數(shù)學(xué)建模選修課趙奇才

1、安徽工程大學(xué) 數(shù)學(xué)建模（選修課）課程論文 教學(xué)樓失火人員疏散問題隊員：趙奇才 輕化工程2091 3092117116成 績： 完成日期：3目錄一、 摘要1二、 問題重述2三、 基本假設(shè)與符號及變量說明3 3.1 基本假設(shè)3 3.2 符號及變量說明4四、問題分析.5五、模型的建立和求解.6 5、1 模型一.6（一）模型的建立.6（二）模型的求解.85、2模型二.10（一）模型的建立10（二）模型的求解.11六、模型的評價與改進13八、附錄表.14十、參考文獻23一、摘要最近地震火災(zāi)事故頻發(fā)，2008年就經(jīng)歷了汶川之殤，造成了嚴(yán)重的人員和財產(chǎn)損失，在災(zāi)難發(fā)生之際，有效的撤離能挽救損失，尤其在人員密

2、集的地方，諸如學(xué)校，商場等顯得就格外重要。本文解決的問題是在學(xué)生從聽見警報聲開始到離開教學(xué)樓平均撤離時間和在突發(fā)事件下如何撤離以減少人員損失建立的模型。詳細(xì)如下： 正常情況下，首先簡化教學(xué)樓，把教學(xué)樓層網(wǎng)絡(luò)化采用動態(tài)規(guī)劃的方法，確定最符合實際的撤離路線，針對此路線，利用集群化原理，模擬實際需要的平均撤離時間。結(jié)合安徽工程大學(xué)六號教學(xué)樓，先考慮總體撤離時間，再將其分成個大的部分，然后對每個部分加以細(xì)化，最后分別計算后累加求得時間。突發(fā)事件情況下，為了更好的有組織、有秩序地疏散撤離，我們采用人流模型（人員單隊疏散模型）來考慮平均撤離時間。以每樓層的各個教室為單位進行逐個撤離，從而計算出總撤離時間。

3、對于該教學(xué)樓中人員疏散的設(shè)計的兩種方案做出了初步的評價，得出了一種在人流密度較大的教學(xué)樓內(nèi)，人員疏散時間的計算方法和疏散過程中瓶頸現(xiàn)象的處理方法，并提出采用距離控制疏散過程和瓶頸控制過程來分析和計算教學(xué)樓的人員疏散。關(guān)鍵詞： 動態(tài)規(guī)劃 集群化原理 人流模型 瓶頸現(xiàn)象二、問題重述學(xué)校的教學(xué)樓是一種人員非常集中的場所，由于學(xué)校教學(xué)樓開放的安全通道有限，一旦發(fā)生火災(zāi)人員的逃離顯然是個值得研究的問題,教學(xué)樓的結(jié)構(gòu)事關(guān)學(xué)生的逃離時間,結(jié)合自己所在學(xué)校的教學(xué)樓分析1、測量出有關(guān)結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù),繪制出教學(xué)樓的土圖2、當(dāng)發(fā)生火災(zāi)等安全事故，以學(xué)校教學(xué)樓為例，設(shè)計最佳逃生方案,并對疏散方案作出評價（例如平均撤離時間

4、等指標(biāo)）3單從逃生的角度看,你所研究的教學(xué)樓的結(jié)構(gòu)是否合理?如不合理,如何改進?繪制出改進后的結(jié)構(gòu)圖.三、基本假設(shè)與符號及變量說明3.1 基本假設(shè)模型一：1、疏散過程中，人群的流量、人口的密度與疏散通道的寬度、行走速度有關(guān) ；2、所有人員在疏散過程中不發(fā)生踩踏事件；3、在疏散過程中不會出現(xiàn)中途返回選擇其它疏散路徑；4 、每個疏散通道結(jié)構(gòu)寬度等變量均相同，在疏散過程中，人口疏散分配均衡；5 、人員從每個可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不變。以上假設(shè)是人員疏散的一種理想狀態(tài)，與人員疏散的實際過程可能存在一定的差別，為了彌補疏散過程中的一些不確定性因素的影響，在采用該模型

