數(shù)理統(tǒng)計(jì)結(jié)課論文

1、20114073143數(shù)理統(tǒng)計(jì)中回歸分析的探究與應(yīng)用黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)回歸分析問(wèn)題探究摘要本文主要針對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析問(wèn)題，通過(guò)對(duì)一元線性回歸、多元線性回歸以及非線性回歸原理的探究，分別運(yùn)用了SPSS和MATLAB軟件進(jìn)行實(shí)例分析以及進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。首先，通過(guò)變量之間關(guān)系的概念詮釋引出回歸函數(shù)；其次，針對(duì)回歸函數(shù)，分別對(duì)一元線性回歸原理上的學(xué)習(xí)，了解并會(huì)運(yùn)用這三種線性回歸模型、參數(shù)估計(jì)和回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)來(lái)處理和解決實(shí)際的一元線性回歸問(wèn)題；接著，對(duì)多元線性回歸和非線性回歸進(jìn)行學(xué)習(xí)，掌握它們與一元線性回歸在理論和實(shí)踐的聯(lián)系與區(qū)別；然后，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題運(yùn)用SPSS進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析，熟悉SPSS軟件

2、的使用步驟和分析方法，能夠運(yùn)用SPSS進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)理分析；最后，用MATLAB編程來(lái)處理線性回歸問(wèn)題，通過(guò)多種方法進(jìn)行比較，進(jìn)行線性回歸擬合計(jì)算并輸出Logistic模型擬合曲線。關(guān)鍵詞：回歸分析；一元線性回歸；多元線性回歸；非線性回歸；SPSS；MATLAB一、 回歸概念一般來(lái)說(shuō)，變量之間的關(guān)系大致可以分為兩類：一類是確定性的，即變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)的關(guān)系來(lái)表達(dá)；另一類是非確定性的，這種不確定的關(guān)系成為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是多種多樣的，回歸分析就是研究相關(guān)關(guān)系的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。它從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)出發(fā)，提供建立變量之間相關(guān)關(guān)系的近似數(shù)學(xué)表達(dá)式經(jīng)驗(yàn)公式的方法，給出相關(guān)行的檢驗(yàn)規(guī)則，并運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)公式達(dá)到預(yù)

3、測(cè)與控制的目的。如隨機(jī)變量Y與變量x（可能是多維變量）之間的關(guān)系，當(dāng)自變量x確定后，因變量Y的值并不跟著確定，而是按照一定的停機(jī)規(guī)律（隨機(jī)變量Y的分布）取值。這是我們將它們之間的關(guān)系表示為其中是一個(gè)確定的函數(shù)，稱之為回歸函數(shù)，為隨機(jī)項(xiàng)，且。回歸分析的任務(wù)之一就是確定回歸函數(shù)。當(dāng)是一元線性函數(shù)形時(shí)，稱之為一元線性回歸；當(dāng)是多元線性函數(shù)形時(shí)，稱之為多元線性回歸；當(dāng)是非線性函數(shù)形時(shí)，稱之為非線性回歸。二、 回歸分析2.1 一元線性回歸分析 一元線性回歸模型設(shè)隨機(jī)變量Y與x之間存在著某種相關(guān)關(guān)系，這里x是可以控制或可以精確測(cè)量的普通變量。對(duì)于取定的一組不完全相同的值做獨(dú)立實(shí)驗(yàn)得到n對(duì)觀察值一般地，假定

4、x與Y之間存在的相關(guān)關(guān)系可以表示為，其中為隨機(jī)誤差且，未知，a和b都是未知參數(shù)。這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為醫(yī)院線性回歸模型，稱為回歸方程，它所代表的直線稱為回歸直線，稱b為回歸系數(shù)。對(duì)于一元線性回歸模型，顯然有?；貧w方程放映了變量X與隨機(jī)變量Y之間的相關(guān)關(guān)系?；貧w分析就是要根據(jù)樣本觀測(cè)值找到a和b適當(dāng)?shù)墓烙?jì)值，建立線性回歸方程，從而利用這個(gè)公式來(lái)近似刻畫變量x與隨機(jī)變量Y之間的關(guān)系。2.1.2 參數(shù)估計(jì)如何根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)得到回歸方程呢？一個(gè)直觀的做法就是：選取適當(dāng)?shù)腶和b，使得直線上的點(diǎn)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的誤差盡可能小。若記為直線上的點(diǎn)，為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，則表達(dá)式就刻畫了直線上點(diǎn)之間的偏離程度。通常我們記

