金融數(shù)學(xué)-變額年金ppt課件

1、1孟生旺中國人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院變額年金變額年金 （Varying Annuities）2主要內(nèi)容主要內(nèi)容l遞增年金離散支付，離散遞增）遞增年金離散支付，離散遞增）l遞減年金離散支付，離散遞減）遞減年金離散支付，離散遞減）l復(fù)遞增年金：按幾何級(jí)數(shù)遞增的年金復(fù)遞增年金：按幾何級(jí)數(shù)遞增的年金l每年支付每年支付 m 次的遞增年金略去遞減年金）次的遞增年金略去遞減年金）l連續(xù)支付的變額年金：連續(xù)支付，離散遞增或遞減）連續(xù)支付的變額年金：連續(xù)支付，離散遞增或遞減）l連續(xù)支付連續(xù)遞增或遞減的年金連續(xù)支付連續(xù)遞增或遞減的年金l一般的連續(xù)支付連續(xù)變額現(xiàn)金流一般的連續(xù)支付連續(xù)變額現(xiàn)金流3回想：等額年金公式回想：等額

2、年金公式年金基本年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值期末付期初付1nnvai1nnvad(1)1nnisi(1)1nnisd1ai1ad4年金每年支付m次的年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值 累積值期末付期初付()()|1nmmnvai()()|1nmmnvad()()|(1)1nmmnisi()()|(1)1nmmnisd()()|1mmai()()|1mmad5連續(xù)支付的年金（連續(xù)年金）連續(xù)支付的永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值 累積值|1nnva|(1)1nnis|1a61、遞增年金、遞增年金increasing annuity）l期末付遞增年金：期末付遞增年金： 第一期末支付第一期末支付1元，第二期末支元，第二期末支2

3、元，元，第，第n期末支付期末支付n元。按算術(shù)級(jí)數(shù)遞增。元。按算術(shù)級(jí)數(shù)遞增。l如果用如果用 表示其現(xiàn)值，則有表示其現(xiàn)值，則有l(wèi)上式兩邊同時(shí)乘以上式兩邊同時(shí)乘以(1 + i)則有則有|)(nIannnvvvvIa32|32)(21|(1)()123nni Iavvnv 7l 用第二式減去第一式則有l(wèi) l所以遞增年金的現(xiàn)值為231|()(1)nnniIavvvvnv invaIannn|)( |nnanv8遞增年金分解表遞增年金分解表時(shí)期時(shí)期 0123 n 1 n遞增年金遞增年金123 n 1n等等額額年年金金111 1111 111 11 111遞增年金 = n 年定期年金 + 延期1年的 (n

4、1) 年定期年金 + 延期2年的 (n 2) 年定期年金 + + 延期 (n 1) 年的1年定期年金9l將上述各項(xiàng)年金的現(xiàn)值相加即得遞增年金的現(xiàn)值為l | 11| 1|)(avavaIannnn 11111nnnvvvvviii 211nnnvvvviinvann| 11nnnnvviivvvi10l根據(jù)現(xiàn)值求得其累積值為()(1) ()(1)nnnnnnanvIsiIaii()(1)()nnnnanvIai Iad() = (1 + )( )nnnIsiIsnsndnsni期初付遞增年金的現(xiàn)值期初付遞增年金的現(xiàn)值期初付遞增年金的累積值期初付遞增年金的累積值建議：只記憶期末付年金的現(xiàn)值公式。建

5、議：只記憶期末付年金的現(xiàn)值公式。|()nnnanvIai11l當(dāng) 時(shí)，還可以得到遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值為l在計(jì)算上述極限時(shí)， |()lim()nnIaIa|()lim()limnnnnnanvIaIadnlimlim0(1)nnnnnnvi|limnnnanvi1di21d1111idii 11(1)ii21(1)i12l例：某人希望購買一項(xiàng)年金，該項(xiàng)年金在第一年末的付款例：某人希望購買一項(xiàng)年金，該項(xiàng)年金在第一年末的付款為為1000元，以后每年增加元，以后每年增加100元，總的付款次數(shù)為元，總的付款次數(shù)為10次。次。如果年實(shí)際利率為如果年實(shí)際利率為5%，這項(xiàng)年金的現(xiàn)值應(yīng)該是多少？，這項(xiàng)年金的現(xiàn)值應(yīng)