5、進行人員疏散的計算時，通常保守地考慮一個安全系數(shù)，一般取，即實際疏散時間為計算疏散時間乘以安全系數(shù)后的數(shù)值。模型二：1、每個教室的門口同一時刻只能走出一個人，走道有三個出口。2、人群撤離時，井然有序，單行，（間隔）均勻，勻速（但不是定值）。3、忽略教室內(nèi)人員排成一隊的時間，每個教室第一個人從教室門口走出門口到站到走道上的時間忽略不計。4、人流限制在單向定寬的走道內(nèi)前進，且相對飽滿，即速度不大于某極限速度Vmax。5、行走速度只受到人與人前后之間的間距和行走頻率的影響，在擁擠的狀態(tài)下步幅等于相鄰個體的間距，步幅不超過0.75m。3.2 符號及變量說明模型一：群集密度， P通道中的人數(shù)通道的實際長

6、度 人群群集通行難易程度系數(shù)V群集的步速 樓道里障礙物產(chǎn)生的阻滯數(shù)N群集流動系數(shù) 第層樓道的通暢程度樓梯實際利用程度的增量 第層人員心理焦急程度人群流動系數(shù)的增量 出教室門的時刻撤離結(jié)束時刻 第層人員的擁擠程度模型二：-第i個教室門的右側(cè)到第i-1個教室門的左側(cè)（或門口）的距離-第i個教室的人數(shù) -教室門的寬度-人員在隊伍中的間隔 -個體的平均行走頻率-個體的平均厚度 -個體的平均步幅-第i個教室的人全部安全出來需要的時間-任意一個教室第i個人安全出來需要的時間-第i-1個教室的最后一個人安全離開時,第i個教室的第一個開還需要走的距離-人員疏散的平均速度四、問題分析  根據(jù)題目的要求

7、首先我們要建立一個數(shù)學(xué)模型在正常情況下,學(xué)生離開教學(xué)樓的平均撤離時間，經(jīng)過分析：教學(xué)樓學(xué)生疏散所需的疏散時間就是最后一個離開教學(xué)樓的學(xué)生所有用的時間。由分析得：學(xué)生疏散所需時間包括了疏散開始時間和疏散行動時間。疏散開始時間即從下課鈴響到學(xué)生感知時間。一般地, 疏散開始時間與響鈴系統(tǒng), 發(fā)生場所、建筑物形狀及管理狀況，疏散誘導(dǎo)手段等因素有關(guān)。疏散行動時間即從疏散開始至疏散結(jié)束的時間,它由步行時間(從教室門口至安全出口步行所需的時間) 和出口通過排隊時間(即學(xué)生全部從出口通過所需的時間) 構(gòu)成。而步行時間又可以分為：從教室到走廊的時間，從教室門口到樓梯口的時間，從6樓樓梯口到安全出口的時間。 設(shè)計

8、一個疏散方案以減少學(xué)生的傷亡程度，經(jīng)分析如下：為了更有組織，更有秩序的緊急撤離，為此我們采用了單隊疏散模型，即以教室為單位進行逐個教室撤離。學(xué)生疏散的時間就是最后一個人離開教學(xué)樓所需的時間。一般地，學(xué)生疏散的時間與學(xué)生需要走的路程和學(xué)生撤離的速度有關(guān)。學(xué)生需要走的路程受到個體的占地面積的影響；學(xué)生撤離的速度受到個體的步幅和行走頻率的影響。（見附錄一 圖1） 五、模型的建立與求解5、1 模型一（一）模型的建立1 教學(xué)樓層網(wǎng)絡(luò)化不考慮南北兩樓之間的人員流動（即忽略連廊作用），把六號樓分割為南北兩個獨立系統(tǒng)分析（如附錄1圖2）。建筑網(wǎng)絡(luò)模型由一系列的節(jié)點以及連接各個節(jié)點的路徑組成。節(jié)點代表教學(xué)樓內(nèi)的

