文科數(shù)學(xué)全國(guó)卷

1、2015文科數(shù)學(xué)全國(guó)1卷一、單選題1已知集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)為( )A. 5 B. 4 C. 3 D. 22（2015新課標(biāo)全國(guó)文科）已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2)，向量AC=(4,3)，則向量BC=A. (7,4) B. (7,4)C. (1,4) D. (1,4)3已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合， 是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則 ( )A. B. C. D. 4九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧

2、度為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 ()A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛5已知是公差為1的等差數(shù)列， 為的前項(xiàng)和，若，則（ ）A. B. C. D. 6函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的 ( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 88已知函數(shù)，且，則（ ）A. B. C. D. 9圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表

3、面積為，則 ( )A. B. C. D. 10設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且，則 ( )A. B. C. D. 二、填空題11數(shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則 .12已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)的處的切線過(guò)點(diǎn)，則 .13若滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)14已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)， ，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為 三、解答題15已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊， （1）若，求（2）若，且求的面積16如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE平面ABCD，（I）證明：平面AEC平面BED；（II）若ABC=120，AEEC, 三棱錐EACD的體積為63，求該三棱錐的側(cè)面積.17（本小題滿(mǎn)分12分

4、）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)和年銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.46.656.36.8289.81.61469108.8表中= ， =（）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（）根據(jù)（）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為 ，根據(jù)（）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：（）當(dāng)年宣傳費(fèi)時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？（）當(dāng)年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年

5、利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù),，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，18已知過(guò)點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.19（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)函數(shù).（）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）證明：當(dāng)時(shí).20（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖AB是直徑，AC是切線，BC交與點(diǎn)E.（）若D為AC中點(diǎn)，求證：DE是切線；（）若，求的大小.21在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1;x=2，圓C2:(x1)2+(y2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求C1，

6、C2的極坐標(biāo)方程；（2）若直線C3的極坐標(biāo)方程為=4(R)，設(shè)C2,C3的交點(diǎn)為M,N，求C2MN的面積22（2015高考新課標(biāo)I，理24）選修45：不等式選講已知函數(shù)fx=x+12xa,a>0.（I）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式fx>1的解集；（II）若fx的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍.參考答案1D【解析】由已知得中的元素均為偶數(shù)， 應(yīng)為取偶數(shù)，故 ，故選D.視頻2A【解析】試題分析：BC=BA+AC=(3，1)+(4，3)=(7，4),選A.考點(diǎn)：向量運(yùn)算視頻3B【解析】試題分析：拋物線的焦點(diǎn)為所以橢圓的右焦點(diǎn)為即且橢圓的方程為拋物線準(zhǔn)線為代入橢圓方程中得故選B.

7、考點(diǎn)：1、拋物線的性質(zhì)；2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程視頻4B【解析】試題分析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.6222，故選B.考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式視頻5B【解析】試題分析：由得，解得.考點(diǎn)：等差數(shù)列.視頻6D【解析】試題分析：由五點(diǎn)作圖知， ，解得， ，所以，令，解得， ，故單調(diào)減區(qū)間為（， ），故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)視頻7C【解析】試題分析：執(zhí)行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5, =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第2次，S="S-m" =0.25,

8、=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第3次，S="S-m" =0.125, =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第4次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第5次，S="S-m" =0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第6次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第7次，S=S-m=0.0078125, =0.0

9、0390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，輸出n=7，故選C.考點(diǎn)：程序框圖視頻8A【解析】試題分析： 或 考點(diǎn)：函數(shù)求值9B【解析】試題分析：由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為="16" + 20，解得r=2，故選B.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；球的表面積公式；圓柱的測(cè)面積公式視頻10C【解析】試題分析：設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)為（），由已知知（）在函數(shù)的圖像上，解得，即，解得，故選C考點(diǎn)：函數(shù)求解析式及求值視頻116【解析】試題分析：由題意得，因?yàn)椋?，所以?shù)列

10、構(gòu)成首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，解得考點(diǎn)：等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列求和視頻121【解析】試題分析： .考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、直線方程.【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線方程，涉及分特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型. 首先求導(dǎo)可得 .視頻13【解析】試題分析：作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線： ，平移直線，當(dāng)直線:z=3x+y過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取最大值，由解得A（1,1），z=3x+y的最大值為4.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃解法視頻14【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，APF的周長(zhǎng)為|PA|+|PF

11、|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周長(zhǎng)最小，則|PA|+最小，即P、A、共線，（3,0），直線的方程為，即代入整理得，解得或(舍)，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，=.視頻15（1）；（2）1【解析】試題分析：（1）由，結(jié)合正弦定理可得： ，再利用余弦定理即可得出（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出試題解析：（1）由題設(shè)及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得（2）由（1）知因?yàn)?，由勾股定理得故，得所以的面積為1考點(diǎn)：正弦定理，余弦定理解三角形視頻16（1）見(jiàn)解析（2）3+25【解析】試題分析：（）由四邊形ABCD為菱形知ACBD，由