5、，這樣就表示直線上相應(yīng)點(diǎn)與全體數(shù)據(jù)點(diǎn)之間總的偏離程度?？偟闷x程度越小，回歸方程就越能客觀放映出變量x與Y之間的線性關(guān)系。所以，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，將能夠使取得最小值的a與b所確定的方程視為變量x與Y之間的線性回歸方程。而且把利用這種思想求出的估計(jì)值成為參數(shù)a與b的最小二乘估計(jì)，這種方法成為最小二乘法。我們利用微積分的知識(shí)來(lái)確定取得最小值的條件。將表達(dá)式分別對(duì)位置參數(shù)a與b求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，即得整理得上式稱為正規(guī)方程組。由于不完全相同，所以正規(guī)方程組的系數(shù)行列式不為零。因此，我們得到的正規(guī)方程組的唯一解為因此，我們得到了x與y之間的線性回歸方程或這個(gè)線性回歸方程表明，經(jīng)驗(yàn)回歸直線L是通過(guò)這n個(gè)數(shù)

6、據(jù)點(diǎn)幾何重心且斜率為的直線。為了計(jì)算方便起見(jiàn)，我們引入如下記號(hào)：這樣2.1.3 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)在上面的論述中，運(yùn)用最小二乘法求回歸方程的條件除了要求諸不完全相同外，沒(méi)有其它條件，也就是說(shuō)無(wú)論變量x與Y是否具有線性關(guān)系，只要諸不完全相同，使用最小二乘法總能求出a與b的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)與，并能得到變量x與Y的一個(gè)線性回歸方程。若變量x與Y之間根本不存在線性關(guān)系，那么這個(gè)線性回歸方程就沒(méi)有任何意義。因此，實(shí)際問(wèn)題中，我們必須對(duì)用最小二乘法求出的線性回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)，來(lái)判斷變量x與Y之間相關(guān)關(guān)系是否真的可由所得到的線性回歸方程給出。若果變量x與Y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，那么模型中b不應(yīng)為零。否則，就有

7、，這意味著x與Y沒(méi)有任何關(guān)系。因此，我們需要假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)拒絕時(shí)，認(rèn)為變量x與Y之間有顯著的線性相關(guān)關(guān)系，也稱為回歸效果顯著。否則，稱為回歸效果不顯著。這時(shí)變量x和Y之間的關(guān)系有很多種可能：或許二者之間關(guān)系不是線性的，或許除變量x之外還有其他不可忽視的因素對(duì)Y產(chǎn)生影響，甚至是它們的相關(guān)關(guān)系很弱，不是必須重視的。為了給出顯著檢驗(yàn)的拒絕域，先做一些準(zhǔn)備工作，記稱SS為總偏差平方和，它反映了數(shù)據(jù)中變量取值的離散程度。即稱為回歸平方和，它放映了n個(gè)回歸數(shù)值相對(duì)于的離散程度，它是由x去不同的值而引起的。將帶入上述回歸平方和表達(dá)式中，有記其中稱為第i個(gè)殘差，i=1，2，n。稱為殘差平方和，呀反映了n次試

8、驗(yàn)的累計(jì)誤差。由回歸方程的意義知道，它是n次試驗(yàn)的累計(jì)誤差的最小值，即小面推導(dǎo)殘差平方和的計(jì)算公式，由推得這樣我們就得到平方和的分解公式對(duì)回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)一般有一下三種方法（1）t檢驗(yàn)法 (回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn))取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以證明，當(dāng)成立時(shí)，于是，在顯著性水平下，當(dāng)時(shí)，拒絕，認(rèn)為回歸效果顯著。在回歸分析中，t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)回歸系數(shù)的顯著性，即檢驗(yàn)因變量y對(duì)自變量x的影響程度是否顯著。（2）F檢驗(yàn)法 （回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)）取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量這里的F檢驗(yàn)其實(shí)就是方差分析的內(nèi)容，見(jiàn)下表2.1表2.1 一元線性回歸方程的方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方F值回歸1誤差2總計(jì)n-1可以證明，當(dāng)成立時(shí)，。

