數(shù)學(xué)解題思維障礙的突破技巧

1、數(shù)學(xué)解題思維障礙的突破技巧摘要：數(shù)學(xué)解題能力是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力高低的一個重要指標，當(dāng)前高考的能力立意命題也說明高中數(shù)學(xué)教學(xué)要更多的關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)能力 本次講座我們研究下面三個問題：高中數(shù)學(xué)解題的思維策略數(shù)學(xué)思維障礙的成因與突破高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的幾點建議正文：一 高中數(shù)學(xué)解題的思維策略數(shù)學(xué)思維的變通性 根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活設(shè)想和解題方案 數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活的設(shè)想和解題方案 （1）善于觀察 (2006,重慶，理，12)若且則的最小值為（ ） A B C D【分析】看到給定的條件，感覺應(yīng)該使用均

2、值不等式求最小值，但變形過程受阻，得不到待求的結(jié)構(gòu)【點撥】由且得： ，則()或者由得又， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知條件和待證結(jié)論的變形的具體方向，發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系【答案】D 心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法（2）善于聯(lián)想(2002天津理科16) 已知

3、函數(shù)，那么?！痉治觥坑捎谠O(shè)定的問題較簡單，可以直接分別求值，再求和；但問題是，如果待求的和式較復(fù)雜怎么辦？【點撥】聯(lián)想數(shù)列的求和方法，不難發(fā)現(xiàn)該式隱藏的秘密所在：?！敬鸢浮?。聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入（3）善于將問題進行轉(zhuǎn)化(2004，全國一，12)已知的最小值為（ ）ABCD+【分析】由于受給定條件的暗示，考生多第一感覺選擇利用重要不等式求最值 于是聯(lián)想到，只能得到的最大值，似乎求最小值還需更進一步變形，結(jié)果走上不歸路，求解

4、失敗【點撥】再次研究給定的條件，發(fā)現(xiàn)由可以得到a、b、c的值，即待求目標只能取有限個值，從其中挑選最大的得到最大值，挑選最小的得到最小值【答案】B數(shù)學(xué)家G . 波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題在解題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題它表現(xiàn)就是記類型、

5、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的反思性提出獨特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信(2004湖北卷理科6) 已知橢圓的左、右焦點分別為、F2，點P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到軸的距離為（A） （B）3 （C） （D）【分析】學(xué)生一般會認為P為直角頂點，從而公式求解得到答案C；【點撥】通過選項分析，若直角頂點不確定，則應(yīng)有多個值可選擇，而答案沒有提供多值選項，因此，直角頂點是確定的從圖形分析可知，必

6、為焦點，因為有的橢圓并不存在張角為直角的點，于是得到正確答案半個通徑【答案】D(2004湖南理20)直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點A、B求實數(shù)的取值范圍；【解析】將直線的方程代入雙曲線C的方程后，整理得:依題意，直線與雙曲線C的右支交于不同兩點，注意到，應(yīng)該利用根的分布求解而我們多利用韋達定理求解,解得的取值范圍為數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解，精細地檢查思維過程，不盲從、不輕信在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設(shè)，獲得獨特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)本講重點加強學(xué)生思維的嚴密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，

7、不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性因此，在解決問題時，應(yīng)積極地獨立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維數(shù)學(xué)思維的嚴密性考察問題嚴格、準確，運算和推理精確無誤(2004，全國一，15)已知數(shù)列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，求an的通項公式【分析】對a1+2a2+3a3+(n1)an1認識不清，看不到本質(zhì)，沒法進行下去； 利用條件an=a1+2a2+3a3+(n1)an1，得到an1=a1+2a2+3a3+(n2)an2，兩式相減得到，即 ，再由迭乘法，于是【點撥】數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，研究數(shù)列也應(yīng)有定

8、義域優(yōu)先意識，利用給定的條件an=a1+2a2+3a3+(n1)an1 ，得到an1=a1+2a2+3a3+(n2)an2 ，它們都是有條件的，并不是對所有的正自然數(shù)都成立的對數(shù)列而言，一般要考慮小項數(shù)從1開始，因此、的成立條件分別是n2、n3、n3忽視對項數(shù)的限制，必然得到錯誤的結(jié)果【答案】在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴格、準確，進行運算和推理時精確無誤數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴密性是數(shù)學(xué)的根本特點之一但是，由于認知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：概念模糊 概念是數(shù)學(xué)

9、理論體系中十分重要的組成部分它是構(gòu)成判斷、推理的要素因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤判斷錯誤 判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯誤例如，“函數(shù)是一個減函數(shù)”就是一個錯誤判斷推理錯誤 推理是運用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式它是判斷和判斷的聯(lián)合任何一個論證都是由推理來實現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴密數(shù)學(xué)思維的開拓性對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、對一個題目運用多種不同的解法 (2006全國卷一理科9)設(shè)平面向量、的和

10、如果向量、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則A B C D【分析】向量、的和向量、順時針旋轉(zhuǎn)后與、同向，且，得不到、的具體表示 【點撥】其實，考查選項發(fā)現(xiàn)：減號的位置放到哪？為什么會出現(xiàn)減號？力的合成問題！【答案】D（2006全國卷一理科11）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細木棒圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為A BCD【分析】我們知道，當(dāng)周長一定時，三邊越接近，其面積越大，這是等周問題中的一個基本結(jié)論?！军c撥】實際上，根據(jù)海倫公式，可以證明上述結(jié)論。用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長為7組成三角形，此三角形面積最大，面積為，選

11、B.顯然，這并不是規(guī)定的考試內(nèi)容，也就是說，并沒有確定的知識用于本題的解答。它誰說不是課本中的定理，卻是定理的背景，是定理產(chǎn)生的實踐基礎(chǔ)，在書上的閱讀材料“算術(shù)幾何平均不等式”中，就不難看到上述事實。【答案】B2007考試大綱，在知識要求中，增加了知識相關(guān)背景的認識，要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，應(yīng)了解知識的背景。數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解“數(shù)學(xué)是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關(guān)系我們在學(xué)習(xí)每一分支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系

12、，主要是靠一題多解來完成的通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：(1) 一題的多種解法(2) 一題的多種解釋二數(shù)學(xué)思維障礙的成因與突破1由于數(shù)學(xué)思維的膚淺性所致(2006，上海，理，12)三個同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”乙說：“把不等式變形

13、為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 【分析】本題的出現(xiàn)使人耳目一新，特給出問題的解決過程，就解題的直覺而言，解一道題應(yīng)有多種思路，其中有效的做法是什么？簡潔的做法是什么？這就需要從感性到理性，做出正確的判斷。如果學(xué)生對給出的問題認識不清，自然就不會得出正確的判斷，從而胡亂的按照某人的解法從事?！军c撥】認真研究，不難發(fā)現(xiàn)甲的解題思路不對，因為甲給出的是充分條件，不是必要條件。如果按照甲的思路，可能會縮小a的范圍；丙的解題思路正確，是充要條件，不會改變a的范圍。但實施起

14、來非常麻煩，可能需要更長的解題時間；再看乙的解題思路，符合分離變量的解題技巧，得到的是充要條件，因此應(yīng)該按照乙的解題思路進行解題。由25|5|，。 設(shè)，。只需求得函數(shù)的最小值即可?！敬鸢浮肯旅婵紤]常規(guī)解法，去絕對值，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值等等。注意到，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立；且，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立；所以，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立；故； 當(dāng)取最小值時，也恰好取得最小值，這種解題的方法到底是通法，還是技巧呢？是提倡，還是不提倡呢？2由于數(shù)學(xué)思維的差異性所致(2006，全國卷二,理20)設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，若對所有的x0，都有f(x)ax成立，求實數(shù)a的取值范圍【分析】在命制導(dǎo)數(shù)問題中，既沒有“導(dǎo)

15、數(shù)”字樣或符號的直接提示，也沒有“切線”、“單調(diào)性”、“極值、最值”等的間接提示，使得思維的方向一時不能明朗，給解題帶來一些障礙。可以看到，近幾年考查導(dǎo)數(shù)的解答題，對學(xué)生的審題能力的要求更高，呈現(xiàn)能力立意的味道更濃。解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，若對所有的x0，都有f(x)ax成立，只需函數(shù)g(x) 在x0上的最小值0即可。對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a，令g(x)0，解得xea11，不知如何操作以求得函數(shù)g(x) 的最小值，解題受阻?！军c撥】(i)當(dāng)a1時，對所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函數(shù)，又g(0)0，所以對x0，都有g(shù)(x)g(0)，即

16、當(dāng)a1時，對于所有x0，都有f(x)ax (ii)當(dāng)a1時，對于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是減函數(shù)，又g(0)0，所以對0xea11，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時，不是對所有的x0，都有f(x)ax成立綜上，a的取值范圍是(，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，注意到g(0)0，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a，不知如何操作，解題受阻?！军c撥】令g(x)0，解得xea11，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性問題。當(dāng)xea11時，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)1xea11，g(x)0，g(

