數(shù)學(xué)分析極限與連續(xù)

1、第二章 極限與連續(xù)一、本章知識(shí)脈絡(luò)框圖數(shù)列極限的定義收斂數(shù)列的基本性質(zhì)收斂數(shù)列極限的計(jì)算柯西準(zhǔn)則判定極限是否存在一元函數(shù)極限的定義一元函數(shù)極限的基本性質(zhì)一元函數(shù)極限的計(jì)算連續(xù)函數(shù)的定義和性質(zhì)歸結(jié)原則海涅定理二元函數(shù)極限的定義二元函數(shù)極限的基本性質(zhì)二、本章重點(diǎn)及難點(diǎn)（一）重點(diǎn)：極限的定義與性質(zhì)、數(shù)列極限和一元函數(shù)極限的計(jì)算、兩個(gè)重要極限的運(yùn)用、歸結(jié)原則、柯西準(zhǔn)則以及有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).（二）難點(diǎn)運(yùn)用柯西準(zhǔn)則和歸結(jié)原則進(jìn)行證明、理解多元函數(shù)重極限與累次極限的概念、有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)以及一致連續(xù)性.三、本章的基本知識(shí)要點(diǎn)本章符號(hào)說明： 每一個(gè)或任給的； 至少有一個(gè)或存在；：充分必要條件.

2、 （一）數(shù)列極限1. 數(shù)列極限定義當(dāng)時(shí)，有注：定義中的可不取整數(shù)，可以是定理：增加、改變或去掉數(shù)列的有限項(xiàng), 不影響數(shù)列的收斂性和極限. 重排不改變數(shù)列斂散性. 數(shù)列極限的等價(jià)定義:(1) 當(dāng)時(shí)有 其中為某個(gè)正數(shù). (2) 當(dāng)時(shí)有其中與為某個(gè)正數(shù).  2. 收斂數(shù)列的性質(zhì)(1) 唯一性定理：每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.(2) 有界性定理：收斂的數(shù)列必定有界. (3) 保號(hào)性定理：若則對(duì)任意 有 (或).(4) 保不等式性定理：若都存在，且則(5) 迫斂性定理：設(shè) 數(shù)列滿足：有 則數(shù)列收斂，且(6) 四則運(yùn)算法則：(7) 與子列的關(guān)系：數(shù)列收斂數(shù)列的任何非平凡子列都收斂.3. 數(shù)列極限

3、存在的條件遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：(1) 單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.(2) 柯西收斂準(zhǔn)則： （二）函數(shù)極限1. 函數(shù)極限和非正常極限概念函數(shù)極限定義(通過對(duì)比加以理解)：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 上述左極限和右極限也可以寫成和.定理：非正常極限定義（只列出2個(gè)，其余可以類似寫出）：(1) (2) 2. 函數(shù)極限的基本性質(zhì)下面只以為代表來說明，其余類型極限的性質(zhì)可以類似寫出. (1) 唯一性定理：若存在,則極限唯一.(2) 局部有界性定理：若存在，則在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有界.(3) 局部保號(hào)性定理：若則(或),當(dāng)時(shí)，有(或).(4)保不等性定理:設(shè)與都存在

4、，且在某鄰域內(nèi)有則(5) 迫斂性定理：設(shè)且在某鄰域內(nèi)有 則(6) 四則運(yùn)算法則：3.函數(shù)極限存在的條件(1) 歸結(jié)原則（也稱為海涅定理）：設(shè)在內(nèi)有定義. 存在任意含于鄰域且以為極限的數(shù)列極限存在且相等.(2) 柯西準(zhǔn)則：設(shè)函數(shù)在鄰域內(nèi)有定義. 存在正數(shù)有4. 兩個(gè)重要極限(1) (2) 由歸結(jié)原則得5. 無窮小量與無窮大量(1) 無窮小量定義：i) 設(shè)函數(shù)在某鄰域內(nèi)有定義. 若 則稱為當(dāng)時(shí)的無窮小量. ii) 設(shè)函數(shù)在某鄰域內(nèi)有界，則稱為當(dāng)時(shí)的有界量.由無窮小量的定義可知，兩個(gè)（相同類型的）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量；無窮小量與有界量的乘積為無窮小量(2) 定理：其中是當(dāng)時(shí)的無窮小.(3