9、于是在顯著水平下，確定臨界值。當(dāng)時(shí)，就拒絕，說(shuō)明總體回歸系數(shù),即回歸方程是顯著的。由于，所以F檢驗(yàn)法與T檢驗(yàn)法基本上式一致的。在線性一元回歸分析中，回歸方程的顯著性檢驗(yàn)和回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)作用是相同的，兩者可以互相替代。（3）回歸方程的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)將回歸平法和與總離差平方和之比定義為樣本決定系數(shù)，又稱判定系數(shù)，記為即決定系數(shù)是一個(gè)衡量回歸直線對(duì)樣本觀測(cè)值擬合優(yōu)度的相對(duì)指標(biāo)，反映了變量的波動(dòng)中能用變量所解釋的比例。的值總是在01之間，越接近1，擬合度就越好；反之，說(shuō)明模型中給出的x對(duì)y信息還不充分，回歸方程效果不好，應(yīng)該進(jìn)行修改，使x與y的信息得到充分利用。 預(yù)測(cè)與控制回歸方程的重要應(yīng)用就是預(yù)

10、測(cè)和控制問(wèn)題。所謂控問(wèn)題，就是對(duì)于給定的點(diǎn)，預(yù)測(cè)出y的取值范圍?？刂茊?wèn)題則是問(wèn)題的反問(wèn)題，就是將y限制在某個(gè)范圍內(nèi)，應(yīng)如何控制x的取值。（1） 預(yù)測(cè)問(wèn)題設(shè)自變量與因變量服從模型且與樣本相互獨(dú)立。首先，我們計(jì)算時(shí)的回歸值將作為的預(yù)測(cè)值，但這樣求出的預(yù)測(cè)值一般來(lái)說(shuō)是有誤差的。產(chǎn)生誤差的原因，一是由于只是平均值的一個(gè)估計(jì)，而的實(shí)際值很可能偏離它的平均值；二是因?yàn)榈娜≈凳且蕾囉诠烙?jì)值與的，而與是隨機(jī)抽樣誤差的。因此我們還需要求出的預(yù)測(cè)區(qū)間即置信區(qū)間。雙側(cè)預(yù)測(cè)區(qū)的上下限為或雙側(cè)預(yù)測(cè)區(qū)的長(zhǎng)度為在實(shí)際回歸問(wèn)題中，樣本容量n常是很大的，這時(shí)對(duì)于在附近的x來(lái)說(shuō)，我們能得較短的預(yù)測(cè)區(qū)間，而且當(dāng)時(shí)長(zhǎng)度最短，這事預(yù)測(cè)

11、效果最佳。反之，當(dāng)?shù)萌≈党鲈嫉脑囼?yàn)點(diǎn)的范圍之外時(shí)，由于此時(shí)預(yù)測(cè)區(qū)間長(zhǎng)度過(guò)寬，將會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)效果不好。當(dāng)n較大時(shí)，通常d取1，且用代替，用代替。這時(shí)預(yù)測(cè)區(qū)間的上下限簡(jiǎn)化為（2） 控制問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中，我們還會(huì)遇到控制問(wèn)題，即若要求觀察值y在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，問(wèn)應(yīng)控制x在什么范圍？也就是要求對(duì)于給定的置信度，求出相應(yīng)的和，使得當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的觀察值y落在內(nèi)。我們只談?wù)撛趎很大的情況，這時(shí)，這時(shí)公式可改寫當(dāng)與的值確定以后，根據(jù)上式就可以求出相應(yīng)的和的值，作為x控制的端點(diǎn)值。需要注意的是，為了有效控制x的范圍區(qū)間，必須大于=2，即.2.2 多元線性回歸分析在實(shí)際問(wèn)題中，一般影響因變量的因素常常不止一個(gè)

12、，這就是因變量與多個(gè)自變量相關(guān)關(guān)系問(wèn)題，要用多元回歸的方法來(lái)解決。2.2.1 多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型多元線性回歸模型的一般形式：式中，是個(gè)未知數(shù)，稱為回歸系數(shù)。Y稱為被解釋量，而是個(gè)可以精確測(cè)量并可控制的一般變量，稱為解釋變量。時(shí)，上式即為上一節(jié)分析的一元線性回歸模型，時(shí)，我們就成上式為多元線性回歸模型，這里是隨機(jī)誤差。與一元線性回歸模型一樣，對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)我們常假定其期望值為零、方差為的正態(tài)分布。對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，如果我們獲得n組觀測(cè)數(shù)據(jù)，把這些觀測(cè)值代入上式可得樣本多元線性回歸模型：寫成矩陣形式為：其中：2.2.2 多元線性回歸模型的基本假定為了對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和推斷，常常要對(duì)回歸模型做如

