隱函數(shù)與參量函數(shù)微分法

1、2.4 隱函數(shù)與參量函數(shù)微分法隱函數(shù)與參量函數(shù)微分法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義定義: 由方程由方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)y=y(x)稱為稱為. y=f (x)形式的函數(shù)稱為形式的函數(shù)稱為. 如果從如果從F(x,y)=0中解得中解得y=f (x), 稱為稱為. 問題問題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?例例1 1:求由方程求由方程 xyex +ey =0所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)y=y(x)0, xdxdydxdy的導(dǎo)數(shù)及其在的導(dǎo)數(shù)及其在x=0處的值處的值, 即即例例2 2: 設(shè)設(shè)x4xy +y4=1, 求求 y 在點在點(0,

2、 1)處的值處的值.例例3:.,lnarctan2222dxyddxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 再證反函數(shù)的求導(dǎo)法則再證反函數(shù)的求導(dǎo)法則dxdyy )(1)(1ydxdy 設(shè)設(shè)x= (y)為直接函數(shù)為直接函數(shù), y=f (x)為其反函數(shù)為其反函數(shù), y=f (x)可可視為由方程視為由方程x (y)=0確定的一個隱函數(shù)確定的一個隱函數(shù). 由隱函數(shù)求導(dǎo)法則由隱函數(shù)求導(dǎo)法則, 在方程在方程x= (y)兩邊對兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo),得得即即二、對數(shù)求導(dǎo)法二、對數(shù)求導(dǎo)法 方法方法: 先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù). 目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求

3、目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求導(dǎo)運算導(dǎo)運算. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 .例例5:.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)例例6:6:.,dxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 例例4 4：的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求)4)(3()2)(1( xxxxy2211nnaxaaxaaxayy .),0(2sinyxxyx 求求、設(shè)、設(shè))1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx .,)()()(12121dxdyaxaxaxynanaa求求、設(shè)設(shè) )()()()(ln)()()(1xuxuxvxuxvxfxf 一般地一般地, 對冪指函數(shù)對冪指函數(shù) (u(x)0)的情形的情形:等式兩邊取對數(shù)等式兩

4、邊取對數(shù), 得得 兩邊對兩邊對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()(tytx若參數(shù)方程若參數(shù)方程則稱則稱.確定確定y與與x間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系,消去參數(shù)消去參數(shù), 得得:例如例如:由由 22tytx,2xt 得得參量函數(shù)參量函數(shù)y= -1(x)22)2(xty 42x xy21 問題問題: 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?連續(xù)的反函數(shù)連續(xù)的反函數(shù) t = -1(x), 在參數(shù)方程在參數(shù)方程 )()(tytx中中, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)x= (t)具有單調(diào)具有

5、單調(diào)則則 再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)x= (t), y= (t)都可導(dǎo)都可導(dǎo), 且且(t) 0, 由復(fù)合由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得:dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即dxdtttdtd)()( )(22dxdydxddxyd 容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即若設(shè)函數(shù)若設(shè)函數(shù)x= (t), y= (t)都二階可導(dǎo)都二階可導(dǎo), 且且(t) 0, 則則例例11: 求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax在在處的切線方程處的切線方程.例例

6、12:12:3222,11ydxydyxdxdytytx 證明證明設(shè)設(shè)例例13(書后練習書后練習) :332,arctan)1ln(dxydttytx求求設(shè)設(shè) 四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率dtdydtdx與與設(shè)設(shè)x=x(t)及及y=y(t)都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù), 而變量而變量x與與y之間之間在一定的關(guān)系在一定的關(guān)系, 這樣兩個相互依賴的變化率稱為這樣兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)相關(guān)變化率變化率.存在某種關(guān)系存在某種關(guān)系, 從而它們的變化率從而它們的變化率之間也存之間也存 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: 已知其中一個變化率時如何求已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率出另一個變化率?解解:

7、 設(shè)時刻設(shè)時刻 t 水深為水深為h(t), 水庫內(nèi)水量為水庫內(nèi)水量為V(t), 則則0604000m234000)(htV dtdhhdtdV 38000上式兩邊對上式兩邊對t求導(dǎo)得求導(dǎo)得,/288003小時小時米米 dtdV,20米時米時當當 h小時小時米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率 例例14: 河水以河水以8米米3/秒的流量流入水庫中秒的流量流入水庫中, 水庫形水庫形狀是長為狀是長為4000米米, 頂角為頂角為120 的水槽的水槽, 問水深問水深20米時米時, 水面每小時上升幾米水面每小時上升幾米?y的函數(shù)的求導(dǎo)的函數(shù)的求導(dǎo) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程由方程e

8、 y +xy=e所確定所確定, 求求.022 xdxyd適用的范圍適用的范圍.,52arctan2dxdyetyytxt求求設(shè)設(shè) ) 10(1sin 222yytttx, )(xyy .dd22xy五、小結(jié)五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: 直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo); 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法: 對方程對方程(函數(shù)函數(shù))兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù), 經(jīng)適當運經(jīng)適當運算后算后, 按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo); 參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實質(zhì)上是利用了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)實質(zhì)上是利用了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則法則; 相關(guān)變化率相關(guān)變化率: 通過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的通過函數(shù)關(guān)系確定

9、兩個相互依賴的變化率變化率; 解法解法: 通過建立兩者之間的關(guān)系通過建立兩者之間的關(guān)系, 用鏈式求導(dǎo)用鏈式求導(dǎo)法求解法求解.思考題思考題 )()(tytx )()(ttyx )0)( t 設(shè)設(shè), 由由可知可知:)()(ttyx 對嗎？對嗎？思考題解答思考題解答不對不對. xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 求 .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時對 求導(dǎo)y1yxddxeyxddyxddxe111. 設(shè)yxdd, 求 01sin3232ytettxy.dd0txy解解： txddyetydd0ddtxy2. 設(shè)方程組兩邊同時對 t 求導(dǎo), 得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0t3. 設(shè),)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對數(shù)微分法求.,21yy答案答案: