各類(lèi)函數(shù)求導(dǎo)法Word版

1、§2.2 各類(lèi)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法一、復(fù)合函數(shù)的微分法設(shè)有函數(shù)，且在點(diǎn)可導(dǎo)，在相應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且或?qū)憺?。 此求導(dǎo)法則稱(chēng)為連式法則，可推廣到多個(gè)函數(shù)的情況?！咀⒁狻看私Y(jié)論反過(guò)來(lái)不成立。例如：，則在處，可導(dǎo)，但可導(dǎo)，不可導(dǎo)。，則在處，可導(dǎo)，但，都不可導(dǎo)。 例2.1 若，則 。解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得：。例2.2 若，則 。解：先求出的具體表達(dá)式，再求導(dǎo)。則 。例2.3 設(shè)，求。解：。二、參數(shù)方程的微分法29 / 7設(shè)，均為二階導(dǎo)數(shù)，且，求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)；Þ例2.4設(shè)，求。解：，。例2.5設(shè)，求，解：，； 。例2.6 設(shè)，求。解：當(dāng)，當(dāng)，。

2、；故 。三、隱函數(shù)的微分法由二元方程所確定的函數(shù)稱(chēng)為y是變量x的隱函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可按如下方法求出：牢記y是變量x的函數(shù)，方程兩邊按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連式法則，對(duì)x求導(dǎo)。注意：如 ，都是x的復(fù)合函數(shù)。例2.7 設(shè)函數(shù)是由方程確定，求。解：先求，再求。方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：，Þ，。例2.8 設(shè)函數(shù)是由所確定，求。解：由得，由得，所以，。從而 ，故 。四、冪指函數(shù)微分法，方法1：利用等式化 Þ =方法2：取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：兩邊取對(duì)數(shù)化為隱函數(shù)：，然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo)數(shù)。例2.9 設(shè)函數(shù)是由方程確定，求。解：，兩邊同時(shí)對(duì)對(duì)x求導(dǎo)，得Þ。五、多因子函數(shù)的積、商、乘方、開(kāi)方形式的

3、微分法方法：兩邊取對(duì)數(shù)化為隱函數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo)數(shù)。例2.10 設(shè)，求。解：先將表達(dá)式寫(xiě)成指數(shù)冪的形式：取對(duì)數(shù)得，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，六、分段函數(shù)的微分法 各區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)數(shù)的求法與一般所講的導(dǎo)數(shù)求法無(wú)異，關(guān)鍵是函數(shù)分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定要用定義來(lái)求。例2.11 設(shè)函數(shù)（1）寫(xiě)出的反函數(shù)的表達(dá)式；（2）是否有間斷點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)，若有，指出這些點(diǎn)。解：（1）=，（2），故在連續(xù)，類(lèi)似地，在連續(xù)，即在定義域內(nèi)無(wú)間斷點(diǎn)，處處連續(xù)。在處，即在處可導(dǎo)。在處，；故在在處不可導(dǎo)。例2.12 設(shè)函數(shù)，可導(dǎo)，求的導(dǎo)數(shù)。解：討論在處的導(dǎo)數(shù)。=當(dāng)時(shí)，函數(shù)是可導(dǎo)的。故 七、高階導(dǎo)數(shù)1高階導(dǎo)數(shù)的定義定義 如果函數(shù)的一階

4、導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，便稱(chēng)此導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為，即函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為的二階導(dǎo)數(shù)，記為或，即，還可記為，即。的一階導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為的三階導(dǎo)數(shù)，記為或或的一階導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為的四階導(dǎo)數(shù)，記為或或的一階導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為的n階導(dǎo)數(shù)，記為或或2高階導(dǎo)數(shù)公式 ； 萊布尼茨公式：若，均n階可導(dǎo)，則，其中，。3高階導(dǎo)數(shù)的求法：(1) 直接法：所謂直接法是指求出所給函數(shù)的13階或4階導(dǎo)數(shù)后，分析所得的結(jié)果的規(guī)律性，從而寫(xiě)出n階可導(dǎo)的方法。例2.13 已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，求。解：， ， 由歸納法易得：。（2）間接法：利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過(guò)四則運(yùn)算，變量代換等方法，達(dá)到將給定的函數(shù)求出n階導(dǎo)數(shù)的方法。 分式有理函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)【解題方法】1o 先將有理假分式通過(guò)多項(xiàng)式的除法化為整式與有理真分式之和；2o 在將有理真分式寫(xiě)成部分分式之和；3o 仿照的表達(dá)式寫(xiě)出有理函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。例2.14 設(shè)，求。解： =0+ =。 由，（為自然數(shù)）的和、差、積所構(gòu)成的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)【解題方法】利用三角函數(shù)中積化和差與倍角公式把函數(shù)的次數(shù)逐次降低，最后變?yōu)?，的和、差的形式，再利用公式：?寫(xiě)出函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。例2.15 設(shè)，求。解： =. 利用遞推公式求高階導(dǎo)數(shù)例2.16 設(shè)，求。解：Þ&#