9、不同的教室、通道、樓梯間、安全出口以及其他的空間部分，模型將教室外或教學(xué)樓內(nèi)的其他安全地點定義為目標(biāo)結(jié)點，人員疏散以人員到達目標(biāo)結(jié)點算作結(jié)束。空間上相鄰的節(jié)點通過虛擬的路徑來連接，這些路徑在空間上并不實際存在，只是通過它們來反映各個節(jié)點之間的連接關(guān)系，還需要設(shè)定路徑的方向，以反映人員在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的流動方向。路徑由連接兩節(jié)點的箭頭表示，箭頭方向表示人員疏散的方向，其旁邊括號內(nèi)的數(shù)字分別表示單位時間通過該路徑的人數(shù)、人員通過該路徑所用的時間。對于路徑，需要根據(jù)人流流動的方向來設(shè)定路徑的方向，按路徑方向的不同，路徑可分為單向路徑和雙向路徑兩類。根據(jù)分析，實際疏散時，在某段時間內(nèi)，人流在路徑上沿一個方向行

10、進，可能在另一時間段內(nèi)又轉(zhuǎn)換為另一個方向，當(dāng)然也存在疏散的整個過程中人員始終沿某一固定方向行走的情況。路徑的實時方向則是由模型通過對人員疏散整個過程進行模擬計算得到。設(shè)定的路徑方向只是路徑的可能方向，可以通過檢查模擬計算結(jié)果得到不同時間段內(nèi)的實時路徑方向。2 模擬實際撤離路線人員的撤離與疏散通道的一些阻礙因素所導(dǎo)致。人員的密度直接決定了人員的行走速度，人群群集通行難易程度系數(shù)與人員分布密度的積得到人群群集當(dāng)量長度系數(shù)。通道的當(dāng)量長度：第條通道的當(dāng)量長度：且得N一般為1.5，所以把樓房網(wǎng)絡(luò)化為G（V，E），房間為V，而E為各個通道。對于任意的點和，且；有在實際計算時把有向網(wǎng)絡(luò)化為無向網(wǎng)絡(luò)來計算以

11、模擬人員流動的不確定性。簡單的認(rèn)為心理焦急程度符合以下函數(shù)關(guān)系： 為計算的方便令，為人員所在的樓層數(shù)。心里焦急程度和樓道的通暢程度的關(guān)系：樓道里的障礙物產(chǎn)生的阻滯數(shù)：參數(shù)：，由動態(tài)規(guī)劃法可得最佳撤離路徑為，把網(wǎng)絡(luò)圖轉(zhuǎn)化為矩陣計算，并把不可能撤離的節(jié)點置為無窮。（程序見附錄二 程序1）3 人員撤離遲滯時間根據(jù)已經(jīng)求得的最優(yōu)路徑，主要限制人員撤離時間的因素為樓梯的寬度對人流的限制。忽略因少數(shù)人因某些原因走反方向，人員的行動方向恒定，且為一個連續(xù)的滯留人數(shù)。（如附錄一 圖3）流入樓梯的人數(shù)（即自從出教室門起到時刻止，到達樓梯的人群數(shù)量）： 流出樓梯的人數(shù)（即自時刻起，經(jīng)過樓梯流出的人數(shù)包括撤離初期流