5、) 無窮小量階的比較無窮小量是以0為極限的函數(shù)，而不同的無窮小量收斂于0的速度有快有慢若無窮小量與滿足，則稱當(dāng)時(shí)為的高階無窮小量，為的低階無窮小量，記作（）特別，為當(dāng)時(shí)的無窮小量，記作（）若存在正數(shù)和，使得在某鄰域上有，則稱無窮小量與為當(dāng)時(shí)的同階無窮小量特別當(dāng)時(shí)，與必為同階無窮小量若無窮小量與滿足，則記作特別，若 在某 內(nèi)有界，則記為（）甚至當(dāng) 時(shí)，也有（）若無窮小量與滿足，則稱與為當(dāng) 時(shí)的等價(jià)無窮小量，記作（）應(yīng)指出，并不是任何兩個(gè)無窮小量都可以進(jìn)行這種階的比較例如，當(dāng) 時(shí)， 和 都是無窮小量，但它們的比=  或   =當(dāng)

6、 時(shí)都不是有界量，所以這兩個(gè)無窮小量不能進(jìn)行階的比較下述定理表明了等價(jià)無窮小量在求極限問題中的作用定理： 設(shè)函數(shù)， 在鄰域 內(nèi)有定義，且有（）) 若，則) 若，則  (4) 無窮大量定義：對(duì)于自變量的某種趨向（或時(shí)），所有以、或?yàn)榉钦O限的函數(shù)（包括數(shù)列），都稱無窮大量定理：)設(shè)在內(nèi)有定義且不等于0若為當(dāng)時(shí)的無窮小量，則為當(dāng)時(shí)的無窮大量)若為當(dāng)時(shí)的無窮大量，則為當(dāng)時(shí)的無窮小量由上述定理，對(duì)無窮大量的討論可歸結(jié)為無窮小量的研究（三）一元函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義: 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義. 若 則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).若記 ，則 

7、;的等價(jià)敘述為，于是函數(shù)在 點(diǎn)連續(xù)的定義又可以寫成:定義:  設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義. 若,則稱在點(diǎn)連續(xù).改用語言敘述，則 在點(diǎn)連續(xù)可以定義為：定義: 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義. 若對(duì)，使得當(dāng)時(shí)，都有 則稱在點(diǎn)連續(xù).2. 函數(shù)在點(diǎn)左、右連續(xù)的定義相應(yīng)于在的左、右極限的概念，我們給出左右連續(xù)的定義如下：定義: 設(shè)函數(shù)在的某左（右）鄰域內(nèi)有定義. 若（或）, 則稱在左（或右）連續(xù).定理: 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù).與上述定理等價(jià)的否定敘述：定理: 函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)在點(diǎn)或不左連續(xù)或不右連續(xù).3. 函數(shù)的間斷點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）及其分類 定義：設(shè)函數(shù)

8、在某領(lǐng)域內(nèi)有定義. 若在點(diǎn)無定義，或在點(diǎn)有定義但不連續(xù)，則稱點(diǎn) 為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn).由連續(xù)的定義知，函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)必出現(xiàn)如下3種情形之一:i），而在點(diǎn)無定義，或有定義但；ii） 左、右極限都存在，但不相等；iii） 左、右極限至少一個(gè)不存在.據(jù)此，函數(shù) 的間斷點(diǎn)可作如下分類：i） 可去間斷點(diǎn) 若（存在），而在點(diǎn)無定義，或有定義但，則稱為可去間斷點(diǎn)（或可去不連續(xù)點(diǎn)）. ii） 跳躍間斷點(diǎn) 若的左、右極限都存在，但不相等（即與 均存在，但），則稱為的跳躍間斷點(diǎn).注：可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱的第一類間斷點(diǎn).iii） 第二類間斷點(diǎn)若與至少有一個(gè)不存在，則稱為的第二類間斷點(diǎn).

9、定義: 若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為上的連續(xù)函數(shù). 對(duì)于區(qū)間端點(diǎn)上的連續(xù)性，則按左、右連續(xù)來確定. 定義: 如果在區(qū)間上僅有有限個(gè)第一類不連續(xù)點(diǎn)，則稱函數(shù)在區(qū)間上按段連續(xù).4. 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)局部有界性定理: 若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有界. 局部保號(hào)性定理: 若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且(或)，則對(duì)(或)，某鄰域 當(dāng)時(shí)，有(或).四則運(yùn)算性質(zhì)： 若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且都在連續(xù)，則（）在點(diǎn)連續(xù).復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理: 若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)連續(xù). 定義：設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù). 若，使得對(duì)都有(或)，則稱在上有最大值（或最小值），稱為在上的最

10、大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)），并稱為在上的最大值（或最小值）.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì):最大最小值定理: 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上有最大值與最小值. 有界性推論：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上有界. 介值性定理: 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，為介于與之間的任何實(shí)數(shù)（或）,則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得根的存在定理: 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)，則至少存在一點(diǎn) 使得即在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.反函數(shù)的連續(xù)性定理: 若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上嚴(yán)格遞增（遞減），則其反函數(shù)在相應(yīng)的定義域（或）上遞增（遞減）且連續(xù). 5. 一致連續(xù)性一致連續(xù)性定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義. 若， 當(dāng)且時(shí)

11、，有 則稱在區(qū)間上一致連續(xù). 注意：這里的只與有關(guān)，與的位置無關(guān). 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 當(dāng)且時(shí)，有 這就是說，連續(xù)函數(shù)里的與預(yù)先取定的點(diǎn)的位置有關(guān)，區(qū)間上的無窮多個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)無窮多個(gè)，這無窮多個(gè)的下確界可能為零，也可能大于零. 如果這無窮多個(gè)的下確界為零，則不存在對(duì)上所有點(diǎn)都適合的公共，這時(shí)在上連續(xù)，但不一致連續(xù)；如果這無窮多個(gè)的下確界大于零，則必存在對(duì)上每一點(diǎn)都適用的公共，如我們可取則對(duì)上任意兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，便有 這種情況，在上連續(xù)就成為一致連續(xù). 一致連續(xù)性定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù). 定理：一切基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù).因?yàn)槿魏我粋€(gè)初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四

12、則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到,故任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù).（四）多元函數(shù)的極限與連續(xù)1點(diǎn)列與二元函數(shù)的極限(1) 點(diǎn)列極限與二重極限設(shè)是軸上的一個(gè)點(diǎn)列，是軸上的一個(gè)點(diǎn)列，則以，為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成平面上的一個(gè)點(diǎn)列記作.又設(shè)是平面上的一點(diǎn)，坐標(biāo)是.若正整數(shù)當(dāng)時(shí)，有，就稱收斂于，記作點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則：平面點(diǎn)列收斂當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)，都有定義： 設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為的的一個(gè)聚點(diǎn)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù). 若 使得當(dāng)時(shí)，都有則稱在上當(dāng)時(shí)以為極限，記作 在對(duì)不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也可簡單地寫作 當(dāng)分別用坐標(biāo)表示時(shí)，也常寫作 定理：對(duì)的每一個(gè)子集,只要點(diǎn)是的聚點(diǎn),就有.推論：i) 設(shè),是的聚點(diǎn). 若極限不存

13、在,則極限也不存在.ii) 設(shè), 是和的聚點(diǎn). 若存在極限, , 但, 則極限不存在.iii) 極限存在對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)列, 但,數(shù)列收斂.定義: 設(shè)為二元函數(shù)的定義域，是的一個(gè)聚點(diǎn). 若對(duì)總存在的一個(gè)鄰域，使得當(dāng)時(shí),都有，則稱在上當(dāng)時(shí)，存在非正常極限，記作 類似定義和(2) 累次極限在前面研究的極限中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于 這種極限也稱為二重極限. 這一段考察與依一定的先后順序相繼趨于與時(shí)的極限，這種極限稱為累次極限定義：設(shè) 是的聚點(diǎn)，是的聚點(diǎn)，二元函數(shù)在集合上有定義. 若對(duì)每一個(gè)，存在極限由于此極限一般與有關(guān)，因此記作而且進(jìn)一步存在極限則稱此極限為二元函數(shù)先對(duì)后對(duì)的累次極限，并記作或簡記