13、下的假定：1)解釋變量是確定性變量，不是隨機(jī)變量，且要求矩陣x中的自變量列之間不相關(guān)，樣本容量的個(gè)數(shù)應(yīng)大于解釋變量的個(gè)數(shù)。2)隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值和同方差，即 i.j=1,2,.,n3)正態(tài)分布的假設(shè)條件： i.j=1,2,.n由上述假設(shè)和多元正態(tài)分布的性質(zhì)可知：服從維正態(tài)分布，且。多元回歸模型的參數(shù)估計(jì)多元線性回歸方程未知參數(shù)的估計(jì)與一元線性回歸方程的參數(shù)估計(jì)原理一樣，所以選擇的估計(jì)值與觀測(cè)值之間的殘差在所有樣本點(diǎn)上打到最小，即使達(dá)到最小。所以求，使得,即有多元函數(shù)求極值點(diǎn)的方法可求得回歸系數(shù)的最小二成估計(jì)值為：另外，未知參數(shù)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，實(shí)際就是殘差均方和（MSE）。2.2.4多元線性回

14、歸模型的顯著性檢驗(yàn)多元線性回歸模型的顯著性包括兩方面的內(nèi)容：一是對(duì)整個(gè)回歸方程的顯著性檢驗(yàn)，即F檢驗(yàn)；另一個(gè)是對(duì)個(gè)回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，即t檢驗(yàn)。在一元線性回歸方程的檢驗(yàn)時(shí)，這兩個(gè)檢驗(yàn)時(shí)等價(jià)的，但在多元線性回歸模型的檢驗(yàn)時(shí)兩者卻不同。（1） 回顧方程的顯著性檢驗(yàn)1. 提出假設(shè)：2. 構(gòu)建F統(tǒng)計(jì)量，見(jiàn)表2.2：表 5.2 多元線性回歸模型的方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方和F值回歸P誤差總計(jì)3. 給定顯著水平，查F分布表，的臨界值；4. 若，則拒絕，接受備擇假設(shè)，說(shuō)明總體回歸系數(shù)不全為零，即回歸方程是顯著的；反之則認(rèn)為回歸方程不顯著。（2） 回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)1. 提出假設(shè)：；2. T檢驗(yàn)的計(jì)

15、算公式為：，其中是回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，中第個(gè)主角線元素。t值應(yīng)該有p個(gè)隊(duì)每一個(gè)可以計(jì)算一個(gè)t值。3. 給定顯著水平，確定臨界值；4. 若，則拒絕；接受備擇假設(shè)，說(shuō)明總體回歸系數(shù)。（3） 多元線性回歸方程的擬合度檢驗(yàn)采用調(diào)整的決定系數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量的取值范圍和數(shù)值大小的意義與是完全相同的。2.3非線性回歸分析在對(duì)實(shí)際的客觀現(xiàn)象進(jìn)行定量分析時(shí)，對(duì)變量間非線性相關(guān)問(wèn)題的曲線擬合，處理的方法有:1. 決定非線性模型的函數(shù)模型，對(duì)其中課線性化的問(wèn)題則通過(guò)變量將其線性化，從而歸結(jié)為前面的多元線性回歸問(wèn)題來(lái)解決。2. 方程形式應(yīng)與有關(guān)實(shí)質(zhì)型科學(xué)的基本理論一致。例如，采用冪函數(shù)的形式，能夠較好的表現(xiàn)生產(chǎn)函數(shù)；采用多項(xiàng)

16、式方程能夠較好的反映總成本與總產(chǎn)量的關(guān)系等等。3. 若實(shí)際問(wèn)題的曲線類型不易確定時(shí)，由于任意曲線皆可由多項(xiàng)式來(lái)逼近，故?？捎枚囗?xiàng)式回歸來(lái)擬合曲線。4. 若變量間非線性關(guān)系已知，且難以用變量變換法將其線性化，則進(jìn)行數(shù)值法迭代的非線性回歸分析。5. 一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)形式越簡(jiǎn)單，其可操作性就越強(qiáng)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式或散點(diǎn)圖，選擇適當(dāng)?shù)那€回歸方程。為了確定其中的未知參數(shù)，往往可以通過(guò)變量代換，把非線性回歸化為線性回歸，然后用線性回歸的方法確定這些參數(shù)的值。（1） 直接代換法直接替換法適用于變量之間關(guān)系雖然是非線性的，但因變量參數(shù)間關(guān)系卻是線性的非線性模型；i. 多項(xiàng)式模型基本形式：線性化方法：令轉(zhuǎn)化為線性模