6、該是多少？l解：年金分解如下：解：年金分解如下：1000110018001900900900900900100200 900100010|10|900100() = 6949.56 + 3937.38= 1088.69 ()aIa元13l例：寫出下述年金的現(xiàn)值公式例：寫出下述年金的現(xiàn)值公式l設(shè)A表示此年金的現(xiàn)值，那么1 ()nnAP aQ vIa 14l例：證明下列關(guān)系式成立：例：證明下列關(guān)系式成立：l l （1）l （2）1 |(1)()nnnanvIai|()nnnnanvIaai| ()nnnanvIai已知：15l（2由于 ，因此|()nnnanvIai|(1)nnai a|nnnna

7、vvnvi1 |(1)nnanvi|(1)nnvaiin|nnnanvai1|1nnavv 1|nnnaav（1）|()nnnanvIai|nnnviiaan16時(shí)期時(shí)期 0123 n 1 n遞減年金遞減年金nn 1n 2 21等等額額年年金金111 11111 1111 111111期末付遞減年金：第一期末支付期末付遞減年金：第一期末支付 n 元，第二期末支付元，第二期末支付 n 1元，元，第，第 n 期末支付期末支付1元。按算術(shù)級(jí)數(shù)遞減。元。按算術(shù)級(jí)數(shù)遞減。 2、遞減年金、遞減年金decreasing annuity）17l因此遞減年金的現(xiàn)值也可以表示為上述等額年金的現(xiàn) 值之和，即：11(

8、)nnnDaaaa1111nnvvviii1() = nnnvvvi = nnai18l遞減年金的其他公式：|() = (1 + )()nnDai Da| =nnad|() = (1) ()nnnDsiDs|(1)nnnisd|(1)()(1)()(1)nnnnnnnnanisDsiDaiii|()nnnaDai19l例：一項(xiàng)年金在第一年末付款例：一項(xiàng)年金在第一年末付款1元，以后每年增加元，以后每年增加1元，直元，直至第至第 n 年。從第年。從第 n + 1年開始，每年遞減年開始，每年遞減1元，直至最后一元，直至最后一年付款年付款1元。試計(jì)算該項(xiàng)年金的現(xiàn)值是多少？元。試計(jì)算該項(xiàng)年金的現(xiàn)值是多少

9、？12nn-11|1|()()nnnIavDa20| 1|)()(nnnaDvaI|1|+(1)nnnnnaivnvai1|1|11()nnnnnnnvnivvv aa1|1|1(1)nnnnav avi 1|1(1)(1)nnvai|nnaa213、復(fù)遞增年金、復(fù)遞增年金 （compound increasing annuity） l含義：付款金額按照某一固定比例增長的年金。含義：付款金額按照某一固定比例增長的年金。 l期末付復(fù)遞增年金期末付復(fù)遞增年金 ：在第：在第1年末支付年末支付1元，此后每年的支付元，此后每年的支付金額按的復(fù)利金額按的復(fù)利 r 增長，直到第增長，直到第 n 年末支付年末

10、支付(1+r)n-1。2231(1)(1)(1)nnPVvr vrvrv22l上述年金的現(xiàn)值：l變形可得：l若r i , 令 ， 則現(xiàn)值為： 2231(1)(1)(1)nnPVvr vrvrv22331(1)(1)(1)(1)1nnPVr vrvr vrvr211111.11111nn jPVarjjjr1(1)1r vj1(1)11irr vjjrl 假設(shè) r = i, 則現(xiàn)值為 n/(1+i) 其中23l例：某例：某10年期的年金在第一年末付年期的年金在第一年末付1000元，此后的給付金元，此后的給付金額按額按5遞增，假設(shè)年實(shí)際利率為遞增，假設(shè)年實(shí)際利率為11.3%，請(qǐng)計(jì)算這項(xiàng)年，請(qǐng)計(jì)算這

