【圓】數(shù)學(xué)思想方法聚焦

1、【圓】數(shù)學(xué)思想方法聚焦一、分類討論思想例1已知兩相交圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長為6cm，求這兩圓的圓心距分析：已知兩圓相交，求兩圓圓心距。解：分兩種情況：（1）如圖1，設(shè)O1的半徑為r1=5cm，O2的半徑為r2=4cm圓心Ol，02在公共弦的異側(cè) O1 O2垂直平分AB，AD=AB=3cm連O1A、 O2A，則 （cm）（2）如圖2，圓心Ol，02在公共弦AB的同側(cè)，同理可求01D=4cm，02D=（cm） （cm）點評：此題為基本題目；此題未給出圖形，所以應(yīng)分兩種情況求解；若題中給出圖形，按已知圖形分析求解即可；若題中已知的相交兩圓是等圓時，兩相交等圓的圓心只能在公共弦兩側(cè)二、

2、方程思想例2 如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于E，弦CD，AF相交于點G，過點D作O的切線交AF的延長線于M，且.（1）在圖中找出相等的線段（直接在橫線上填寫，所寫結(jié)論至少3組，所添輔助線段除外，不寫推理過程）：.（2）連結(jié)AD，AF（請將圖形補充完整），若，求ACDF的值.【分析】（1）利用垂徑定理易知：CE=DE，而由可知C=CAG. AG=CG.根據(jù)相似可求得CG·DG=AG·GF，可得DG=FG.（2） 先根據(jù)相似求出CE，得CD，AF，又GD=GF，設(shè)EG=x，則AG可用x表示，再用RtAEG建立x的方程，求出x，用AGCDGF得AC與DF的比.解：（1）CE=

3、DE，AG=CG，DG=FG.（2）連接AC. ABCD， EC=ED，AC=AD.由相交弦定理，得AE·BE=CE2 . CE=3. CD=AF=6.又 GDF=GFD， GD=GF.設(shè)EG=x，則AG=6-（3-x）=3+x.在RtAEG中，【小結(jié)】本題是一道垂徑定理，圓周角定理，相交弦定理，切割線定理合為一體的綜合題，第（1）問有開放性和探索性，第（2）問運用了方程思想，全面考查了對圓相關(guān)知識的認識.三、代數(shù)思想例3如圖所示，O的直徑ABCD，E為OD的中點，AE交O于點G，CG交OB于點F.求證：OB3OF.【分析】 確定兩條線段之間的倍數(shù)關(guān)系，一般采用尋找等分點的直接證法和

4、借助中間量的間接證法.根據(jù)本題的已知條件，可依據(jù)三角形相似比的關(guān)系，借助系數(shù)k尋求OB、OF的關(guān)系.證明：設(shè)半徑OA2k，則OE=ED=k，AB=2OA=4k，OA=OCOB2k.連結(jié)DG、BG.四、運動的思想例4已知：如圖，ABC的外部有一動點P（不能在直線BC上），分別連結(jié)PB、PC，試確定BPC與BAC的大小關(guān)系分析：BPC與BAC之間沒有聯(lián)系，要確定BPC與BAC的大小關(guān)系，必須找恰當(dāng)?shù)妮d體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，通過構(gòu)造ABC的外接圓，問題就會迎刃而解解：如圖弧BAC和弧BMC是包含圓周角等于BAC 的兩段?。˙MCBAC），1當(dāng)點P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直線

5、BC上時，BPC<BAC；2當(dāng)點P在弧BAC和弧BMC上時，BPCBAC；3當(dāng)點P在弓形BAC和弓形BMC內(nèi)且在ABC和MBC外時，BPC>BAC證明：1當(dāng)點P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直線BC上時，如圖，連結(jié)BD，根據(jù)外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，BPC<BDC，又BDC=BAC，BPC<BAC，（若點P在BC下側(cè)的弓形BAC和弓形BMC外時，同法可證出BPC<BMC即BPC<BAC）；2當(dāng)點P在弧BAC和弧BMC上時，如圖，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，BPCBAC（若點P在弧BMC上時，同法也可證得BPCBMCBAC）；3當(dāng)點P在弓形BAC和弓形