17、型：ii. 雙曲線模型基本形式：線性化方法：令轉(zhuǎn)化為線性模型：即（2） 間接替換法間接代換法是先通過(guò)方程兩邊取對(duì)數(shù)后再進(jìn)行變量代換，轉(zhuǎn)化為線性形式。1. 指數(shù)函數(shù)基本形式：線性化方法：兩端去自然對(duì)數(shù) 令，轉(zhuǎn)化為線性模型：2. 冪函數(shù)基本形式：線性化方法：兩端去對(duì)數(shù) 令，轉(zhuǎn)化為線性模型：三、 SPSS軟件操作及應(yīng)用實(shí)例1) 定義變量和輸入、整理數(shù)據(jù)。2) 選擇“分析/回歸/線性”，在線性回歸窗口自變量和因變量，單機(jī)“統(tǒng)計(jì)量”按鈕，在彈出的窗口設(shè)置參數(shù)；單機(jī)“圖”按鈕，可以選擇輸出的圖形。最后單擊繼續(xù)按鈕。3) 在結(jié)果輸出窗口的一元或者多元線性回歸計(jì)算結(jié)果。根據(jù)選擇參數(shù)不同，得到ANOVA和回歸系

18、數(shù)等數(shù)據(jù)。例1：拖拉機(jī)拉桿的朱愛(ài)麗和速度有關(guān)，測(cè)得拖拉機(jī)在速度X下的拉力Y，數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，求Y對(duì)x 回歸方程。變量數(shù)據(jù)X 0.9 1.3 2.0 2.7 3.4 4.1 5.2 5.5 6.0 425 420 480 495 540 530 590 610 690 680首先，在SPSS的數(shù)據(jù)編輯窗口的Variable View 界面定義變量和在Data view 界面輸入數(shù)據(jù)，見(jiàn)下圖。其次，選擇“分析”，在窗口選擇自變量也因變量，設(shè)置“統(tǒng)計(jì)量”的窗口設(shè)置參數(shù)等，見(jiàn)下圖最后點(diǎn)級(jí)確定，輸出結(jié)果，見(jiàn)下圖描述性統(tǒng)計(jì)量均值標(biāo)準(zhǔn) 偏差NY546.000095.7369110X3.45001.7633610

19、相關(guān)性YXPearson 相關(guān)性Y1.000.982X.9821.000Sig. （單側(cè)）Y.000X.000.NY1010X1010模型匯總模型RR 方調(diào)整 R 方標(biāo)準(zhǔn) 估計(jì)的誤差更改統(tǒng)計(jì)量R 方更改F 更改df1df2Sig. F 更改1.982a.964.96019.18691.964216.07418.000a. 預(yù)測(cè)變量: (常量), X。Anovaa模型平方和df均方FSig.1回歸79544.899179544.899216.074.000b殘差2945.1018368.138總計(jì)82490.0009a. 因變量: Yb. 預(yù)測(cè)變量: (常量), X。系數(shù)a模型非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)系

20、數(shù)tSig.B標(biāo)準(zhǔn) 誤差試用版1(常量)362.06613.90626.036.000X53.3143.627.98214.699.000a. 因變量: Y結(jié)果分析：從運(yùn)行求得回歸方程中可知，X的系數(shù)為53.314，常數(shù)項(xiàng)為362.066，于是，回歸方程為散點(diǎn)圖如下圖所示：經(jīng)檢驗(yàn)，回歸方程的顯著性達(dá)到0.0001，極顯著；對(duì)回歸方程系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)T檢驗(yàn)都達(dá)到極顯著，說(shuō)明該方程有應(yīng)用價(jià)值。四、 MATLAB應(yīng)用實(shí)例煉鋼廠出鋼水時(shí)用的鋼包，在使用過(guò)程中由于鋼水及爐渣對(duì)耐火材料的浸蝕，其容積不斷增大?，F(xiàn)在鋼包的容積用盛滿鋼水時(shí)的重量y(kg)表示，相應(yīng)的試驗(yàn)次數(shù)用x表示。數(shù)據(jù)見(jiàn)表4.1，要找出y與x的

