(完整word版)圓錐曲線常用結(jié)論

1、圓錐曲線常用結(jié)論（自己選擇）一、橢圓1. 點 P 處的切線 PT平分 PF1F2 在點 P 處的外角 .2. PT 平分 PF1F2 在點 P處的外角， 則焦點在直線 PT 上的射影 H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點 .3. 以焦點弦 PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相離 .4.以焦點半徑PF1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切 .5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓x2y2x0 xy0 y1.ab21上，則過 P0 的橢圓的切線方程是b22a26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓x2y21外 ，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點a2b2弦 P

2、P 的直線方程是x0 xy0 y1.12a2b2橢圓 x2y27.1(a b 0) 的左右焦點分別為F1 ， F 2 ，點 P 為橢圓上任意一點a2b2F1 PF2，則橢圓的焦點角形的面積為SFPF2b2 tan .12橢圓 x2y28.1（ a b 0）的焦半徑公式：a2b2|MF1 |aex0 ,|MF2 |aex0 (F1 ( c,0), F2 (c,0)M ( x0 , y0 ) ).9.設(shè)過橢圓焦點F 作直線與橢圓相交P 、 Q兩點， A 為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F 的橢圓準(zhǔn)線于 M、 N兩點，則 MF NF.10.過橢圓一個焦點F 的直線與橢圓交于兩點

3、P、Q, A 、 A 為橢圓長軸上的頂點，AP和 AQ1212交于點 M， A2P 和 A1Q交于點 N，則 MFNF.11.x2y21的 不 平 行 于 對 稱 軸 的 弦 ， M(x0 , y0 ) 為 AB 的 中 點 ， 則AB是橢圓2b2akOMk ABb2a2 ，即KABb2 x0。a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 )x2y 21內(nèi)，則被Po在 橢 圓b2所平分的中點弦的方程是a2x0 x y0 yx02y0 2a2b2a2b2 .13.若 P0 ( x0 , y0 )在 橢 圓 x2y21內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是a2b2第 1頁，共 8頁x2y2x0 xy0

4、ya22a2b2 .b二、雙曲線1. 點 P 處的切線 PT 平分 PF1F2 在點 P 處的 內(nèi)角 .2. PT平分 PF1F2 在點 P 處的內(nèi)角，則焦點在直線 PT 上的射影 H 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點 .3. 以焦點弦 PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相交 .4.以焦點半徑PF1 為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切 . （內(nèi)切： P 在右支；外切：P 在左支）5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線x2y21（ a 0,b 0）上，則過 P0 的雙曲線的切線方程a2b2是 x0 xy0 y1.a2b26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線x2y21（

5、a 0,b 0）外 ，則過 Po 作雙曲線的兩條切a2b2x0 xy0 y線切點為 P 、P ，則切點弦P P 的直線方程是1.1212a2b27.雙曲線x2y21（ a 0,b o）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點 P 為雙曲線上任意a2b2一點F1PF2，則雙曲線的焦點角形的面積為S F1 PF2b2co t.28.雙曲線x2y21 （a 0,b o）的焦半徑公式： ( F1( c,0),F2 (c,0)a2b2當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在右支上時， | MF1 | ex0a ,|MF2|ex0a .當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在左支上時， | MF1 |ex0a , | MF

6、2 |ex0a9.設(shè)過雙曲線焦點F 作直線與雙曲線相交P 、Q兩點， A 為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié) AP 和 AQ分別交相應(yīng)于焦點F 的雙曲線準(zhǔn)線于M、 N兩點，則 MF NF.10.過雙曲線一個焦點F 的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2 為雙曲線實軸上的頂點，A P和 A Q交于點M， A P 和 A Q交于點 N，則 MF NF.122111.AB 是雙曲線x2y21 （ a 0,b 0）的不平行于對稱軸的弦，M( x0 , y0 ) 為 ABa2b2b2 x0b2 x0的中點，則 K OMK AB，即 KAB。a 2 y0a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙

7、曲線 x2y21（ a 0,b 0）內(nèi)，則被Po 所平分的中點弦的a2b2方程是x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .第 2頁，共 8頁13.若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線x2y2Po 的弦中點的軌跡方a2b2 1（ a 0,b 0）內(nèi)，則過x2y2程是x0 xy0 ya2b2a2b2 .橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)- （會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢圓1.橢圓 x2y21（ a b o）的兩個頂點為 A1 (a,0) ,A2 (a,0) ，與 y 軸平行的直a2b2線交橢圓于P、P 時 AP 與 AP 交點的軌跡方程是x2y21.121122a2b2過橢圓 x2y22.1 (a 0

8、, b 0) 上任一點 A(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補的直a2b2線交橢圓于 B,C 兩點，則直線BC有定向且 kBCb2 x0（常數(shù)） .a2 y03.若 P 為橢圓 x2y21 （ a b 0）上異于長軸端點的任一點,F1,F 2 是焦點 ,a2b2PF1 F2,PF2 F1accot.，則tan2ac22 24. 設(shè)橢圓 xy 1（ ab 0）的兩個焦點為 F1、F2,P （異于長軸端點）為橢圓上2 b2a任意一點，在PF1F2 中，記F1PF2,PF1F2, F1 F2 P，則有since .sinsina5.若橢圓 x2y21（ a b0）的左、右焦點分別為F1、F2，

9、左準(zhǔn)線為L，則當(dāng) 0a2b2e21時，可在橢圓上求一點P，使得 PF1 是 P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d 與 PF2 的比例中項 .6.P 為橢圓x2y21（ a b0）上任一點 ,F 1,F 2 為二焦點， A 為橢圓內(nèi)一定點，a2b2則 2a|AF2|PA|PF1|2a| AF1 | , 當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點共線時，等號成立.7.橢圓 (xx0 ) 2( yy0 ) 21 與直線 AxByC0 有公共點的充要條件是a2b2A2 a2B2b2( Ax0By0C)2.第 3頁，共 8頁8.已知橢圓 x2y2（ a b 0），O為坐標(biāo)原點， P、Q為橢圓上兩動點， 且OPOQ.a2b21

10、4a2b2（1）1111 ;（ 2）|OP|2+|OQ| 2的最大值為;（ 3）S OPQ|OP |2|OQ |2a2b2a2b2a2 b2的最小值是 a2b2 .9.過橢圓 x2y21（ a b0）的右焦點F 作直線交該橢圓右支于M,N 兩點，弦a2b2x 軸于 P，則 | PF |e .MN的垂直平分線交|MN |210.已知橢圓 x2y21（ a b 0） ,A 、B、是橢圓上的兩點， 線段 AB 的垂直平分a2b2a2b2a2b2線與 x軸相交于點 P( x0 ,0) ,x0則a.a11.設(shè) P 點是橢圓x2y21（ a b0）上異于長軸端點的任一點12a2b2,F 、 F 為其焦點記

11、 F1PF2，則 (1)| PF1| PF2 |2b2.(2)S PF1 F22tan .cosb1212.設(shè) A、 B 是橢圓 x2y2 1（ a b 0 ）的長軸兩端點，P 是橢圓上的一點，PABa2b2,PBA,BPA， c、 e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) |PA |2ab 2 | cos|tan tan12S PAB2a2 b2.222.(2)e.(3)22 cotac co sba13.已知橢圓 x2y21（ a b 0）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點 E ，過橢圓右焦點 Fa2b2的直線與橢圓相交于A、 B 兩點 , 點 C 在右準(zhǔn)線 l 上，且 BCx 軸，則直線AC

12、 經(jīng)過線段 EF 的中點 .14.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直 .16.橢圓焦三角形中, 內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)第 4頁，共 8頁e( 離心率 ).（注 : 在橢圓焦三角形中, 非焦頂點的內(nèi)、 外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點 . ）17. 橢圓焦三角形中 , 內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中 , 半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.雙曲線1.雙曲線 x2y2 1（ a0,

