高等數(shù)學(xué)講義--一元函數(shù)微分學(xué)

1、.第二章 一元函數(shù)微分學(xué)§2.1 導(dǎo)數(shù)與微分甲內(nèi)容要點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)與微分概念1、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量在處有增量，相應(yīng)地函數(shù)增量。如果極限存在，那么稱(chēng)此極限值為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)也稱(chēng)微商，記作，或，等，并稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，那么稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令，那么我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。右導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：那么有在點(diǎn)處可導(dǎo)在點(diǎn)處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義如果函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，那么在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。切線方程：法線方程：設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為，如果存在，那么表示物體在時(shí)刻時(shí)的瞬

2、時(shí)速度。3函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么在點(diǎn)處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)處可導(dǎo)。例如，在處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。4微分的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有增量時(shí)，如果函數(shù)的增量有下面的表達(dá)式 其中為為無(wú)關(guān)，是時(shí)比高階的無(wú)窮小，那么稱(chēng)在處可微，并把中的主要線性局部稱(chēng)為在處的微分，記以或。我們定義自變量的微分就是。5微分的幾何意義是曲線在點(diǎn)處相應(yīng)于自變量增量的縱坐標(biāo)的增量，微分是曲線在點(diǎn)處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量見(jiàn)圖。6可微與可導(dǎo)的關(guān)系在處可微在處可導(dǎo)。且一般地，那么所以導(dǎo)數(shù)也稱(chēng)為微商，就是微分之商的含義。7高階導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處仍是可導(dǎo)的，那么把在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)

3、為在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記以，或，或等，也稱(chēng)在點(diǎn)處二階可導(dǎo)。如果的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱(chēng)為的階導(dǎo)數(shù)，記以，等，這時(shí)也稱(chēng)是階可導(dǎo)。二、導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算1導(dǎo)數(shù)與微分表略2導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法那么1四那么運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式2反函數(shù)求導(dǎo)公式3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式4隱函數(shù)求導(dǎo)法那么5對(duì)數(shù)求導(dǎo)法6用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式乙典型例題一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)例 設(shè)，其中在處連續(xù)，求解：二、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性例1 設(shè)函數(shù)試確定、的值，使在點(diǎn)處可導(dǎo)。解：可導(dǎo)一定連續(xù)，在處也是連續(xù)的。由要使在點(diǎn)處連續(xù)，必須有或又要使在點(diǎn)處可導(dǎo)，必須，即.故當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處可導(dǎo).例2 設(shè)，問(wèn)和為何值時(shí)，可導(dǎo)，且求解：時(shí)，時(shí)， 由處連續(xù)性，可

4、知再由處可導(dǎo)性，存在存在且根據(jù)洛必達(dá)法那么，于是三、運(yùn)用各種運(yùn)算法那么求導(dǎo)數(shù)或微分例1 設(shè)可微，求解：例2 設(shè)，求解： 對(duì)求導(dǎo)，得再令，對(duì)求導(dǎo)， 于是 例3 設(shè)由方程所確定，求解：兩邊取對(duì)數(shù)，得，對(duì)求導(dǎo)，例4 設(shè) 求解：四、求切線方程和法線方程例1 兩曲線與在點(diǎn)0，0處的切線一樣，寫(xiě)出此切線方程，并求。解：由條件可知，故所求切線方程為例2 曲線的極坐標(biāo)方程，求曲線上對(duì)應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程。解：曲線的參數(shù)方程為故切線方程即法線方程 即 例3 設(shè)為周期是5的連續(xù)函數(shù)，在鄰域內(nèi)，恒有。其中，在處可導(dǎo)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程。解：由題設(shè)可知，故切線方程為 所以關(guān)鍵是求出和 由連續(xù)性 由所給