6、BMC內(nèi)且在ABC和MBC外時，如圖，延長BP交ABC外接圓于點D，連結(jié)CD，BPC>BDC，又BDC=BAC，BPC>BAC，（若點P在弓形BMC內(nèi)且在MBC外時，同法也可證出BPC>BMC即BPC>BAC）五、割補思想例5如圖，將半徑為2cm的O分割成十個區(qū)域，其中弦AB、CD關(guān)于點O對稱，EF、GH關(guān)于點O對稱，連接PM，則圖中陰影部分的面積是_cm2（結(jié)果用表示）解析：如圖，根據(jù)對稱性可知：S1=S2，S3=S3，S5=S6，S7=S8，因此陰影部分的面積占整個圓面積的，應(yīng)為：（cm2）點評把所求不規(guī)則圖形，通過已知的分割線把原圖形分割成的圖形進行適當(dāng)?shù)慕M合，轉(zhuǎn)

7、化為可求面積的圖形分類思想在圓中的應(yīng)用例1已知兩圓半徑之比是5:3，如果兩圓內(nèi)切時，圓心距等于6，問當(dāng)兩圓的圓心距分別是24、5、20、0時，相應(yīng)兩圓的位置關(guān)系如何?選題意圖：考查兩圓五種位置關(guān)系.解：設(shè)大圓半徑R=5x兩圓半徑之比為5: 3，小圓半徑r=3x，兩圓內(nèi)切時圓心距等于6，5x-3x=6，x=3，大圓半徑R=15，小圓半徑r=9，當(dāng)兩圓圓心距dl=24時，有dl=R+r，此時兩圓外切；當(dāng)兩圓圓心距d2=5時，有d2<R-r， 此時兩圓內(nèi)含；當(dāng)兩圓圓心距d3=20時， 有R-r<d3<R+r， 此時兩圓相交；當(dāng)兩圓圓心距d4=0時，兩圓圓心重合，兩圓為同心圓點評：此

8、題考察學(xué)生對兩圓位置的數(shù)量認識與形象思維的聯(lián)想能力考察數(shù)形結(jié)合能力例2已知兩相交圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長為6cm，求這兩圓的圓心距選題意圖：已知兩圓相交，求兩圓圓心距。解：分兩種情況：（1）如圖1，設(shè)O1的半徑為r1=5cm，O2的半徑為r2=4cm圓心Ol，02在公共弦的異側(cè) O1 O2垂直平分AB，AD=AB=3cm連O1A、 O2A，則 （cm）（2）如圖2，圓心Ol，02在公共弦AB的同側(cè)，同理可求01D=4cm，02D=（cm） （cm）點評：此題為基本題目；此題未給出圖形，所以應(yīng)分兩種情況求解；若題中給出圖形，按已知圖形分析求解即可；若題中已知的相交兩圓是等圓時，兩相

9、交等圓的圓心只能在公共弦兩側(cè)例3已知：如圖，O和O1內(nèi)切于A，直線OO1交O于另一點B，交O1于另一點F，過B點作O1的切線，切點為D，交O于C點，DEAB垂足為E求證：(1)CDDE；(2)若將兩圓內(nèi)切改為外切，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立?請證明你的結(jié)論選題意圖：主要應(yīng)用“如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上”這一結(jié)論解決的綜合題證明：（1）連結(jié)DF、AD，AF為O1的直徑，F(xiàn)DAD，又DEAB，DFE=EDA，BC為O1的切線，CDA=DFE，CDA=EDA，連結(jié)AC，AB為O的直徑，ACBC，又AD公共，RtEDARtCDA，CDDE（2）當(dāng)兩圓外切時，其他條件不變，(1)中

