概率統(tǒng)計知識點小結(jié)

1、第三章 二維隨機變量及其分布第一節(jié) 基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖2、重要公式和結(jié)論（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<

2、;b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1） f(x,y)0;（2） （2）二維隨機變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（X，Y）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時，有F（x2,y）F(x1,y);當(dāng)y2>y1時，有F

3、(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機變量的函數(shù)若X1,X

4、2,Xm,Xm+1,Xn相互獨立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 D1O 1 x圖3.1yD211 O 2 x圖3.2yD3dcO a b x圖3.3（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（由邊緣密度的

5、計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：對于連續(xù)型，fZ(z)兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個隨機變量相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布，記為W，其中所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可

6、加性：設(shè)則t分布設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機變量T服從自由度為t分布，記為Tt(n)。F分布設(shè)，且X與Y獨立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).例31 二維隨機向量（X，Y）共有六個取正概率的點，它們是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1·100020300p·j1例32： 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分

7、布，其中求X的邊緣密度fX(x)例33：設(shè)隨機變量X以概率1取值0，而Y是任意的隨機變量，證明X與Y相互獨立。例34：如圖3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不獨立。例35：f(x,y)=例36：設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，且XU（0，1），Ye（1），求Z=X+Y的分布密度函數(shù)fz(z)。例37：設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為而Y的概率密度為e(1)，求隨機變量U=的概率密度g(u)。第二節(jié) 重點考核點二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)、隨機變量的獨立性、簡單函數(shù)的分布第三節(jié) 常見題型1、二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)例38：如下四個二元函數(shù)，哪個

8、不能作為二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)？（A）（B）（C）（D）例39：設(shè)X與Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們均勻地分布在（0,）內(nèi)，試求方程t2+Xt+Y=0有實根的概率。例310：將一枚均勻硬幣連擲三次，以X表示三次試驗中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對值，求（X，Y）的聯(lián)合分布律。例311：設(shè)隨機變量，且，求例312：設(shè)某班車起點站上車人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0<p<1)，并且他們在中途下車與否是相互獨立的，用Y表示在中途下車的人數(shù)，求：二維隨機向量（X，Y）的概率分布。例313：設(shè)平面區(qū)域D是由與直線y=0,

9、x=1,x=e2所圍成（如圖3.15），二維隨機向量=（X，Y）在D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣分布密度在x=2處的值。例314：設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，在的條件下，隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，求() 隨機變量和的聯(lián)合概率密度；() 的概率密度； () 概率2、隨機變量的獨立性例315：設(shè)隨機變量X在1，2，3，4四個整數(shù)中等可能地取值，另一隨機變量Y在1X中等可能地取一整數(shù)值，試求（X，Y）的分布律，X，Y的邊緣分布律，并判斷獨立性。例316：設(shè)隨機變量X與Y獨立，并且P(X=1)=P(Y=1)=p，P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q，0<p<1。定義隨

10、機變量Z為問當(dāng)p取何值時，X與Z相互獨立？例317：設(shè)求：（1）A，B，C的值；(2) f(x,y);(3) f1(x),f2(y)(4) 判斷獨立性。例318：設(shè)（X，Y）的密度函數(shù)為試求：（1）X，Y的邊緣密度函數(shù)，并判別其獨立性；（2）（X，Y）的條件分布密度；（3）P（X>2|Y<4）.3、簡單函數(shù)的分布例319：設(shè)隨機變量相互獨立同B（1，0，4），求行列式的概率分布。例320：設(shè)隨機變量（X，Y）的分布密度為試求Z=X-Y的分布密度。例321：設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形G=（x,y）|1x3, 1y3上的均勻分布，試求隨機變量U=|X-Y|的概率密度f(u).例

11、322：設(shè)某型號的電子元件壽命（以小時計）近似服從N（160，202）分布，隨機選取4件，求其中沒有一件壽命小于180小時的概率。例323：對某種電子裝置的輸出測量了5次，得到的觀察值，設(shè)它們是相互獨立的變量，且都服從同一分布試求：的概率。例324：設(shè)相互獨立同N（0，22）分布，求常數(shù)a, b, c, d使服從分布，并求自由度m。例325：設(shè)隨機變量X與Y相互獨立同服從N（0，32）分布，以及是分別來自總體X，Y的樣本，求統(tǒng)計量的分布。例326：設(shè)隨機變量Xt(n)(n>1),求的分布。第四節(jié) 歷年真題數(shù)學(xué)一：1（87，6分）設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，其概率密度函數(shù)分別為求隨機變量Z=