11、項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。 l解：本例年金的現(xiàn)金流如下圖所示：解：本例年金的現(xiàn)金流如下圖所示：24 現(xiàn)值：其中因此該項(xiàng)年金的現(xiàn)值為： 10111000100011.05n jjaae0.1130.050.06110.05irjr1010 6%111 1.06100010007009.611.051.050.06a25l期初付復(fù)遞增年金：假設(shè)一項(xiàng)年金在第期初付復(fù)遞增年金：假設(shè)一項(xiàng)年金在第1年初給付年初給付1元，此元，此后給付金額按復(fù)利增長，直到第后給付金額按復(fù)利增長，直到第 n 年初給付金額為年初給付金額為 元。元。1(1)nr26l此項(xiàng)年金的現(xiàn)值表達(dá)式：l若r i，則可令 ，上式

12、變形為：22111 (1)(1)(1)nnPVr vrvrv 1(1)1r vj211111.111nn jPVajjj 1irjr 其中 l 假設(shè) r = i, 則現(xiàn)值為 n27問題：對(duì)于等額年金，期初付年金的現(xiàn)值是期末付問題：對(duì)于等額年金，期初付年金的現(xiàn)值是期末付年金的年金的 (1 + i) 倍，對(duì)于復(fù)遞增年金而言，期初付與倍，對(duì)于復(fù)遞增年金而言，期初付與期末付存在什么關(guān)系？期末付存在什么關(guān)系？l 假設(shè) r = i, 期末付的現(xiàn)值為 n/(1+r) = n/(1+i)，期初付的現(xiàn)值為 n.l 假設(shè) r i, 期末付的現(xiàn)值為： 11n jPVar期末付期初付的現(xiàn)值為：n jPVa 期初付結(jié)論

13、：期初付的現(xiàn)值是期末付的(1+i)倍參見下頁圖示）。28期末付：期初付：29l例：一份例：一份20年期的年金，在第年期的年金，在第1年初給付年初給付200元，以后給付元，以后給付金額按金額按10的遞增，假設(shè)年實(shí)際利率為的遞增，假設(shè)年實(shí)際利率為5%，請(qǐng)計(jì)算此項(xiàng)，請(qǐng)計(jì)算此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。l解：本例年金的現(xiàn)金流如下圖所示：解：本例年金的現(xiàn)金流如下圖所示：30l此項(xiàng)年金的現(xiàn)值為：l其中l(wèi)因此，此項(xiàng)年金的現(xiàn)值為：20200ja 0.050.14.5455%110.1irjr 20204.5455%1 (1 0.045455)20020064490.045455/(1 0.045

14、455)a3110年期期末付年金的現(xiàn)值 a 與利率 i 的關(guān)系324、每年支付、每年支付m次的遞增年金次的遞增年金l如果每年支付m次，付款又是遞增的，將會(huì)出現(xiàn)下述兩種情況：l同一年的每次付款相同l同一年的每次付款也是遞增的33每年支付每年支付 m 次的遞增年金：同一年的每次付款相同次的遞增年金：同一年的每次付款相同()()211()(123)mmnnIaavvnv現(xiàn)值：注：見下頁說明34第一年內(nèi)所有付款的現(xiàn)值為第二年內(nèi)所有付款的現(xiàn)值為第n年內(nèi)所有付款的現(xiàn)值為因此該項(xiàng)年金的現(xiàn)值為： ()1ma()12mva1()1nmnva()()211()(123)mmnnIaavvnv()1nnmanvvi

15、d()nnmanvi35l每年支付每年支付 m 次的遞增年金：同一年的每次付款遞增次的遞增年金：同一年的每次付款遞增兩種方法計(jì)算現(xiàn)值：（1看做nm次付款的遞增年金，應(yīng)用遞增年金的公式。（2建立新公式了解）36()()21, (1)1mmmnm jnIaIajim （1應(yīng)用遞增年金公式計(jì)算現(xiàn)值：應(yīng)用遞增年金公式計(jì)算現(xiàn)值：37l令l在式兩邊同時(shí)乘以 ，則有12323nmmmvvvmn vR(12)()23231nmmmnmmvvvmnIamv1(1)mi1121(1)1 23nmmmmRivvmnv 1211111nnmmmmRivvvmn v()mnnmamn v（2建立新公式了解）建立新公式了

