數(shù)研究生考試

1、2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（1）設(shè)，則的零點(diǎn)個數(shù)為（ ）0 1. 2 3（2）曲線方程為函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分（ ）曲邊梯形面積.梯形面積.曲邊三角形面積.三角形面積.（3）在下列微分方程中，以（為任意常數(shù)）為通解的是（ ）（5）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（ ）若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂.若收斂，則收斂.若單調(diào)，則收斂.（6）設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，則（7）設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣. 若，則（

2、）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （8）設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上與合同的矩陣為（ ）. . 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9） 已知函數(shù)連續(xù)，且，則.（10）微分方程的通解是.（11）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（12）曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_.（13）設(shè)，則.（14）設(shè)3階矩陣的特征值為.若行列式，則.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)（本題滿分9分）求極限.(16)（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問題的解.求. (17)（本題滿分9

3、分）求積分 .(18)（本題滿分11分）求二重積分其中(19)（本題滿分11分）設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且.對任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式. (20)（本題滿分11分）(1) 證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得 (2)若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，證明至少存在一點(diǎn)（21）（本題滿分11分）求函數(shù)在約束條件和下的最大值與最小值.（22）（本題滿分12分） 設(shè)矩陣，現(xiàn)矩陣滿足方程，其中，（1）求證；（2）為何值，方程組有唯一解，并求；（3）為何值，方程組有無窮多解，

4、并求通解.（23）（本題滿分10分）設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿足，（1）證明線性無關(guān)；（2）令，求.2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題(1)【答案】【詳解】因?yàn)?，由羅爾定理知至少有，使，所以至少有兩個零點(diǎn). 又中含有因子，故也是的零點(diǎn)， D正確.本題的難度值為0.719.(2)【答案】【詳解】其中是矩形ABOC面積，為曲邊梯形ABOD的面積，所以為曲邊三角形的面積本題的難度值為0.829.(3)【答案】 【詳解】由微分方程的通解中含有、知齊次線性方程所對應(yīng)的特征方程有根，所以特征方程為，即. 故以已知函數(shù)為通解的微分方程是本題的難度值為0.832

5、.(4) 【答案】【詳解】時無定義，故是函數(shù)的間斷點(diǎn)因?yàn)?同理 又 所以 是可去間斷點(diǎn)，是跳躍間斷點(diǎn).本題的難度值為0.486.(5)【答案】【詳解】因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)有界，且單調(diào). 所以單調(diào)且有界. 故一定存在極限.本題的難度值為0.537.(6)【答案】【詳解】用極坐標(biāo)得 所以 本題的難度值為0.638.(7) 【答案】【詳解】，故均可逆本題的難度值為0.663.(8) 【答案】【詳解】記，則，又所以和有相同的特征多項式，所以和有相同的特征值.又和為同階實(shí)對稱矩陣，所以和相似由于實(shí)對稱矩陣相似必合同，故正確.本題的難度值為0.759.二、填空題(9)【答案】2【詳解】所以 本題的難度值為0.82

6、8.(10)【答案】【詳解】微分方程可變形為所以 本題的難度值為0.617.(11)【答案】【詳解】設(shè)，則，將代入得，所以切線方程為，即本題的難度值為0.759.(12)【答案】【詳解】時，；時，不存在在左右近旁異號，在左右近旁，且故曲線的拐點(diǎn)為本題的難度值為0.501.(13)【答案】【詳解】設(shè)，則所以 所以 本題的難度值為0.575.(14)【答案】-1【詳解】 本題的難度值為0.839.三、解答題(15)【詳解】方法一：方法二： 本題的難度值為0.823.(16)【詳解】方法一：由得，積分并由條件得，即 所以 方法二：由得，積分并由條件得，即 所以 所以 本題的難度值為0.742.(17

7、)【詳解】方法一：由于，故是反常積分. 令，有，方法二： 令，有，O 0.5 2 xD1D3 D2故，原式本題的難度值為0.631.(18)【詳解】 曲線將區(qū)域分成兩個區(qū)域和，為了便于計算繼續(xù)對區(qū)域分割，最后為O 0.5 2 xD1D3 D2本題的難度值為0.524.(19)【詳解】旋轉(zhuǎn)體的體積，側(cè)面積，由題設(shè)條件知 上式兩端對求導(dǎo)得 ， 即 由分離變量法解得 ， 即 將代入知，故，于是所求函數(shù)為 本題的難度值為0.497.(20)【詳解】(I) 設(shè)與是連續(xù)函數(shù)在上的最大值與最小值，即由定積分性質(zhì)，有 ，即 由連續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得 即 (II) 由(I)的結(jié)論可知至少存在一點(diǎn)，

8、使 又由 ，知 對在上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，并注意到，得在上對導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有本題的難度值為0.719.(21)【詳解】方法一：作拉格朗日函數(shù) 令 解方程組得 故所求的最大值為72，最小值為6.方法二：問題可轉(zhuǎn)化為求在條件下的最值 設(shè) 令 解得，代入，得 故所求的最大值為72，最小值為6.本題的難度值為0.486.(22)【詳解】(I)證法一：證法二：記，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，結(jié)論成立當(dāng)時，結(jié)論成立假設(shè)結(jié)論對小于的情況成立將按第1行展開得故 證法三：記，將其按第一列展開得 ，所以 即 (II)因?yàn)榉匠探M有唯一解，所以由知，又，故由克萊姆法則，將的第1列換成，得行列式為所以 (III)方程組有無窮多解，由，有，則方程組為此時方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為，所以方程組有無窮多解，其通解為為任意常數(shù)本題的難度值為0.270. (23)【詳解】(I)證法一：假設(shè)線性相關(guān)因?yàn)榉謩e屬于不同特征值的特征向量，故線性無關(guān)，則可由線性表出，不妨設(shè)，其中不全為零(若同時為0，則為0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)，又，整理得：