的系數(shù)即為a2，a2C CC1； =C；8 =816.4、會設項.這是二項式定理中常用的待定系數(shù)法，學生應熟練掌握。例8、(、一2 3 3)100的展開式中含有多少個有理項？100 -r r解：Tr.1=C：00 2

5、2 33,耍使其為有理數(shù)，即 =n，- = m (n, m為非負整23得 r =2(50 - n)，且 r=3m. /. r 是 6 的倍數(shù)，可取 r=0 , 6 , 12,，96 共 17 個.1 1例9、設(3x3 - x2)n展開式的各項系數(shù)之和為t，其二項式系數(shù)之和為h，若 t272，試求展開式中x2項的系數(shù).解：此題應先定 n，令 x =1，得t =4二而 h =2n. 4n 2n = 272.得2n =16，1 1.n =4. .1 二C；(3x3)4(xY 由丄=2得 r=4. x2項系數(shù)為32C：3° =15、會取值.二項式定理提供了從一般到特殊的思維方法訓練的好教材

6、，應抓住 機遇進行這一基本思維方法的訓練.例10、求(x 2y)(2x y)2(x - y)3展開式中各項系數(shù)的和.解：設原式=aox6 a1x5y - a?x4 y2 aey6.令 x = 1, y = 1，得 a0 - a1 a2 丁-_a6 = 216 .在熟知基本題的基礎上，可適當選擇些靈活性的例題例11、求(153x-y)15展開式中所有無理系數(shù)之和.解：考慮到展開式中無理系數(shù)為多，可以從反面求有理系數(shù)著手。有理系數(shù)項為：(153x)15 =3x15，(-y)15 二-y15.'.有理系數(shù)之和為 3 (-1)=2.令x = y =1，得展開式各項系數(shù)之和為(153 -1)15

7、.展開式中所有無理系數(shù)之和 為(153 -1)15 -2.例 12、設(1 x x2) a0 aw ，a2nX2n.求a0 a2，a4 a2n 的值.解：令 x -1，得 a0 a1 a2 ，a2n - 3 .令 x = -1，得a。-a1 a? -a?n =1.3n +1兩式相加得 a。 a2 a4 a2n二一 一.2在取值過程中，要培養(yǎng)學生觀察能力例 13、設(1 2x)100 = ao - ai(x -1)a2(x -1)2 aioo(x.求 a1 a3 a5,£99 的值解：令 x = 2，得 ao a1 a? g7'a1oo 二 5100.令 x = 0，得a a1

8、 a2：；a1oo = 1 .兩式相減，得a1a 亠a9910056、會構造.關于組合恒等式的證明，通常需要構造一個恒等式，比較其二項展 開式的系數(shù)而得。這一層次要求有較強的觀察分析能力，是個難點，例題 和習題不宜太難，講解中應慢慢引導，啟發(fā)學生思維。例14、證明下列各式(1) 1 3C： 9C： 飛“七穿 3nC： =4n.(2) (C：)2 (C：)2 (C：)2 (C；)2 二C；n.證：構造二項展開式(a - b)C°an C：anb C：an'b2 C；bn.令a =1, b =3得(13)； -1 C； 3 C；32 ：；川"C： 3；即 1 -3C；

9、9C23nJCrnJ -3；C； =4；.構造恒等式(1 x)； (1 - x)； =(1 x)2n.兩邊含x；項的系數(shù)相等，即Cn C： W - Cn C；- C； clc； CT 二 C；，0 乞 m ； (C°)2 (C；)2 (C；2)- - (C；)；二 C；.7、會綜合 在復習中還應注意與其它數(shù)學知識的橫向聯(lián)系，尤其與數(shù)列、不等 式和三角的綜合運用，這一層次的思維更具有廣闊性。例15、若實數(shù)x，y滿足x1，求證：x5 y51> 16證：令X-1比,1y 二一：,則22x5y5 廠（丄亠:°5(丄-)5 =15241> 2216 216例16、已知等差

10、數(shù)列an及等比數(shù)列bn中，印ab2，且這兩個數(shù)列都是遞增的正項數(shù)列，求證：當n 2時，an < bn證：設 a1 = 0 = a，a2b2 =b,則 an =a (n 1)(b a).b n_ia+b a n_ib a n_i1 b a 2 b a 2bn 二a() a( 廠 二a(1)=a1 C. C)aaaaa出川(一)nJ1a1 (n -1) = a (n -1)(b -a)二 anaa利用二項式定理證明不等式，采用“對稱法”（例 15）及“減項放縮法”（例 16 ）較為普遍二教案評析通過以上七個層次的復習，學生一般都能掌握二項式定理解題的常用方 法。數(shù)學思想和方法也得到一次系統(tǒng)的訓練，分析和綜合能力有所提高，收到 了復習的實效。二項式定理是高中數(shù)學中較為獨特的一部分，教材中只簡單地講述定理的 推導、性質及應用。如果沒有認真分析教材，復習課往往容易產生簡單化傾 向，僅僅要求學生熟記公式、會代公式而言。其實，二項式定理內容雖不多， 但分散于教材及習