16、解）38l上式兩邊同時(shí)乘以m，則有l(wèi)所以 2()2()2()2()mnmmnnmnm am n vR im am n vRi()()()2()mnmmnmnanvRIami1()11mnmnRimamn v39比較：比較：()()(|)|)()mnmmnmnnvIaai(|)|()mmnnnnvIaia 請(qǐng)寫出累積值的公式。問題：如何應(yīng)用上述公式？問題：如何應(yīng)用上述公式？（每年付款m次，第一年的每次付款為1/m，第一年的付款總額為1）（每年付款m次，第一次付款為1/m2）40例：寫出下述年金的現(xiàn)值計(jì)算公式年利率例：寫出下述年金的現(xiàn)值計(jì)算公式年利率i=10%)：10010010010020020

17、0200200(|)|()mmnnnnvIaia 22(4)(4)|22100 4 ()400iavIai 012411002003004005006007008002|22(4)(4)(4()2|4)2(1) 100 4()16003148.8vIaia012例：寫出下述年金的現(xiàn)值計(jì)算公式年利率例：寫出下述年金的現(xiàn)值計(jì)算公式年利率i=10%)：88488(1)(2) 100 ()1003148.8 (1)1 10%jjjIajja 42每年支付每年支付m次的遞減年金了解，課外練習(xí)）次的遞減年金了解，課外練習(xí)） ()()()mnmnnaDai()()(1)()nmnmnnisDsi()()()

18、mnmnnaDad()()(1)()nmnmnnisDsd435、連續(xù)支付的變額年金、連續(xù)支付的變額年金 (continuously payable varying annuity)l含義：支付次數(shù)趨于無窮，即支付是連續(xù)進(jìn)行的，但支付含義：支付次數(shù)趨于無窮，即支付是連續(xù)進(jìn)行的，但支付金額隨時(shí)間呈離散變化。金額隨時(shí)間呈離散變化。l連續(xù)支付的遞增年金連續(xù)支付的遞增年金l連續(xù)支付的遞減年金連續(xù)支付的遞減年金 l假設(shè)在第一年連續(xù)支付假設(shè)在第一年連續(xù)支付1元，第二年連續(xù)支付元，第二年連續(xù)支付2元，元，第，第n 年連續(xù)支付年連續(xù)支付 n 元，如下圖所示：元，如下圖所示： 44l連續(xù)支付的遞增年金的現(xiàn)值為：

19、211111()23nnIaaa va vna v211(1 23)navvnv1()naIannanv1nnanvvd45l例：一個(gè)現(xiàn)金流在第例：一個(gè)現(xiàn)金流在第1年連續(xù)支付年連續(xù)支付30元，第元，第2年連續(xù)支付年連續(xù)支付40元，第元，第3年連續(xù)支付年連續(xù)支付50元，直到第元，直到第10年連續(xù)支付年連續(xù)支付120元，元，假設(shè)年實(shí)際利率為假設(shè)年實(shí)際利率為5%，求這項(xiàng)年金的現(xiàn)值。，求這項(xiàng)年金的現(xiàn)值。l解：可以把這項(xiàng)年金分解為兩項(xiàng)年金解：可以把這項(xiàng)年金分解為兩項(xiàng)年金:10 5%10 5%2010()PVaIa46l本例年金的現(xiàn)值為：l可以計(jì)算出 10 5%10 5%2010()PVaIa1010 5

20、%1 1.058.1078220.05/1.05a 1010 5%1 1.057.913209ln(1.05)a 1010 5%8.107822 10(1.05)()40.350130ln(1.05)nnanvIa10 5%10 5%2010()561.77PVaIa47l連續(xù)支付的遞增年金的終值：l連續(xù)支付的遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值 ：第1年連續(xù)支付1元，第2年連續(xù)支付2元，第3年連續(xù)支付3元，并以此方式無限地延續(xù)下去。其現(xiàn)值為()(1) ()(1) ()nnnnnnnanvsnIsiIai1/1()limnnnanvdIad48l連續(xù)支付的遞減年金連續(xù)支付的遞減年金 ：支付是連續(xù)進(jìn)行的，但支付：