14、作類似地可以定義先對(duì)后對(duì)的累次極限注：i) 兩個(gè)累次極限存在時(shí),可能不相等. 例如:  設(shè)，它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次極限分別為與ii) 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí),另一個(gè)可能不存在.例如函數(shù)在點(diǎn)(0,0)的情形.iii) 二重極限存在時(shí),兩個(gè)累次極限可能不存在（見例題）. iV) 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)，二重極限可能不存在（見例題）. 綜上, 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系. 但有以下確定關(guān)系： 定理：若二重極限和累次極限 (或另一次序)都存在, 則二者必相等. 推論：i) 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí)，三者相等. ii) 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí)，二重極限

15、不存在.3. 二元函數(shù)的連續(xù)性(1) 連續(xù)性概念定義： 設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù). （它或者是的聚點(diǎn)，或者是的孤立點(diǎn)）. 若只要就有，則稱關(guān)于集合在點(diǎn)連續(xù). 在不至于誤解的情況下，也稱在點(diǎn)連續(xù). 設(shè)、則稱為函數(shù)在點(diǎn)的全增量. 和一元函數(shù)一樣，可用增量形式來描述連續(xù)性，即當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)連續(xù). 如果在全增量中取或，則相應(yīng)的函數(shù)增量稱為偏增量，記作，一般說來，函數(shù)的全增量并不等于相應(yīng)的兩個(gè)偏增量之和. 若一個(gè)偏增量的極限為零，例如它表示在的兩個(gè)自變量中，當(dāng)固定時(shí)，作為的一元函數(shù)在連續(xù). 同理，若則表示一元函數(shù)在連續(xù). 容易證明，當(dāng)在其定義域的內(nèi)點(diǎn)連續(xù)時(shí)，在和在都連續(xù). 但是反過來，二元函數(shù)對(duì)單個(gè)自變量

16、都連續(xù)并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性. (2) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 局部保號(hào)性定理：若二元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，并且存在實(shí)數(shù)(或)使得(或)，則存在的鄰域，當(dāng)時(shí)有(或).局部有界性定理：若二元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則在的某個(gè)鄰域上有界. 四則運(yùn)算性質(zhì): 兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為0）都是連續(xù)函數(shù). 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：設(shè)函數(shù)和在平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并在點(diǎn)連續(xù)；函數(shù)在平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并在點(diǎn)連續(xù)，其中，.則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)也連續(xù)(3) 二元初等函數(shù)及其連續(xù)性 與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù). 由和的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表

17、示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù). 一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域. 利用這個(gè)結(jié)論，當(dāng)要求某個(gè)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的極限時(shí)，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可. 4. 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) (1) 有界性與最值性定理： 若函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，則在上有界，且能取得最大值與最小值. (2) 一致連續(xù)性： 若函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，則在上一致連續(xù)， 即使得只要就有. (3) 介值性與零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)域連續(xù)，若為中任意兩點(diǎn)，且，則對(duì)任何滿足不等式的實(shí)數(shù)，存在點(diǎn)，使得. 四、基本例題解題點(diǎn)擊【例1】按定義證明 【提示】在用定義證明極限

18、時(shí),先寫出定義,運(yùn)用放縮法，找到合適的即可【證明】 當(dāng)時(shí)，有 因此 【例2】求極限【提示】【解】 【例3】求極限【提示】用極限的迫斂性定理.【解】因且由極限的迫斂性定理，得 【例4】應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則，證明數(shù)列收斂，其中【提示】利用柯西收斂準(zhǔn)則和三角函數(shù)有界性. 【證明】， 有 故由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂. 【例5】計(jì)算【提示】定義函數(shù) 再用極限四則運(yùn)算、歸結(jié)原則和等價(jià)無窮小量求解.【解】記函數(shù)則有故由歸結(jié)原則得 【例6】設(shè),，求.【提示】極限的四則運(yùn)算法則和【解】因,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故由極限的四則運(yùn)算法則，有 【例7】設(shè).證明 其中為整數(shù).【提示】當(dāng)時(shí)，直接利用函數(shù)極限定義證明.當(dāng)時(shí)，把分