21、定量關(guān)系表達(dá)式。表4.1 鋼包的重量y與試驗(yàn)次數(shù)x數(shù)據(jù)序號(hào)xy序號(hào)xY12106.42811110.5923108.20914110.6034109.581015110.9045109.501116110.7657110.001218110.0068109.931319110.20710110.49x1=1./x;y1=1./y;plot(x1,y1,k+); %變換后數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖x2=ones(13,1) x1'b,bint,rint,stats=regress(y1',x2);z=b(1)+b(2)*x1;yc=1./z;plot(x1,y1,k+,x1,z,r)%變換后數(shù)

22、據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸直線圖變換后數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖及回歸直線圖R2=1-sum(y-yc).2)/lyy;%模型的擬合優(yōu)度系數(shù)plot(x,y,k+,x,yc,r)%數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸曲線圖legend('散點(diǎn)圖','回歸函數(shù)')b = 0.00896662968057 0.00082917436336R2 =0.97292374957556第一種方法的程序：format longx=2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19;y=106.42 108.20 109.58 109.5 110 109.93 110.49 110.59 110.60 1

23、10.9 110.76 111 111.20;plot(x,y,k+);%數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖x1=1./x;y1=1./y;plot(x1,y1,k+); %變換后數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖x2=ones(13,1) x1'b,bint,rint,stats=regress(y1',x2);z=b(1)+b(2)*x1;yc=1./z;plot(x1,y1,k+,x1,z,r)%變換后數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸直線圖n=length(x);lyy=sum(y.2)-n*(mean(y)2;R2=1-sum(y-yc).2)/lyy;%模型的擬合優(yōu)度系數(shù)b = 0.00896662968057 0.0008

24、2917436336R2 =0.97292374957556用類似的方法可以得出其它三個(gè)曲線回歸方程，它們分別是： 第二種方法的程序：format longx=2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19;y=106.42 108.20 109.58 109.5 110 109.93 110.49 110.59 110.60 110.9 110.76 111 111.20;x1=log(x);y1=y;x2=ones(13,1) x1'b,bint,rint,stats=regress(y1',x2);bz=b(1)+b(2)*x1;yc=z;n=lengt

25、h(x);lyy=sum(y.2)-n*(mean(y)2;R2=1-sum(y-yc).2)/lyy;plot(x,y,'k+',x,yc,c');legend('散點(diǎn)圖','回歸函數(shù)')b = 1.0e+002 *R2 =0.87731500489620第三種方法的程序：format longx=2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19;y=106.42 108.20 109.58 109.5 110 109.93 110.49 110.59 110.60 110.9 110.76 111 111.20;x1=

26、sqrt(x);y1=y;x2=ones(13,1) x1'b,bint,rint,stats=regress(y1',x2);bz=b(1)+b(2)*x1;yc=z;n=length(x);lyy=sum(y.2)-n*(mean(y)2;R2=1-sum(y-yc).2)/lyy;plot(x,y,'k+',x,yc,'k');legend('散點(diǎn)圖','回歸函數(shù)')b = 1.0e+002 * 1.06301275014382三種方法的擬合效果比較：R2 =0.97292374957556R2 =0.877

27、315004896201.原始數(shù)據(jù)下表給出了某地區(qū)19712000年的人口數(shù)據(jù)（表1）。試分別用Matlab和SPSS軟件，對(duì)該地區(qū)的人口變化進(jìn)行曲線擬合。表4.2 某地區(qū)人口變化數(shù)據(jù)年份時(shí)間變量t=年份-1970人口y/人1971133 8151972233 9811973334 0041974434 1651975534 2121976634 3271977734 3441978834 4581979934 49819801034 47619811134 48319821234 48819831334 51319841434 49719851534 51119861634 52019871

28、734 50719881834 50919891934 52119902034 51319912134 51519922234 51719932334 51919942434 51919952534 52119962634 52119972734 52319982834 52519992934 52520003034 527根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，做出散點(diǎn)圖，見(jiàn)圖1。圖 4.1 某地區(qū)人口隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖從圖1可以看出，人口隨時(shí)間的變化呈非線性過(guò)程，而且存在一個(gè)與橫坐標(biāo)軸平行的漸近線，故可以用Logistic曲線模型進(jìn)行擬合。因?yàn)長(zhǎng)ogistic曲線模型的基本形式為：所以，只要令：，就可以將其轉(zhuǎn)化為直線模型：下面，我們分別用Matlab和SPSS軟件進(jìn)行回歸分析擬合計(jì)算。2用Matlab編程進(jìn)行回歸分析擬合計(jì)算源程序（Nonlinear-Regression-Model.m），如下：clearclc% 讀入人口數(shù)據(jù)（19712000年）y = 33815 33981 3400