21、支付是連續(xù)進(jìn)行的，但支付金額隨時(shí)間離散遞減。金額隨時(shí)間離散遞減。l第第1年連續(xù)支付年連續(xù)支付n元，第元，第2年連續(xù)支付年連續(xù)支付n -1元，直到第元，直到第n年連續(xù)支付年連續(xù)支付1元。該年金的現(xiàn)金流如下圖所示。元。該年金的現(xiàn)金流如下圖所示。 211111()(1)(2)nnDanana vna va v49l上述年金的現(xiàn)值：211111()(1)(2)nnDanana vna va v211(1)(2)nannvnvv1()1nnaDanavdnna(1)()(1) ()(1)nnnnnnnnanisDsiDai50l例：一項(xiàng)年金在第例：一項(xiàng)年金在第1年連續(xù)支付年連續(xù)支付100元，第元，第2年

22、連續(xù)支付年連續(xù)支付90元，第元，第3年連續(xù)支付年連續(xù)支付80元，直到第元，直到第10年連續(xù)支付年連續(xù)支付10元，假元，假設(shè)年實(shí)際利率為設(shè)年實(shí)際利率為6，求其現(xiàn)值。，求其現(xiàn)值。 l解：其現(xiàn)值的表達(dá)式為：解：其現(xiàn)值的表達(dá)式為：l因此本例年金的現(xiàn)值為：因此本例年金的現(xiàn)值為：10 6%10()Da1010 6%1 1.067.3600870.06a10 6%107.360087()45.305688ln(1.06)ninaDa10 45.305688453.0651變額年金公式小結(jié)變額年金公式小結(jié) 年金遞增年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值每年支付1次每年支付m次連續(xù)支付|()nnnanvIai-=&

23、; &()nnsnIsi()nnnanvI a()nnsnI s1()Iadi|()()|()nnmmnanvIai|()()|()nmmnsnIsi1()I ad()()1()mmIadi52年金遞減年金現(xiàn)值 累積值每年支付1次每年支付m次連續(xù)支付()nnnaDai(1)()nnnnisDsi()nnnaDa(1)()nnnnisDs()()()mnmnnaDai()()(1)()nmnmnnisDsi536、連續(xù)支付連續(xù)遞增的年金簡稱：連續(xù)遞增年、連續(xù)支付連續(xù)遞增的年金簡稱：連續(xù)遞增年金）金） （continuously increasing annuity） l假設(shè)在時(shí)刻t的付款

24、率payment rate為t，常數(shù)利息力為d，則連續(xù)支付連續(xù)遞增年金的現(xiàn)值為：l注: I 和 a 上都有橫線。在時(shí)刻 t 的付款率為 t，表示按此付款，1年的付款總量將為 t .0()ntnI atedt54l上式右邊可用分部積分法展開： 0000exp()exp()d exp(exp()nnnntttttdttdtt201exp(exp()nnnt22exp(exp()1nnne1 exp(xp()nnnnnanvve55l連續(xù)支付連續(xù)遞增年金的終值為()(1) ()nnnnsnIsiIa56l例：一項(xiàng)例：一項(xiàng)10年期的連續(xù)支付連續(xù)遞增年金，在時(shí)刻年期的連續(xù)支付連續(xù)遞增年金，在時(shí)刻 t 的

25、付的付款率為款率為9t+6，利息力為，利息力為9，計(jì)算此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)，計(jì)算此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。值。 l解：分解成兩部分：解：分解成兩部分：l連續(xù)支付連續(xù)遞增的年金連續(xù)支付連續(xù)遞增的年金l連續(xù)支付的等額年金連續(xù)支付的等額年金l其中：其中： 10109()69 28.0885926 6.593670292.36Iaa 0.0919.4174%ie 10101 (1.094174)6.5936700.09a10106.593670 10(1.094174)()28.0885920.09Ia57l例：一項(xiàng)年金的付款期是從第例：一項(xiàng)年金的付款期是從第2年末至第年末至第7年末，并且在時(shí)刻年末，并