12、BE平面ABCD知ACBE，由線面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC平面BED；（）設(shè)AB=x，通過(guò)解直角三角形將AG、GC、GB、GD用x表示出來(lái)，在RtAEC中，用x表示EG，在RtEBG中，用x表示EB，根據(jù)條件三棱錐EACD的體積為63求出x，即可求出三棱錐EACD的側(cè)面積.試題解析：（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD，因?yàn)锽E平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（）設(shè)AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=32 x,GB=GD=x2.因?yàn)锳EEC，所以在RtAEC

13、中，可得EG=32 x.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BE=22x.由已知得，三棱錐E-ACD的體積VEACD=13×12ACGDBE=624x3=63.故x=2從而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為5.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+25.考點(diǎn)：線面垂直的判定與性質(zhì)；面面垂直的判定；三棱錐的體積與表面積的計(jì)算；邏輯推理能力；運(yùn)算求解能力視頻17（）適合作為年銷(xiāo)售關(guān)于年宣傳費(fèi)用的回歸方程類(lèi)型（）（）46.24【解析】試題分析：（）由散點(diǎn)圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（）令，先求出建立關(guān)于的線性回歸方程，即可關(guān)于

14、的回歸方程；（）()利用關(guān)于的回歸方程先求出年銷(xiāo)售量的預(yù)報(bào)值，再根據(jù)年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x即可年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值；（）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值，列出關(guān)于的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤(rùn)取最大值時(shí)的年宣傳費(fèi)用.試題解析：（）由散點(diǎn)圖可以判斷，適合作為年銷(xiāo)售關(guān)于年宣傳費(fèi)用的回歸方程類(lèi)型. （）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于=，=563-68×6.8=100.6.關(guān)于的線性回歸方程為，關(guān)于的回歸方程為.（）()由（）知，當(dāng)=49時(shí)，年銷(xiāo)售量的預(yù)報(bào)值=576.6，. （）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值，當(dāng)=，即時(shí)，取得最大值.故宣傳費(fèi)用為46.

15、24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.12分考點(diǎn)：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)；應(yīng)用意識(shí)18（1）；（2）2【解析】試題分析：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿(mǎn)足條件的k的范圍（2）由題意可得，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=kx+1，根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解試題解析：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R=1故由，解得： 故當(dāng)，過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線與圓C： 相交于M，N兩點(diǎn)（2）設(shè)

16、M；N，由題意可得，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程，可得，由，解得 k=1，故直線l的方程為 y=x+1，即 x-y+1=0圓心C在直線l上，MN長(zhǎng)即為圓的直徑所以|MN|=2考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算視頻19（）當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 存在唯一零點(diǎn).（）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（）先求出導(dǎo)函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（）由（）可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，根據(jù)的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試題解析：（） 的定義域?yàn)椋?.當(dāng)時(shí), ， 沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增， 單調(diào)

17、遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿(mǎn)足且時(shí)， ,故當(dāng)時(shí)， 存在唯一零點(diǎn).（）由（），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)， ;當(dāng)時(shí)， .故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時(shí)， .考點(diǎn)：常見(jiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.視頻20（）見(jiàn)解析（）60°【解析】試題分析：（）由圓的切線性質(zhì)及圓周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中線性質(zhì)知DE=DC，OE=OB，利用等量代換可證DEC+OEB=90°，即OED=90°，所以DE是圓O的切線；（）設(shè)CE=1,由得，AB=，設(shè)

18、AE= ，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出關(guān)于的方程，解出，即可求出ACB的大小.試題解析：（）連結(jié)AE，由已知得，AEBC，ACAB，在RtAEC中，由已知得DE=DC，DEC=DCE，連結(jié)OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90°，DEC+OEB=90°，OED=90°，DE是圓O的切線. （）設(shè)CE=1，AE= ,由已知得AB=， ，由射影定理可得， ，解得=，ACB=60°.考點(diǎn):圓的切線判定與性質(zhì)；圓周角定理；直角三角形射影定理視頻21(1)cos=2,22cos4sin+4=0；(2)12【解析】試題分析：（1）將x=cos,y=sin代入C1,C2的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)得cos=2，22cos4sin+4=0；（2）將=4代入22cos4sin+4=0，得232+4=0得1=22,2=2， 所以|MN|=2，進(jìn)而求得面積為12.試題解析：（1）因?yàn)閤=cos,y=sin，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos=2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos4sin+4=0（2）將=4代