【高一數(shù)學(xué)】三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)山東 田振民一：函數(shù)的定義域問題1. 求函數(shù)的定義域。分析：要求的定義域，只需求滿足的集合，即只需求出滿足的值集合，由于正弦函數(shù)具有周期性，只需先根據(jù)問題要求，求出在一個(gè)周期上的適合條件的區(qū)間，然后兩邊加上即可。解：由題意知需，也即需在一周期上符合的角為,由此可得到函數(shù)的定義域?yàn)樾〗Y(jié):確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)：（1）正、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。（2）若函數(shù)是分式函數(shù)，則分母不能為零。（3）若函數(shù)是偶函數(shù)，則被開方式不能為負(fù)。（4）若函數(shù)是形如的函數(shù)，則其定義域由確定。（5）當(dāng)函數(shù)是有實(shí)際問題確定時(shí)，其定義域不僅要使解析式有意義同時(shí)還

2、要使實(shí)際問題有意義。二函數(shù)值域及最大值，最小值（1）求函數(shù)的值域例。求下列函數(shù)的值域（1） （2）分析：利用與進(jìn)行求解。解：（1）（2）評(píng)注：一般函數(shù)的值域求法有：觀察法，配方法判別式法，反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)罷了。（2）函數(shù)的最大值與最小值。例。求下列函數(shù)的最大值與最小值（1） （2）（3） （4）分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解過程要注意自變量的去值范圍（3）（4）可利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值得方法。解：(1) (2)(3) 當(dāng)，即時(shí)，有最小值；當(dāng)，即，有最大值1。(4)小結(jié)：求值域或最大值，最

3、小值的問題，一般的依據(jù)是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切實(shí)數(shù)；（3）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值和最小值。根據(jù)上面的原則，常常把給出的函數(shù)變成以下幾種形式；（1）一次形式（2）或的形式，通過來確定或其他變形來確定。三：函數(shù)的周期性例 求下列函數(shù)的周期分析：該例的兩個(gè)函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量的替換，將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。（1） 把看成是一個(gè)新的變量，那么的最小正周期是，就是說，當(dāng)且必須增加到時(shí)，函數(shù)的值重復(fù)出現(xiàn)，而所以當(dāng)自變量增加到且必須增加到時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此，的周期是。（2） 即的周期是。小結(jié)：由上面的例題我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變

4、量的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)或（其中為常數(shù)，的周期。四函數(shù)的奇偶性例 判斷下列函數(shù)的奇偶性分析：可利用函數(shù)奇偶性定義予以判斷。解：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（2函數(shù)應(yīng)滿足函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。評(píng)注：判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，必須先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，如果是，再驗(yàn)證是否等于或，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性，如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)。五：函數(shù)的單調(diào)性例：下列函數(shù)，在上是增函數(shù)的是（ ） 分析：解：與在上都是減函數(shù)，排除，知在內(nèi)不具有單調(diào)性，又可排除，應(yīng)選。小結(jié)：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：練習(xí)：1. 函數(shù)的

5、定義域?yàn)椋?）2. 函數(shù)，的值域是( )3. 函數(shù)的周期為，則=-.4. 下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（ ）5. 下列函數(shù)中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）（1）（2）（3）（4）6. 在區(qū)間上，下列函數(shù)為增函數(shù)的是（ ）7. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）8. 如果，則函數(shù)的最小值是9. 函數(shù)的值域?yàn)椋?）答案：B B 3 C C D B B23函數(shù)的單調(diào)性學(xué)法導(dǎo)引1熟練掌握增減性的概念要注意定義中對(duì)區(qū)間內(nèi)，的任意性，而不是某兩個(gè)特殊值，2掌握好證明函數(shù)單調(diào)性的方法(用定義)：取值作差定號(hào)判斷3熟悉幾種基本函數(shù)的單調(diào)性4掌握好利用函數(shù)的單調(diào)性來比較數(shù)的大小的方法知識(shí)要點(diǎn)精講1增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念

6、 (1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)某一區(qū)間內(nèi)的局部性質(zhì)，而不是整體性質(zhì)一是同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間，二是任意性，切不可用兩個(gè)特殊值代替，三是規(guī)定了大小關(guān)系要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是單調(diào)遞增(遞減)的，而要證f(x)在區(qū)間a，b上不是遞增(遞減)的，則只需舉出反例即可2判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 最基本的方法是依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來證明，其步驟如下： 并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變化； 第三步：定號(hào)，即確定差的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可進(jìn)行分區(qū)間討論； 第四步：判斷，即根據(jù)定義確定是增函數(shù)還是減函數(shù) 也可根據(jù)函數(shù)簡(jiǎn)單的運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)來確定函數(shù)的單調(diào)性3函數(shù)

7、單調(diào)性的應(yīng)用 單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它在研究函數(shù)時(shí)具有重要的作用具體表現(xiàn)在： (1)利用函數(shù)的單調(diào)性，可以把比較函數(shù)值的大小問題，轉(zhuǎn)化為比較自變量的大小問題，也是我們解不等式的依據(jù) (2)確定函數(shù)的值域或求函數(shù)的最值 對(duì)于函數(shù)f(x)，如果它在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么它的值域是f(a)，f(b)，如果它在區(qū)間a，b上是減函數(shù)，那么它的值域是f(b)，f(a)，如果它在區(qū)間a，c上是增(減)函數(shù)，在c，b上是減(增)函數(shù)，那么它的最大(小)值是f(c)4常用函數(shù)的單調(diào)性 (1)一次函數(shù)ykxb，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)思維整合【重點(diǎn)】本節(jié)重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的概念以及函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【難點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性的概念來證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性【易錯(cuò)點(diǎn)】1復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性只注意復(fù)合關(guān)系，不注意范圍；精典例題再現(xiàn)【解析重點(diǎn)】 例 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解析求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有多種方法，可以利用定義法，可以利用基本的初等函數(shù)的單調(diào)性，也可以用圖象的直觀性作出函數(shù)的圖象，如圖231所示：在(，1和0，1上，函數(shù)f(x)是增函數(shù)，在1，0和1，)上，函數(shù)是減函數(shù)故其單調(diào)遞增區(qū)間為(，1和0，1；其單調(diào)遞減區(qū)間為1，0和1，)點(diǎn)撥對(duì)于(2)中求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題，一般有以下結(jié)論