5、條件可知， 再由條件可知令，又 上式左邊=那么所求切線方程為 即 五、高階導(dǎo)數(shù)1求二階導(dǎo)數(shù)例1 設(shè)，求解：例2 設(shè) 求 解：例3 設(shè)由方程所確定，求解：，2求階導(dǎo)數(shù)，正整數(shù)先求出，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫(xiě)出，最后用歸納法證明。有一些常用的初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式12345兩個(gè)函數(shù)乘積的階導(dǎo)數(shù)有萊布尼茲公式其中，假設(shè)和都是階可導(dǎo)例1 設(shè)正整數(shù)，求正整數(shù)解：例2 設(shè)，求 正整數(shù)解：例3 設(shè)，求正整數(shù)解：例4 設(shè)，求正整數(shù)解：例5 設(shè)，求正整數(shù)解：用萊布尼茲公式§2.2 微分中值定理本節(jié)專(zhuān)門(mén)討論考研數(shù)學(xué)中經(jīng)?？嫉乃拇蠖ɡ恚毫_爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理泰勒公式。注：數(shù)學(xué)三不考泰

6、勒定理，數(shù)學(xué)四不考泰勒定理這局部有關(guān)考題主要是證明題，其中技巧性比擬高，因此典型例題比擬多，討論比擬詳細(xì)。甲內(nèi)容要點(diǎn)一、羅爾定理設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足1在閉區(qū)間上連續(xù)；2在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；3那么存在，使得幾何意義：條件1說(shuō)明曲線在和之間是連續(xù)曲線；包括點(diǎn)A和點(diǎn)B。條件2說(shuō)明曲線在之間是光滑曲線，也即每一點(diǎn)都有不垂直于軸的切線不包括點(diǎn)和點(diǎn)。條件3說(shuō)明曲線在端點(diǎn)和處縱坐標(biāo)相等。結(jié)論說(shuō)明曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間不包括點(diǎn)和點(diǎn)至少有一點(diǎn)，它的切線平行于軸。二、拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足1在閉區(qū)間上連續(xù)；2在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)那么存在，使得或?qū)懗捎袝r(shí)也寫(xiě)成這里相當(dāng)或都可以，可正可負(fù)。幾何意義：條件1說(shuō)明曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間包括點(diǎn)和點(diǎn)是連

7、續(xù)曲線：條件2說(shuō)明曲線不包括點(diǎn)和點(diǎn)是光滑曲線。結(jié)論說(shuō)明：曲線 在，之間不包括點(diǎn)和點(diǎn)，至少有點(diǎn)，它的切線與割線是平行的。推論1假設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在內(nèi)為常數(shù)。推論2 假設(shè)和在內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在，其中為一個(gè)常數(shù)。注：拉格朗日中值定理為羅爾定理的推廣，當(dāng)特殊情形，就是羅爾定理三、柯西中值定理設(shè)函數(shù)和滿(mǎn)足：1在閉區(qū)間，上皆連續(xù)；2在開(kāi)區(qū)間，內(nèi)皆可導(dǎo)；且，那么存在使得注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理幾何意義：考慮曲線的參數(shù)方程點(diǎn)，點(diǎn)曲線在上是連續(xù)曲線，除端點(diǎn)外是光滑曲線，那么在曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于割線. 值得注意：在數(shù)學(xué)理論上，拉格朗日

8、中值定理最重要，有時(shí)也稱(chēng)為微分學(xué)根本定理。羅爾定理看作拉格朗日中值定理的預(yù)備定理，柯西中值定理雖然更廣，但用得不太多。在考研數(shù)學(xué)命題中，用羅爾定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是較少。四、泰勒定理泰勒公式數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二定理1帶皮亞諾余項(xiàng)的階泰勒公式設(shè)在處有階導(dǎo)數(shù)，那么有公式 其中 稱(chēng)為皮亞諾余項(xiàng)。前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不同情形取適當(dāng)?shù)模詫?duì)常用的初等函數(shù)如和為實(shí)常數(shù)等的階泰勒公式都要熟記。定理2 帶拉格朗日余項(xiàng)的階泰勒公式設(shè)在包含的區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)，有公式其中，在與之間稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)。上面展開(kāi)式稱(chēng)為以為中心的階泰勒公式。時(shí)，