26、且在時(shí)刻t的付的付款率為款率為3t-4，假設(shè)固定利息力為，假設(shè)固定利息力為6，試求此項(xiàng)年金在第，試求此項(xiàng)年金在第7年末的終年末的終值。值。l解：解： 假設(shè)此年金的付款期是從時(shí)刻假設(shè)此年金的付款期是從時(shí)刻0到第到第7年末，則其終值可表示年末，則其終值可表示為：為：l從時(shí)刻從時(shí)刻0到第到第2年末的付款累積到第年末的付款累積到第7年末的價(jià)值為：年末的價(jià)值為：l因此，本例年金的終值為：因此，本例年金的終值為：773()4Iss0.022226 (7 2)0.33()43()4IssseIse0.377223()43()4IssIsse58l通過計(jì)算可得：l l故本例年金的終值為：22(1.061837

27、)12.1249480.06s78.6993607()28.3226670.06Is22.1249482()2.0824670.06Is0.377220.33()43()43 28.3226674 8.699360(3 2.08246742.124948)53.21IssIssee 0.0616.1837%ie 77(1.061837)18.6993600.06s59l連續(xù)支付連續(xù)遞增的永續(xù)年金：在連續(xù)支付連續(xù)遞增年金連續(xù)支付連續(xù)遞增的永續(xù)年金：在連續(xù)支付連續(xù)遞增年金的現(xiàn)值公式中，令的現(xiàn)值公式中，令n 趨于無窮大，則可以得到連續(xù)支付連趨于無窮大，則可以得到連續(xù)支付連續(xù)遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值公式：續(xù)

28、遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值公式： ()lim()nnIaIa21limnnnanv1limnnnvnv60l例：一項(xiàng)連續(xù)支付的永續(xù)年金在時(shí)刻例：一項(xiàng)連續(xù)支付的永續(xù)年金在時(shí)刻 t 的付款比率為的付款比率為 3t，付款從付款從 0 時(shí)刻起并一直延續(xù)下去，年實(shí)際利率為時(shí)刻起并一直延續(xù)下去，年實(shí)際利率為5，則，則其現(xiàn)值為：其現(xiàn)值為：213()31260.25ln(1.05)Ia 617、連續(xù)支付連續(xù)遞減的年金簡稱：連續(xù)遞減年金）、連續(xù)支付連續(xù)遞減的年金簡稱：連續(xù)遞減年金） (continuously decreasing annuity)l含義：年金的支付期為 n 年，在時(shí)刻 t 的付款率為 n- t，固定利

29、息力為d。其現(xiàn)值用符號(hào) 表示。l連續(xù)支付連續(xù)遞減年金的現(xiàn)值公式： ()nDa0()()()ntnnnDant edtnaIannannnanvna(1)nnnvvnna62l例：一項(xiàng)例：一項(xiàng)10年期的年金，在時(shí)刻年期的年金，在時(shí)刻 t 的付款率為的付款率為 10-t，假，假設(shè)利息力為設(shè)利息力為5，試計(jì)算此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值和在，試計(jì)算此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值和在第第10年末的終值。年末的終值。l解：解：0.0515.127%ie 10101 (1.05127)7.869260.05a10107.86926()42.610.05nnaDa10 0.0510()42.6170.25Dse現(xiàn)值：終值

30、累積值）：638、一般的連續(xù)支付連續(xù)變額現(xiàn)金流、一般的連續(xù)支付連續(xù)變額現(xiàn)金流 l現(xiàn)值：假設(shè)付款時(shí)間是從時(shí)刻現(xiàn)值：假設(shè)付款時(shí)間是從時(shí)刻 a 到時(shí)刻到時(shí)刻 b，在時(shí)刻，在時(shí)刻 t 的付的付款率為款率為rt，利息力為，利息力為 dt。時(shí)辰。時(shí)辰 t支付的支付的1在時(shí)刻在時(shí)刻 a的現(xiàn)值為的現(xiàn)值為下頁圖示）下頁圖示） l從時(shí)刻從時(shí)刻 a 到時(shí)刻到時(shí)刻 b 內(nèi)，所有付款在時(shí)刻內(nèi)，所有付款在時(shí)刻 a 的現(xiàn)值是將所有的現(xiàn)值是將所有付款的現(xiàn)值加總，在連續(xù)情況下就是對(duì)它們進(jìn)行積分：付款的現(xiàn)值加總，在連續(xù)情況下就是對(duì)它們進(jìn)行積分： expdtsasexpddbttsaast64abc0t100expdexpdexp