17、x)為減函數(shù)， 所以要對所有x0都有g(shù)(x)g(0)充要條件為ea110由此得a1，即a的取值范圍是(，1 另解：當(dāng)x0時，f(0)0，對任意的，都有f(x)ax成立； 當(dāng)x >0時，f(x)ax等價于，構(gòu)造函數(shù)。下面求函數(shù)g(x)在x >0上的值域。 ，令g(x)0，不會解方程！ 構(gòu)造函數(shù)， ， 為上的單調(diào)增函數(shù)，注意到， 對x >0恒成立。因此，對x >0恒成立，即函數(shù)g(x)為上的單調(diào)增函數(shù)。如何求函數(shù)g(x)的“最小值”呢，g(x)在x0處沒有定義，怎么辦？ ， 對x >0恒成立。 a1，對x >0恒成立。綜上所述，對所有的x0，都有f(x)ax成立

18、，a的取值范圍是(，1(2007全國卷一理科20) 設(shè)函數(shù)（）證明：的導(dǎo)數(shù)；（）若對所有都有，求的取值范圍【解析】（）的導(dǎo)數(shù)由于，故（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）（）令，則，（）若，當(dāng)時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即（）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時，即，與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是【解析】解：對任意，都有，即成立. 當(dāng)時，成立 當(dāng)時，恒成立，即恒成立令，則當(dāng)時，為上增函數(shù).，即當(dāng)時，令，則，即，即為(0,1)增函數(shù).，即.，即為上增函數(shù). 又，所以使恒成立，即由可知.綜上所述， (2006，重慶，理，20) 已知函數(shù)，其中為常數(shù)。若，且，試證：?！痉治觥坑山o

19、定的條件和待證的目標，容易想到應(yīng)該消去c，從而構(gòu)造出關(guān)于b的不等式，利用求解不等式的解，得到待證的目標。解題的障礙就是對于給定的極限式型無從下手，得不到c與b的具體關(guān)系。一般地，對于型極限，求解的關(guān)鍵是想辦法在分子分母中消去零因子，但本題沒有辦法如此處理?！军c撥】注意到，則有。 又，故得：。 ，即，又，整理得：解得。本題所給的極限式使我們聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的定義，回歸定義，回歸本源，是數(shù)學(xué)命題的一個重要的著力點。3由于思維定勢的消極性所致(2005廣東18) 箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數(shù)量比為現(xiàn)從箱中每次任意取出一個球，若取出的是黃球則結(jié)束，若取出的是白球，則將其放回箱中

20、，并繼續(xù)從箱中任意取出一個球，但取球的次數(shù)最多不超過n次以表示取球結(jié)束時已取到白球的次數(shù)求的分布列；【解析】的所有允許取值依次為0，1，2，n。取出黃球的概率是，取出白球的概率是，則， ， ， ， ，的分布列是012(2005浙江理科19)袋子A中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是，若有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布列?！窘馕觥侩S機變量的取值為0、1、2、3.由n次獨立重復(fù)試驗概率公式Pn(k)=,得P(=0)=, P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.隨機變量的分布列是0123P(2007全國卷理科1

21、9)四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小【解析】解法一：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面DBCAS因為，所以，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的角為三高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的幾點建議1. 加強審題指導(dǎo)，是提高解題能力的必要條件(1)弄清已知條件和解題目標這包括： 有幾個已知條件，能否把各個已知條件分開； 解題的目標是什么？要求是什么？ 是否需要畫圖，如果能畫圖，最后畫圖，并在圖中標出必要的條件和數(shù)據(jù)，畫圖的過程是一個熟悉

22、問題的過程，是一個對已知條件和解題目標再認識的過程.（2004重慶文14）已知曲線，則過點的切線方程是_.本題可以判斷點在曲線上，所以，大部分同學(xué)的解法是，由得切線方程為，即.但是,這個結(jié)果并不完整,這是因為題目并沒有告訴點是否為切點,而上面的解法是把點當(dāng)作切點求解的.其實, 點也可能不是切點.正確的解法是:設(shè)切點為,則,切線方程為.因為在切線上,則,從而有,解得,于是, 過點的切線方程為和. (2)注意題目的隱含條件（2006遼寧理科12）設(shè),點是線段上的一個動點,若,則實數(shù)的取值范圍是(A) (B) (C) (D) 【解析】 解得: ,因點是線段上的一個動點,所以,即滿足條件的實數(shù)的取值范

23、圍是,故選擇答案B. 【點評】本題考查向量的表示方法,向量的基本運算,定比分點中定比的范圍等等.可見，審題的第一步就是弄清問題的已知條件和未知條件，在弄清條件時，對題目一定要字斟句酌，解錯這道題，就是因為沒有看“求什么”的時候就倉促下筆所以，熟悉問題是審題的重要步驟，在熟悉問的過程中，要弄清已知條件和未知條件，仔細的重復(fù)這些已知條件，如果問題與圖形有關(guān)，還應(yīng)該畫圖，在圖上標示已知條件和未知條件及符號. (3)弄清已知條件之間以及已知條件與所求目標之間的相互聯(lián)系（2005浙江卷理科10）已知向量，|1，對任意tR，恒有|t|，則(A) (B) () (C) () (D) ()()【解析】常規(guī)處理