9、也稱(chēng)為麥克勞林公式。 如果，那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒級(jí)數(shù)，這在后面無(wú)窮級(jí)數(shù)中再討論。乙典型例題一、用羅爾定理的有關(guān)方法例1 設(shè)在0，3上連續(xù)，在0，3內(nèi)可導(dǎo)，且，.試證：必存在，使 證： 在0，3上連續(xù)， 在0，2上連續(xù)，且有最大值和最小值.于是；，故. 由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)使得，因此，且在，3上連續(xù)，3內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在使得。例2 設(shè)在0，1上連續(xù)，0，1內(nèi)可導(dǎo)，且求證：存在使證：由積分中值定理可知，存在，使得得到 對(duì)在0，c上用羅爾定理，三個(gè)條件都滿(mǎn)足故存在，使例3 設(shè)在0,1上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)任意，有，求證存在使證：由積分中值定理可知存在使得令，可知這

10、樣，對(duì)在上用羅爾定理三個(gè)條件都滿(mǎn)足存在，使而 又，那么 在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對(duì)用羅爾定理，否那么結(jié)論只是，而且條件也不滿(mǎn)足。因此如何構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，它與有關(guān)，而且滿(mǎn)足區(qū)間上羅爾定理的三個(gè)條件，從就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個(gè)適宜的是非常關(guān)鍵，下面的模型，就在這方面提供一些選擇。模型：設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，那么以下各結(jié)論皆成立。1存在使為實(shí)常數(shù)2存在使為非零常數(shù)3存在使為連續(xù)函數(shù)證：1令，在上用羅爾定理存在使 消去因子，即證.2令，在上用羅爾定理 存在使 消去因子，即證。3令，其中 由 清去因子，即證。例4 設(shè)在上連續(xù)，在0，1內(nèi)可導(dǎo)，試證

11、： 1存在，使。2對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在，使得證明：1令，顯然它在0, 1上連續(xù)，又，根據(jù)介值定理，存在使即2令，它在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，故存在，使，即從而注：在例42的證明中，相當(dāng)于模型中1的情形，其中取為，取為模型：設(shè)，在上皆連續(xù)，內(nèi)皆可導(dǎo)，且，那么存在，使證：令，那么，顯然在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，那么存在，使，即證.例5 設(shè)在0, 1上連續(xù)，0, 1內(nèi)可導(dǎo)，為正整數(shù)。 求證：存在使得 證：令，那么，用模型，存在使得故那么例6 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)的零點(diǎn) 證：反證法：設(shè)，而在，那么令在上用羅爾定理不妨假設(shè)否那么結(jié)論已經(jīng)成立那么存在使，得出與假設(shè)條件矛盾。所以在至少

12、有一個(gè)零點(diǎn)例7 設(shè)在二階可導(dǎo)，且，又 求證：1在； 2存在，使 證：1用反證法，如果存在使，那么對(duì)分別在和上用羅爾定理，存在使，存在使，再對(duì)在上用羅爾定理存在使與假設(shè)條件矛盾。所以在2由結(jié)論可知即，因此令，可以驗(yàn)證在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，滿(mǎn)足羅爾定理的三個(gè)條件故存在，使于是成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且， 求的值解：由條件易見(jiàn)，由拉格朗日中值定理，有其中介于與之間，那么于是，那么例2 設(shè)是周期為1的連續(xù)函數(shù)，在0，1內(nèi)可導(dǎo)，且，又設(shè)是在1，2上的最大值，證明：存在，使得。 證：由周期性可知，不妨假定而，對(duì)分別在1, 和, 2上用拉格朗日中值定理， 存在，使得 存在，使

13、得 如果，那么用式，得；如果，那么用式，得；因此，必有，使得例3 設(shè)在0, 1上連續(xù)，0, 1內(nèi)可導(dǎo)，且，證明： 存在，使得 存在，使證：令，那么在0, 1上連續(xù)，且，用介值定理推論存在，使，即 在0, 和，1上對(duì)用拉格朗日中值定理，存在，使得存在，使例4 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，假設(shè)極限存在，證明： 1在； 2在內(nèi)存在，使； 3在內(nèi)存在與2中相異的點(diǎn)，使證：1因?yàn)榇嬖?，故，由在上連續(xù)，從而. 又知在內(nèi)單調(diào)增加，故2設(shè)， 那么，故，滿(mǎn)足柯西中值定理的條件，于是在內(nèi)存在點(diǎn)，使，即 3因，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在內(nèi)存在一點(diǎn)，使，從而由2的結(jié)論得， 即有.三、泰勒公式數(shù)學(xué)一和