12、出的人數(shù)和在時刻后出現(xiàn)常流后的人數(shù)）：滯留人數(shù)（即到時刻在樓梯上滯留的人數(shù)）： 樓梯上所需時間（即人流全部流出樓梯）：（二）模型的求解1、從聽到警報聲開始到學(xué)生感知的時間（即人的反應(yīng)時間，一般為）（不考慮學(xué)生在教室逗留，老師不延遲上課時間以及鈴聲傳遞的時間）。2、從教室到走廊的時間為教室的人員剛開始進行疏散時,人流密度比較小,疏散空間相對于正在進行疏散的人群來說是比較寬敞的,此時決定疏散的關(guān)鍵因素是疏散路徑的長度。現(xiàn)將這種類型的疏散過程定義為是距離控制疏散過程;剛開始時教室內(nèi)的人員密度s為120/200=0.6人/。然而教室里還有很多的桌椅,因此人員行動不是十分方便,參考附錄一的表1給出的數(shù)據(jù)

13、,將室內(nèi)人員的行走速度v為1.2/。設(shè)教室的門寬為1.80。而在疏散過程中,這個寬度不可能完全利用,它的等效寬度為w,等于此寬度上減去0.30。則從教室中出來的人員流量為:=××=1.2×1.5 ×0.6=1.08人/.按此速度計算,教室里的人員要在大約要111內(nèi)才能完全疏散完畢。3、從教室門口到樓梯口的時間也就是人在走廊的時間設(shè)走廊上的人員密度為：s=1人/，參考附錄一的表1得，人流速度v為1.2，走廊的有效寬度w為：1.8m，那么走廊上的人員流量f為：f=××=1.2*1.5*1=1.8人/s。按此速度計算需要67s到達樓梯口。4

14、、從6樓樓梯口到安全出口的時間假設(shè)歸并后的每個教室有600人，由于共有4間教室，3個出口，假設(shè)人在每個安全出口的分布是均勻的，那么在每個出口有800人通過，假設(shè)樓梯的有效寬度為2米，根據(jù)s提出,下樓梯的人員流量與樓梯的有效寬度和使用樓梯的人數(shù)有關(guān),其計算公式為:=(/8040)0.73×0.27。此式中,流量的單位為人/,的單位為。此公式的應(yīng)用范圍為0.1</<0.55。通過計算可以得出p/w=0.4<0.55，代入公式可得f=1.17人/s。計算出人員到達安全出口的大約需要684s。5、安全出口通過排隊時間設(shè)通過每一個大廳出口時的人流速度恒定大約為2人/ms。大廳

15、出口的有效寬度為4m，因為大廳出口不是制約人員撤離的主要瓶頸，所以可以認(rèn)為在最高層的人到達大廳出口前其余各層人都可以順利從出口撤離，而集群人數(shù)為600人，所以全部通過安全出口所需時間大約為75s。那么=75s。那么根據(jù)模擬計算得到：人安全疏散的時間為937.2s5、2 模型二（一）模型的建立（人員單隊疏散模型）首先需要擬訂人員疏散方案即聽到警報器聲響時每個教室的人同時開始往外走，并且在前一個教室的門口等待，當(dāng)前一個教室的最后一人走出時后一個教室的人開始接著往前走。為了考慮人員的心理慌張等因素，從而影響疏散時間，則設(shè)定一個恐慌程度系數(shù)（一般為1.5-2之間）。若要計算第i個教室人員疏散的時間，先

16、要知道第i-1個教室人員疏散的時間。模型的構(gòu)成可以分為以下幾個步驟。1.人群疏散的速度v的計算由假設(shè)可知：當(dāng)人員間的距離<0.75m 時 步幅h=；距離>=0.75m 時 步幅h=0.75m。則有：速度=hf2、距離的計算1）當(dāng)i=1時即是從門口到出口的距離： 2）當(dāng)i=2時應(yīng)分兩種情況考慮:a) 第2間教室的第一個人走到第1間教室門口時需要等待，直到第1間教室的人全部走進走道，即當(dāng)時： b) 第2間教室的第一個人走到第1間教室門口時不需要等待（第一間教室里已經(jīng)沒有人），即當(dāng)時：由推導(dǎo)可知：當(dāng)i=k時3、疏散時間Ti的計算對于第1間教室 第個人安全離開所需的時間對于第2間教室 第個