24、是從|t|變形得：ABCDAAAA得,即,選(C)。反思向量，|1，對任意tR，恒有|t|，可以從向量本身的意義來考慮,如圖：，則，設(shè)，由題意，僅當(dāng)時才能實現(xiàn)，即()。 (4)思考所求解的題目與以前做過的哪道題目相類似（2004湖南理科12）設(shè)分別是定義在上奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時，且，則不等式的解集是（ ）（A）（B）（C）（D）這是一個比較生疏的題目，遇到比較生疏的題目就要思考:“平時是否作過類似的問題？”仔細審題，就會得到一為上奇函數(shù)，一為上偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，而，則在時為增函數(shù)，經(jīng)過這一分析，再想，是否見過類似的題目呢？回答是，見過這就是：“函數(shù)為奇函數(shù)，且時，為增函數(shù)，求的解集”，于是生

25、題變成了熟題，畫出圖像，不難求出的解集為（D） 總之，審題是解題的一個重要步驟，通過審題，收集信息，加工信息，熟悉題目并深入到題目內(nèi)部去思考，就會找到解題的入口，也會在解題的全部過程中，不忽視任何一個細節(jié) 審題決定成敗審題是通向成功的起點，也是成功的歸宿2關(guān)注解題細節(jié)，是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的必由之路。（1）研究解題細節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)（2004年，天津卷，理21）已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，其中為常數(shù)，為非零常數(shù).（）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項公式；本題主要考查函數(shù)，數(shù)列，等比數(shù)列和極限等概念，考查靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。 對于第（）問，許多同

26、學(xué)都是這樣證明的：由已知，即所以是一個公比為的等比數(shù)列.這樣求解有沒有破綻?許多同學(xué)找不出毛病，其實，按照等比數(shù)列的定義，應(yīng)該證明與的比是一個常數(shù)，而要求“比”，就要證明數(shù)列的各項均不為0，這可以由題設(shè)條件，得出，再由遞推公式及數(shù)學(xué)歸納法證明，對所有，這是證明等比數(shù)列的前提，而上面的證明恰恰忽略了這一點。 第（）問是求數(shù)列的通項公式. 由（）可以得出的通項公式 由的定義，。 這就涉及到求等比數(shù)列的前項之和。而對等比數(shù)列求和，又要對公比及分類討論，這樣一個細節(jié)，在平時教學(xué)中，老師肯定多次提醒，但是，換了一個解題環(huán)境，是求數(shù)列的通項公式，就有不少考生忽略了分類。 第三個細節(jié)就是得出的結(jié)果之后：這里

27、的題目并沒有給出，因此，要用表示，許多考生也忽略了。正確的答案是細節(jié)總?cè)菀诪槿怂雎?，所以往往最能反映一個人的真實狀態(tài)，因而也最能表現(xiàn)一個人的習(xí)慣.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生重視學(xué)習(xí)中的每一個細節(jié)，有利于學(xué)生良好學(xué)習(xí)品質(zhì)的形成.作為教師，糾正學(xué)生的錯誤是重要，但更重要的是通過教學(xué)中的一些細節(jié)，使學(xué)生遇事能認真分析，能認真思考每一個環(huán)節(jié)的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì). (2005年，江西卷，文19)A、B兩位同學(xué)各有五張卡片,現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲,當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片,否則B贏得A一張卡片.如果某人已贏得所有卡片,則游戲終止.求擲硬幣的次數(shù)不大于7次時游戲終止的概率.【解析】本題的

28、關(guān)鍵是擲硬幣的次數(shù)不大于7次時,正面和反面各出現(xiàn)多少次,才能贏得所有卡片.為此,設(shè)表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù),又設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為,反面出現(xiàn)的次數(shù)為.由題意,可得方程組解得： （2）關(guān)注細節(jié)，提高學(xué)生的思維深度細節(jié)決定成敗(2000年,上海卷) 已知()對任意恒成立,試求實數(shù)的取值范圍;()當(dāng)?shù)闹涤蚴?試求實數(shù)的值.【解析】本題的第（）問是一個恒成立問題, 對任意恒成立。等價于對任意恒成立,又等價于時,的最小值成立.由于在上為增函數(shù),則,所以 .第()問是一個恰成立問題,這相當(dāng)于的解集是.當(dāng)時,由于時, ,與其值域是矛盾,當(dāng)時, 是上的增函數(shù).所以,的最小值為,令,即不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題1.恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最小值大于,若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于.2. 能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最大值大于,若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于.3. 恰成立問題若不等式在區(qū)