31、dtatsssasss在0點(diǎn)的現(xiàn)值累積到a點(diǎn)在a點(diǎn)的現(xiàn)值65例：一個(gè)連續(xù)支付的現(xiàn)金流例：一個(gè)連續(xù)支付的現(xiàn)金流支付期從時(shí)刻支付期從時(shí)刻0開始到時(shí)刻開始到時(shí)刻0.5結(jié)束結(jié)束在時(shí)刻在時(shí)刻 t 的支付率為的支付率為 利息力為利息力為 試計(jì)算此現(xiàn)金流在時(shí)刻零的現(xiàn)值。試計(jì)算此現(xiàn)金流在時(shí)刻零的現(xiàn)值。 解：解：103tt0.20.06tt0.500expd(103)exp(0.20.06)ddbtttsaas dttsst0.520(103)exp(0.10.06 ) dtttt66l令l則其現(xiàn)值為：20.10.06utt ( 0.20.06)ddutt 0.5200.520(103)exp(0.10.06

32、) d50( 0.20.06)exp0.10.06dtttttttt 0.5050e duu 0.52050 exp0.10.06tt 2.68 67l非立即支付現(xiàn)金流的現(xiàn)值：一個(gè)現(xiàn)金流的起始時(shí)刻為非立即支付現(xiàn)金流的現(xiàn)值：一個(gè)現(xiàn)金流的起始時(shí)刻為a 0，結(jié)束時(shí)刻為結(jié)束時(shí)刻為b，計(jì)算在，計(jì)算在0點(diǎn)的現(xiàn)值：點(diǎn)的現(xiàn)值：l方法一：計(jì)算此現(xiàn)金流在時(shí)刻方法一：計(jì)算此現(xiàn)金流在時(shí)刻 a 的現(xiàn)值，再將此現(xiàn)值從時(shí)的現(xiàn)值，再將此現(xiàn)值從時(shí)刻刻a貼現(xiàn)到時(shí)刻零。貼現(xiàn)到時(shí)刻零。l方法二：改變前式對(duì)利息力積分的下積分限來得到在時(shí)刻方法二：改變前式對(duì)利息力積分的下積分限來得到在時(shí)刻零的現(xiàn)值：零的現(xiàn)值： 0expddbttsast

33、0expexpdddbttsaaassts68例：一個(gè)連續(xù)支付現(xiàn)金流的支付率為例：一個(gè)連續(xù)支付現(xiàn)金流的支付率為 rt = 3 元，支付期限從元，支付期限從時(shí)刻時(shí)刻2到時(shí)刻到時(shí)刻6，并且具有固定的利息力，并且具有固定的利息力dt = 0.05，試計(jì)算，試計(jì)算此現(xiàn)金流在時(shí)刻零的現(xiàn)值。此現(xiàn)金流在時(shí)刻零的現(xiàn)值。解：解： 改變對(duì)利息力積分的積分限，有：改變對(duì)利息力積分的積分限，有：660.052023exp0.05dd3edttstt60.0523e0.05t9.84 69l 另一種方法：先計(jì)算現(xiàn)金流在時(shí)刻2的現(xiàn)值：l從時(shí)刻2到時(shí)刻零的貼現(xiàn)因子為：l l因此上述現(xiàn)金流在時(shí)刻零的現(xiàn)值為：l 440.2411 e1 e333310.880.05va220.10expdee0.90484ss10.88 0.904849.8470l終值：在時(shí)刻終值：在時(shí)刻 t 支付支付1元，將其累積到時(shí)刻元，將其累積到時(shí)刻b的終值為下的終值為下頁圖示）頁圖示）l為了計(jì)算從時(shí)刻為了計(jì)算從時(shí)刻a到時(shí)刻到時(shí)刻b內(nèi)所有付款的終值，需要將該期內(nèi)所有付款的終值，需要將該期間內(nèi)所有付款的終值加總，在連續(xù)情況下就是對(duì)它們進(jìn)行間內(nèi)所有付款的終值加總，在連續(xù)情況下就是對(duì)它們進(jìn)行積分：積分： expbstdsexpddbbtsatst71abc0t100expdexpdexpdtbbssstsss在0點(diǎn)的現(xiàn)值累積到b點(diǎn)在