17、人安全離開所需的時間由推理可得 對于第k間教室 最終的撤離總時間為（二）模型的求解這個模型是根據(jù)擁擠程度從而選擇間距，使疏散總時間最小。根據(jù)上式可知速度隨步幅h的增大而增大，受到間距的影響，而總時間T由和共同決定。由于與h有關(guān)系，可知T是的函數(shù)。注：Li,ni+1,D,w,f為確定的值，根據(jù)資料在本文中取w=0.25m,f=2.3總時間T可由以下程序計算得到：（程序原代碼見附錄二 程序2）得到疏散總時間=408.9*2=817.8 六、模型的評價與改進優(yōu)點：模型一的建立為教學(xué)樓性能化安全疏散設(shè)計提供科學(xué)的指導(dǎo)作用，并且可以定量評價疏散系統(tǒng)的性能。同時為分析具有復(fù)雜內(nèi)部通道建筑中的人員疏散提供了

18、方法,還建立了分段處理不同路徑上人員疏散時間的方法。模型二的建立是為了更好的有組織，有秩序的疏散人員，為疏散過程減少擁擠提供了有力的依據(jù)，以便更快的進行撤離，同時還能減小人員慌張所帶來的損失，還為突發(fā)時間下緊急平均疏散時間提供了方法。缺點：兩個模型都是按照一種很理想的條件進行的,并且忽略了很多實際因素。如出現(xiàn)盲目亂跑、逆向行走等現(xiàn)象,這樣會延長平均疏散時間。模型一在現(xiàn)階段是一個人員疏散分析模型的基礎(chǔ),目前屬于理論上的模型,以上的計算結(jié)果都是通過手算得到的。模型二的太過于理想化，與實際存在很的誤差，從而計算出的平均撤離時間與現(xiàn)實有很大的誤差。改進：單從逃生角度看,所需時間越少越好,為了使所建的數(shù)

19、學(xué)模型能更好的應(yīng)用于實際，那么就要優(yōu)化各個因素。模型的結(jié)果就是平均撤離時間為多少，教學(xué)樓的結(jié)構(gòu)很大程度上決定了疏散的大部分時間,所在教學(xué)樓的樓道較窄和樓道較少,以及還有許多安全通道平時不開放,突發(fā)時也就不能應(yīng)急用,所以解決以上問題還可提高逃生系數(shù),此外,撤離時間還與許多因數(shù)有關(guān)。比如說：人員的組成和特性（我們還可以考慮，把人分成熟悉建筑物，不熟悉建筑物，行動不便的人）；人員密度及分布情況（當(dāng)分布不均的時候）；教學(xué)樓的設(shè)施情況（教學(xué)樓所承受的突發(fā)事件程度）等等。 因此說這是一個非常復(fù)雜的系統(tǒng), 特別是人員的心理和行為能力對平均撤離時間的影響等等,所以我們可以從這幾方面加以改進。七、附錄學(xué)生疏散的

20、時間學(xué)生所走的路程學(xué)生撤離的速度個體占地面積步幅和頻率流動系數(shù)學(xué)生流動特性和行動能力附錄一圖1 表1大廳或走廊樓梯間內(nèi)平均行走速度 m/s平均密度人 /單位寬度平均流量 人/(m.s)平均行走速度 m/s平均密度人 /單位寬度平均流量 人/(m.s)>1.32<0.308<0.38>0.64<0.538<0.27>1.27<0.431<0.55>0.61<0.719<0.38>1.17<0.719<0.82>0.58<1.075<0.55>1.02<1.075<1.09

21、>0.53<1.538<0.71>0.56<2.174<1.37>0.43<2.703<0.93<0.56>2.174>1.37<0.43>2.703>0.93附錄二程序1/*  * File:   Evacuate_Normal.c * * Created on 2011年5月8日, 下午5:58 * * 動態(tài)規(guī)劃計算六樓至出教學(xué)樓最快路徑 */#include <stdio.h>#include <stdlib.h