10、的結(jié)論仍成立證法同（1）點評：此題應(yīng)用“如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上”、雙垂直、弦切角、全等三角形等知識；第（2）問是開放性問題例4如圖，O經(jīng)過O的圓心，E、F是兩圓的交點，直線OO交O于點Q、D，交O于點P，交EF于點C且EF=2，sinP=(1)求證：PE是O的切線；(2)求O和O的半徑的長；(3)點A在劣弧 上運動(與點Q、F不重合)，連結(jié)PA交 于點B，連結(jié)BC并延長交O 于點G，設(shè)CG=x，PA=y求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式選題意圖：主要考查切線的判定、兩圓相交的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、切割線定理及相似形等知識的綜合題。證明：（1）連結(jié)OE，OP是O的直徑，OEP=90

11、76;，PE是O的切線（2）設(shè)O、O的半徑分別r、rO與O交于E、F，EFOO，EC=EF=在RtEOC、RtPOE中，OEC=OPEsinOEC= sinOPE=，sinOEC=，即OC=r，r2-r=15，得r=4在RtPOE中，sinOPE= ，r=8（3）按題意畫圖，連結(jié)OA，OEP=90°，CEOP，PE2=PC·PO又PE是O的切線，PE2=PB·PA，PC·PO=PB·PA，即，又CPO=APO，CPBAPO，BC=60/PA由相交弦定理得BC·CG=EC·CF，BC=15/CG，PA=4CG，即y=4x（X5

12、）例5兩圓的半徑分別是方程 的兩根且兩圓的圓心距等于3，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）（A）外離（B）外切 （C）內(nèi)切（D）相交解：方程 的兩根分別為1和2，而兩圓的圓心距是3，兩圓的半徑之和等于圓心距，兩圓的位置關(guān)系是外切，故選B點評：本題利用兩圓的半徑的和或差與圓心距的數(shù)量關(guān)系判定兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R、r，圓心距為d，則（1）兩圓外離；（2）兩圓外切；（3）兩圓相交；（4）兩圓內(nèi)切；（5）兩圓內(nèi)含巧用整體思想求面積化零為整，化分散為集中的整體策略是數(shù)學(xué)解題的重要方法，利用整體思想，把一些看似彼此獨立，實質(zhì)上緊密相連的量作為整體進行處理，不僅會使問題化繁為簡，化難為易，而且有助于培養(yǎng)

13、學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.例1 如圖1，A、B、C兩兩不相交，且半徑都為，則圖中陰影部分的面積之和為（ ）.A B C D析解：圖中陰影部分為三個扇形，所以只要求出扇形的面積即可。但求扇形的面積必須知道圓心角的度數(shù)，如何求出這三個扇形的圓心角的度數(shù)呢？顯然是比較困難的，因為這是一個普通的三角形。我們觀察到三個圓的半徑相同，于是考慮將三個圓心角拼在一起，這樣就可以利用三角形的內(nèi)角和定理來解決了。三個扇形圓心角的度數(shù)之和為三個頂點處的三個周角的度數(shù)之和減去三角形的內(nèi)角和，即，所以陰影部分的面積之和為： =，故選B.例2 如圖2所示，已知A、B、C、D相互外離，它們的半

14、徑都是1，順次連結(jié)四個圓心得到四邊形ABCD，則圖形中四個扇形（陰影部分）的面積之和為（ ）.A B C D析解：利用整體思想的方法，四個扇形的圓心角之和為四邊形ABCD的內(nèi)角之和，又因為四個圓的半徑都是1，所以陰影部分的面積之和為：故選B.例3 有六個等圓拼成甲、乙、丙三種形狀擺放，使相鄰兩圓均互相外切，如圖3所示的圓心的連線（虛線）分別構(gòu)成正六邊形、平行四邊形和正三角形，將圓心連線外側(cè)的6個扇形（陰影部分）的面積之和依次記為S、P、Q，則（ ）.AS>P>Q BS>Q>P CS>P且P=Q DS=P=Q分析：要想比較各個圖形中陰影部分的面積，由于若逐一計算，顯然有些麻煩，但考慮將六個扇形的圓心角合為一個整體，則可以利用多邊形內(nèi)角和定理，分別求得六個圓心角之和，這樣就可以通過扇形面積公式從整體上求解。解：因為圖甲是六邊形，即六個圓心角之和為=720