13、b 0）的兩個頂點為 A1(a,0) ,A2 (a,0) ，與 y 軸a2b2x2y2平行的直線交雙曲線于P1、P2 時 A1 P1 與 A2P2 交點的軌跡方程是1.a2b22.過雙曲線 x2y21（ a 0,b o）上任一點 A( x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互a2b2b2x0 （常數(shù)） .補的直線交雙曲線于B,C 兩點，則直線 BC有定向且kBCa2 y03.若 P 為雙曲線x2y21（a 0,b 0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F 1,a2b2F2是焦點,PF1F2,PF2 F1cacot， 則ctan（ 或caa22co t）.ctana224.x2y21 （a 0,b

14、0）的兩個焦點為F1、F2,P （異于長軸端點）設(shè)雙曲線2b2a為雙曲線上任意一點，在PF1F2中 ， 記F1PF2,PF1F2,F1F2Psinc，則有sin)e.(sina5.x2y21（ a 0,b 0）的左、右焦點分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為 L，若雙曲線2b2a則當(dāng) 1 e2 1時，可在雙曲線上求一點P，使得 PF1 是 P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d 與 PF2的比例中項 .6.P 為雙曲線 x2y21 （a 0,b0）上任一點 ,F 1,F 2 為二焦點， A 為雙曲線a2b2內(nèi)一定點，則|AF2|2a|PA | PF1 | , 當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點共線且P 和第 5頁，共

15、8頁A, F2 在 y 軸同側(cè)時，等號成立 .7.雙曲線 x2y21（ a 0,b 0）與直線 AxByC0有公共點的充要條a2b2件是 A2 a2B2b2C 2 .8.已知雙曲線 x2y21（ ba 0），O為坐標(biāo)原點， P、Q為雙曲線上兩動點，a2b2且 OPOQ .1111224a2b2（1）22a22 ;（ 2）|OP|+|OQ|的最小值為b2a2 ;（3）S OPQ|OP |OQ|b的最小值是a2 b22 .2ab9.過雙曲線 x2y21 （ a 0,b 0）的右焦點F 作直線交該雙曲線的右支于a2b2M,N 兩點，弦 MN的垂直平分線交x 軸于 P，則 | PF |e .|MN |

16、210.已知雙曲線 x2y21（ a 0,b 0） ,A 、B 是雙曲線上的兩點，線段AB 的a2b2垂直平分線與x 軸相交于點 P( x0,0) ,則 x0a2b2或 x0a2b2a.a11.設(shè) P 點是雙曲線x2y21（ a 0,b 0）上異于實軸端點的任一點,F 1、 F2a2b2為其焦點記F1PF2，則(1)| PF1 | PF2 |2b2.(2)1 cosS PFFb2 cot .12212.設(shè) A、B 是雙曲線 x2y 21（a 0,b0）的長軸兩端點，P 是雙曲線上的PABa2b2一點，,PBA,BPA， c、 e 分別是雙曲線的半焦距離心率，則有 (1)|PA |2ab2 |c

17、os| .| a2c2co s2|(2)tantan12S2a2 b2.e.(3)PAB22 cotb a13.已知雙曲線 x2y21（a 0,b0）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點 E ，過雙曲a2b2線右焦點 F 的直線與雙曲線相交于A、B 兩點 , 點 C 在右準(zhǔn)線 l 上，且 BC x軸，則直線 AC經(jīng)過線段 EF 的中點 .14.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.第 6頁，共 8頁15.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中 , 外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù) e( 離心率 ).( 注 : 在雙曲線焦三角形中, 非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).17.雙曲線焦三角形中, 其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中 , 半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式：AB1 k 2 x1 x2112 y1 y2k2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(A,B 不同時為 0) 的形式。3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為( 它不適用于斜率為0的直線)與直