14、數(shù)學(xué)二例1 設(shè)在-1，1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，. 求證：，使. 證：麥克勞林公式 其中，介于0與之間。 后式減前式，得在上連續(xù)，設(shè)其最大值為，最小值為.那么再由介值定理，使例2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，試證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使成立。分析：因所欲證的是不等式，故需估計(jì)，由于一階泰勒公式，其中在之間含有，因此應(yīng)該從此入手. 再由知，應(yīng)在兩個(gè)區(qū)間上分別應(yīng)用泰勒公式，以便消去公式中的項(xiàng)，同時(shí)又能出現(xiàn)項(xiàng).證：在與上分別用泰勒公式，便有.兩式相減，得.所以至少存在一點(diǎn)，使得§2.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用甲內(nèi)容要點(diǎn)一、判斷函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值1、定義 設(shè)函數(shù)內(nèi)有定義，是內(nèi)的某一點(diǎn)，那么 如

15、果點(diǎn)存在一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，總有，那么稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)極大值，稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)； 如果點(diǎn)存在一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，總有，那么稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)極小值，稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)。 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)極值。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)極值點(diǎn)。2、必要條件可導(dǎo)情形 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且為的一個(gè)極值點(diǎn)，那么 我們稱(chēng)滿(mǎn)足的為的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，反之不然。 極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步去判斷。3、第一充分條件 設(shè)在處連續(xù)，在0<內(nèi)可導(dǎo)，不存在，或0 如果在內(nèi)的任一點(diǎn)x處，有，而在內(nèi)的任一點(diǎn)x處，有，那么為極大值，為極大值點(diǎn)； 如果在內(nèi)的

16、任一點(diǎn)x處，有，而在內(nèi)的任一點(diǎn)x處，有，那么為極小值，為極小值點(diǎn)； 如果在內(nèi)與內(nèi)的任一點(diǎn)x處，的符號(hào)一樣，那么不是極值，不是極值點(diǎn)4、第二充分條件設(shè)函數(shù)在處有二階導(dǎo)數(shù)，且，那么當(dāng) ，為極大值，為極大值點(diǎn)當(dāng) ，為極小值，為極小值點(diǎn)三、函數(shù)的最大值和最小值1求函數(shù)在上的最大值和最小值的方法。首先，求出在內(nèi)所有駐點(diǎn)，和不可導(dǎo)點(diǎn)。其次計(jì)算最后，比擬，其中最大者就是在上的最大值；其中最小者就是在上的最小值。2最大小值的應(yīng)用問(wèn)題首先要列出應(yīng)用問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)及其考慮的區(qū)間，然后再求出目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大小值。四、凹凸性與拐點(diǎn)1凹凸的定義設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，假設(shè)對(duì)任意不同的兩點(diǎn)，恒有 ，那么稱(chēng)在上是凸凹的2曲線上凹與凸的分界點(diǎn)，稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)。五、漸近線及其求法六、函數(shù)作圖七、曲率乙典型例題一、證明不等式例1求證：當(dāng)時(shí)，證：令只需證明時(shí)，易知，由于的符號(hào)不易判斷，故進(jìn)一步考慮，再考慮于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由此可見(jiàn)，是的最小值。由于，這樣時(shí)，單調(diào)增加又因?yàn)?，所以時(shí)，；時(shí)，。再由，可知時(shí)，；時(shí)，這樣證明了時(shí)，。證二：令自己思考證三：令自己思考例2 設(shè)，求證：證：令那么于是可知在時(shí)單調(diào)增加，又，時(shí)，這樣單調(diào)增加。因此，時(shí)，得證。例3 設(shè)，證明證一：對(duì)函數(shù)在上用拉格朗日中值定理 再來(lái)證明在時(shí)單調(diào)減少?gòu)亩?，即故證二：設(shè)，那么當(dāng)