19、子有理化，然后利用放縮法證明.【證明】因?yàn)椋?若，由，則當(dāng)時(shí)，有 所以，即.若，由，則當(dāng)時(shí)，有從而有 故. 【例8】求極限【提示】利用重要極限及函數(shù)極限的運(yùn)算法則.【解】 當(dāng)時(shí)，故 【例9】證明：若在點(diǎn)連續(xù)，則與也在連續(xù). 又問：若或在上連續(xù)，那么在上是否必連續(xù)？ 【提示】要證連續(xù)，證即可，要證連續(xù)，證即可，或連續(xù)不一定有連續(xù).【證明】由在連續(xù)，得，從而再由例7的結(jié)論知 故與也在連續(xù).構(gòu)造函數(shù) 則有 即在上連續(xù)，但在不連續(xù)，故在上不連續(xù). 因此，由或在上連續(xù)不能斷定在上連續(xù). 【例10】 設(shè)在上連續(xù)，.證明：存在，使得 .【提示】在上連續(xù)，則存在最大值和最小值，利用連續(xù)函數(shù)介值性定理.【證明

20、】設(shè) 不失一般性，設(shè)（1）若則，此時(shí)有取即可.（2）若，則由連續(xù)函數(shù)介值性定理知，使得由此本題得證. 五、擴(kuò)展例題解題點(diǎn)擊【例1】 設(shè)為個(gè)正數(shù). 證明：【提示】運(yùn)用迫斂性定理和【證明】設(shè) 則有因故由極限的迫斂性定理，得【延伸】：設(shè) 試證明：【提示】：與前面方法類似（運(yùn)用） 【例2】設(shè)數(shù)列滿足：存在正數(shù)對(duì)一切有證明：數(shù)列與都收斂. 【提示】利用單調(diào)有界原理，柯西收斂準(zhǔn)則及絕對(duì)值不等式證明.【證明】由且知為單調(diào)有界數(shù)列. 由單調(diào)有界原理知收斂.因收斂，故由柯西收斂準(zhǔn)則知，當(dāng)時(shí)有 而 由柯西收斂準(zhǔn)則知收斂，故與都收斂. 【例3】設(shè) 證明： 【提示】令利用二項(xiàng)式定理把分母展開，利用放縮法和基本例題中的

21、例6.【證明】令表示的整數(shù)部分，顯然 故當(dāng)時(shí)，因此，因 故由迫斂性定理知，當(dāng)時(shí)， 【例4】計(jì)算 （上海大學(xué)2001年考研試題）【提示】先用數(shù)列代替，猜測出極限的值，然后考慮用迫斂性定理.【解】在區(qū)間內(nèi)， 而 故由迫斂性定理知， 【例5】已知 求與的值. 【提示】此題中實(shí)際上就是的整式部分.【解】因故 由(3)與極限四則運(yùn)算法則，得：把代入(2)，得：同理，把代入(1)，得 【例6】設(shè)（或或），則（或或）.問：反之是否成立？【提示】利用極限定義和絕對(duì)值不等式證明.【證明】由極限定義知，當(dāng)時(shí)，有 故當(dāng)時(shí)，有記，因故 當(dāng)時(shí)有取 當(dāng)時(shí)，因此 或的情形可類似進(jìn)行證明.反之，若，則不能得出. 例如，取 則

22、 而不存在; 取 則 而不存在；的情形類似. 【例7】設(shè)函數(shù)定義在上，在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)有界，并滿足 則【提示】運(yùn)用極限的定義，由題設(shè)條件推出結(jié)論成立.【證明】由題設(shè) 則 使得當(dāng)時(shí)，有 記 則 于是因而有由(1)式可得又由于在上有界，則及于是 使得當(dāng)時(shí)，有取 于是當(dāng)時(shí)，由(2)、(3)與(4)便有故 【例8】設(shè)為區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，證明：若為的間斷點(diǎn)，則必是的第一類間斷點(diǎn).【提示】利用確界與極限關(guān)系，證明在的左右極限均存在.【證明】若為區(qū)間上的單調(diào)增函數(shù)，取 且滿足使得則在上為有界函數(shù). 由 知道在左、右極限均存在. 因此，若為的間斷點(diǎn)，則必為的第一類間斷點(diǎn). 若為區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，則令則為上