22、>int stair63 =       1,  2,  1, /*6樓至5樓樓梯耗時*/      1,  3,  2,      2,  2,  1,      3,  3,  1,      3,  4,  1,      3,  5,  2  /*大門等待時間*/;int c

23、orridor62 =       1,  1, /*6樓樓梯與樓梯間走廊相隔時間*/      1,  2,      3,  2,      1,  1,      1,  2,      4,  2  /*1樓樓梯與樓梯間走廊相隔時間*/;int dis3 = 1, 2, 3 ; /*教室到每個樓梯口耗時*/int path63 = 0; &

24、#160; /*路徑*/void printPath(int s, int p)     int t = pathsp - p - 1;    if(s < 5)         if(t)            printf("->走廊");        printf("->樓梯%d,%

25、d", s + 1, pathsp);        printPath(s + 1, pathsp - 1);    else         if(t)            printf("->走廊");        printf("->門

26、%d", pathsp);        return;    int main()     int i, j, pathcount = 0;    for (i = 5; i >= 0; -i)         if(stairi+10 <= stairi+11 + corridori+10 && stairi+10 <= stairi+12 + corridori+10

27、 + corridori+11)             stairi0 += stairi+10;            pathi0 = 1;        else if(stairi+10 > stairi+11 + corridori+10 && stairi+11 + corridori+10 <=

28、 stairi+12 + corridori+10 + corridori+11)             stairi0 += stairi+11 + corridori+10;            pathi0 = 2;        else        &#

29、160;    stairi0 += stairi+12 + corridori+10 + corridori+11;            pathi0 = 3;                if(stairi+11 <= stairi+10 + corridori+10 && stairi+11 <= stairi+12 +

30、 corridori+11)             stairi1 += stairi+11;            pathi1 = 2;        else if(stairi+11 > stairi+10 + corridori+10 && stairi+10 + corridori+10 <= s

31、tairi+12 + corridori+11)             stairi1 += stairi+10+ corridori+10;            pathi1 = 1;        else            

32、stairi1 += stairi+12 + corridori+11;            pathi1 = 3;                if(stairi+12 <= stairi+10 + corridori+10 + corridori+11 && stairi+12 <= stairi+11 + corridori+11)

33、60;           stairi2 += stairi+12;            pathi2 = 3;        else if(stairi+12 > stairi+11 + corridori+11 && stairi+10 + corridori+10 + corridori+11 > stair

34、i+11 + corridori+11)             stairi1 += stairi+11 + corridori+11;            pathi2 = 2;        else             sta

35、iri1 += stairi+10 + corridori+10 + corridori+11;            pathi2 = 1;                for (i = 0; i < 3; +i)         disi += stair0i;        print

36、f("最短耗時：");    if(dis0 <= dis1 && dis0 <= dis2)         printf("%dn路徑：樓梯%d,%d", dis0, 1, 1);        printPath(1, path00 - 1);    else if(dis0 > dis1 && dis1 <= dis2)  

37、       printf("%dn路徑：樓梯%d,%d", dis1, 1, 2);        printPath(1, path01 - 1);    else         printf("%dn路徑：樓梯%d,%d", dis2, 1, 3);        printPath(1, path0

38、2 - 1);        printf("n");    return 0;程序2/*  * File:   Evacuate_Urgent.c * * Created on 2011年5月8日, 下午6:10 * 突發(fā)事件下 */#include <stdio.h>#include <stdlib.h>double S5 = 0 ;int n5 = 95, 100, 120, 90, 110; /*第i個教室的人數(shù)*/double L5 = 9, 8, 9, 8, 7;     /*第i個教室門的右側(cè)到第i-1個教室門的左側(cè)（或門口）的距離*/double D = 1.5;                     /*教室門寬度*/double dis=0.6