12、2X+Y的概率密度函數(shù)。2（91，6分）設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為求隨機變量Z=X+2Y的分布函數(shù)。3（92，6分）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X服從正態(tài)分布，Y服從-，上均勻分布，試求Z=X+Y的概率分布密度（計算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示，其中。4（94，3分）設(shè)相互獨立的兩個數(shù)隨機變量X與Y具有同一分布律，且X的分布律為則隨機變量Z=maxX，Y的分布律為。5（95，3分）設(shè)X和Y為兩個隨機變量，且則。6（98，3分）設(shè)平面區(qū)域D由曲線，二維隨機變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，則（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為。7（99，3分）設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X和Y分

13、別服從正態(tài)分布N（0，1）和N（1，1），則（A）（B）（C）（D）8（99，8分）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。 Y X19（02，3分）設(shè)是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為，則（A）必為某一隨機變量的概率密度；（B）必為某一隨機變量的概率密度；（C）必為某一隨機變量的分布函數(shù)；（D）必為某一隨機變量的分布函數(shù)。10（03，4分）設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為則=。 11（05，4分） 從數(shù)1，2，3，4中任取一個數(shù)，記為，再從中任取一個數(shù)

14、，記為，則_。 12（05，4分） 設(shè)二維隨機變量的概率分布為 已知隨機事件與互相獨立，則（A） （B）（C） （D） （ ） 13（05，9分）設(shè)二維隨機變量的概率密度為 求：（I）的邊緣概率密度，； （II）的概率密度。 14（06，4分）設(shè)隨機變量與相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 _。 15（06，9分）隨機變量的概率密度為 令，為二維隨機變量的分布函數(shù)。 （I）求的概率密度 （II）數(shù)學(xué)三：1（90，3分）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，其概率分布為則下列式子正確的是：（A）（B）（C）（D）2（90，5分）一電子儀器由兩個部件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個部件的壽命（單位：千小時），已

15、知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為：（1） 問X和Y是否獨立？（2） 求兩個部件的壽命都超過100小時的概率。3（92，4分）設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為（1） 求X的概率密度求。4（94，8分）設(shè)隨機變量相互獨立且同分布，。求行列式的概率分布。5（95，8分）已知隨機變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為求（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。6（97，3分）設(shè)兩個隨機變量X與Y相互獨立且同分布，P（X=-1）=P（Y=-1）=，P（X=1）=P（Y=1）=，則下列各式成立的是（A）（B）（C）（D）7（98，3分）設(shè)分別為隨機變量X1與X2的分布函數(shù)。為使是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取（A

16、）（B）（C）（D）8（99，3分）設(shè)隨機變量且滿足（A）0（B）（C）（D）19（01，8分）設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布。試求隨機變量。10（03，13分）設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u)。 11（05，4）從數(shù)中任取一個數(shù)，記為，再從中任取一個數(shù)，記為，則 _。12（05，4分）設(shè)二維隨機變量的概率分布為 若隨機事件與互相獨立，則 _， _。 13（05，13分）設(shè)二維隨機變量的概率密度為 求：（I）的邊緣概率密度； （II）的概率密度； （III）. 14（06，4分）設(shè)隨機變量與相互獨立，且均服

17、從區(qū)間上的均勻分布，則_數(shù)學(xué)四：1（90，6分）甲、乙兩人獨立地各進(jìn)行兩次射擊，設(shè)甲的命中率為0.2，乙的命中率為0.5，以X和Y分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求（X，Y）的聯(lián)合概率分布。2（93，3分）設(shè)隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布，XN（，42），YN（，52），記p1=PX-4， p2=PY+5，則（A） 對任何實數(shù)，都有p1=p2。（B） 對任何實數(shù)，都有p1=p2。（C） 只對的個別值，才有p1=p2。對任何實數(shù)都有p1=p2。3（96，7分）設(shè)一電路裝有三個同種電氣元件，其工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時間都服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。當(dāng)三個元件都無故障時，電路正常工作，否則整個

18、電路不能正常工作。試求電路正常工作的時間T的概率分布。4（97，3分）設(shè)隨機變量服從參數(shù)為（2，p）的二項分布，隨機變量Y服從參數(shù)為（3，p）的二項分布，若PX0=，則PY1=。5（98，3分）設(shè)分別為隨機變量X1與X2的分布函數(shù)。為使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。ˋ）（B）（C）（D）6（99，9分）設(shè)二維隨機變量（X，Y）在矩形G=(X,Y)0x2,0y1上服從均勻分布，試求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度f(s)。7（99，8分）已知隨機變量X1和X2的概率分布而且P X1X2 =0=1。（1） 求X1和X2的聯(lián)合分布：（2） 問X1和X2是否獨立？為什么？8（02，3分）設(shè)X1和X2是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為。則（A）必為某一隨機變量的概率密度。 （B）必為某一隨機變量的分布函數(shù)。（C）必為某一隨機變量的分布函數(shù)。（D）必為某一隨機變量的概率密度。9（04，13分） 設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，在的條件下，隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，求()