23、的單調(diào)增函數(shù)，從而因此，結(jié)論也成立. 【例9】設(shè)函數(shù)為區(qū)間上滿足利譜希茨條件（），即存在常數(shù)使得對(duì)于 上的任意兩點(diǎn)與都有 證明：在上一致連續(xù).【證明】 取 則 且 有故在上一致連續(xù). 【例10】設(shè)是有界數(shù)列，且 若存在，則也存在（北京大學(xué)2009年考研試題）.【證明】因有界，故 使得 有 因存在（令其值為），故 當(dāng)時(shí)，有 即因 故有下面用反證法證明反設(shè) 由得，即因 故有即依此類推，于是得因此，當(dāng)充分大時(shí)，有（例如當(dāng)時(shí)）這與為有界數(shù)列矛盾. 于是 同理可證因此，當(dāng)時(shí)有故收斂. 六、本章訓(xùn)練題提示點(diǎn)評(píng)【訓(xùn)練題1】證明函數(shù)在內(nèi)非一致連續(xù).（云南大學(xué)2004年考研試題）【提示】利用非一致連續(xù)的定義證明

24、.【證明】當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)有（例如當(dāng)時(shí)），故有 因此，命題成立. 【訓(xùn)練題2】已知 其中為個(gè)正數(shù).求（1）；（2） 與 （2004年云南大學(xué)考研試題） 【解】（1）因（洛比達(dá)法則）故（2）由（1）知是的可去間斷點(diǎn). 由初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性知，而 若則當(dāng)時(shí)，故 即 若 則當(dāng)時(shí)，故 即 若則為時(shí)的無窮大量. 故由洛比達(dá)法則得，因此， 若則為時(shí)的無窮大量.故由洛比達(dá)法則得，因此，綜合知， 【訓(xùn)練題3】設(shè)是連續(xù)函數(shù)，求,的值.(福建師范大學(xué)2006年考研試題)【提示】利用極限的四則運(yùn)算法則和連續(xù)函數(shù)的定義.【解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因在處連續(xù)，故即 因在處連續(xù)，故即 解方程組可得 , 【訓(xùn)

25、練題4】求和 使得當(dāng)時(shí)，無窮小量等價(jià)于無窮小量（上海大學(xué)2002年考研試題）.【解】在右領(lǐng)域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，無窮小量等價(jià)于無窮小量 【訓(xùn)練題5】設(shè)在上連續(xù)，且是一對(duì)一（即且時(shí)，有），證明：在上嚴(yán)格單調(diào).【證明】反證法. 反設(shè)在上非嚴(yán)格單調(diào)，即且有或（因是一對(duì)一，故不能取等號(hào)）若成立，取顯然且在上連續(xù)，由介值性定理知， 使得同理 使得于是 這與在上一對(duì)一矛盾.因此，當(dāng)時(shí)，與不能同時(shí)成立.同理可證，當(dāng)時(shí)，與不能同時(shí)成立.綜上所述知，在上嚴(yán)格單調(diào). 【訓(xùn)練題6】求（華南理工大學(xué)2004年考研試題）【解】因而（由泰勒公式）于是 【訓(xùn)練題7】設(shè), , , 試證收斂, 并求, (華南理工大學(xué)2004考研試題). 【解】 因, 故, 即.因, 故.因 , 故 . 同理 , , 因此得, .因, 故.因, 故.因且,故有, 即. 同理得. 因此, 子列單調(diào)減小有下界, 故存在, 設(shè)極限為. 子列單調(diào)增加有上界, 故存在, 設(shè)極限為. 對(duì)左右兩邊取極限, 得. 由極限保號(hào)性知. 同理得. 由數(shù)學(xué)分析第一冊(cè)(華東師大)第26頁例題7知, . 【訓(xùn)練題8】證明極限存在. (哈爾濱工業(yè)大學(xué)2009考研試題). 【證明】 記. 則. 因, , 故. 因此得, 即為單調(diào)遞減數(shù)列. 由于 , 故. 因此得, . 于是有下界. 綜上所述, 知為單調(diào)