不定積分ppt課件

1、一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念( )( )Fxf xF (x) 為為 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù). CxFxxf)(d)(。（內(nèi)容提要）（內(nèi)容提要）(1)dx xCxx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln) 1(4)e dxx Cex(5)dxax Caaxln。Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tanxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxdcos)6(xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxxdtanln cos xCxxdcotln sinxC。22dx

2、ax22dxxaxxdsecCxxtanseclncsc dx xln csccotxxC1ln2axCaax2d1xxCx arctan2d1xxCxarcsin22dxax1arctanxCaa22dxaxarcsinxCa22ln xxaC。)(d1)(d1dbxaaxaaxxxd1)(lndxxxd)(d2x21a21)(d2bax ) 1()(d11d1xxxxxade)e (d1xaa三、三、 常見湊微分常見湊微分。xaxdcos)(sind1axaxaxdsin)(cosd1axasec tan dxx x d(sec ) xxxd112)(arctandxxxd112)(arc

3、sindx一般地：一般地：xxfd)()(dxfxxdsec2)tan(dx。四、第二類換元法四、第二類換元法令令1. 被積函數(shù)含被積函數(shù)含令令axbtnaxbndaxbcxndaxbtcxn。2. 被積函數(shù)含被積函數(shù)含22xa 令令taxsin22xa 令令令令taxtantaxsec22ax cbxax2先配方，再作適當(dāng)變換先配方，再作適當(dāng)變換(有時(shí)用倒代換有時(shí)用倒代換1xt簡單）。簡單）。)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110五、有理函數(shù)真分式的積分五、有理函數(shù)真分式的積分: nnnaxaxa110()nm分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解若分母含因式()kxa若分

4、母含既約因式2()kxpxq，則對應(yīng)的部分因式為122()()kkAAAxaxaxa，則對應(yīng)的部分因式為11222222()()kkkB xCB xCB xCxpxqxpxqxpxq。ddu vuvvu六. 分部積分公式分部積分公式duvu v xxxxande.dsinxxaxn.dcosxxaxnxxxndlnxxxdarctanxxxdarcsinxbxexadsinxbxexadcos注：下列題型用分部積分法；。不定積分（典型例題）（典型例題）221(sin)cos2()tanfxxx ，求221(sin)cos2()tanfxxx22cos12sin()sinxxx 2221 sin

5、12sinsinxxx 2212sinsinxx1( )2fxxx1(2 )dxxx2ln|xxC( )f x( )f x解：一、由 求( )f x( )fx例2在( )f x0,)上定義，在(0,)內(nèi)可導(dǎo)，( )g x在(,) 內(nèi)定義且可導(dǎo)，(0)(0)1fg0 x 時(shí)，( )f x( )32g xx( )fx( )1g x(2 )fx2( 2 )121gxx 求( )f x，( )g x的表達(dá)式.解:0 x 時(shí)，( )f x( )g x x1C( )fx()gx231x( )f x()gx32xxC1C 02C 2( )f x 21x( )g x 1x()gx31xx0 x 時(shí)，(2 )f

6、x2( 2 )121gxx 例2在( )f x0,)上定義，在(0,)內(nèi)可導(dǎo)，( )g x在(,) 內(nèi)定義且可導(dǎo)，(0)(0)1fg0 x 時(shí)，( )f x( )32g xx( )fx( )1g x(2 )fx2( 2 )121gxx 求( )f x，( )g x的表達(dá)式。答案：( )21, (0)f xxx31,0( )1,0 xxg xxxx2min,6dxxx分段函數(shù)不定積分的求法：(1) 各段分別積分，常數(shù)用不同 C1， C2 等表示；(2) 根據(jù)原函數(shù)應(yīng)該在分段點(diǎn)連續(xù)確定 C1、 C2 的關(guān)系，用同一個(gè)常數(shù) C 表示。二、分段函數(shù)求不定積分：例32min,6dxxx232y x6 y

7、 x2min,6xx26,2,236,3 xxxxxx解:2min,6dxxx2 x21162xxC23 x3213xC23162xxC3x2min,6dxxx2 x21162xxC23 x3213xC23162xxC3x在 2 x連續(xù)， 12 12C283C12223CC在 3x連續(xù)， 29C39182C32272 CC2321226,2231,2331276,322xxCxxCxxxCx 2min,6dxxx2()CC2max,1dxx2221max,11111xxxxxx 解2max,1dxx由 處連續(xù)，得：1x 2122311311113xCxxCxxCx 123222,33CCCC例

8、4( )f x定義在 R 上，(0)1f1,(0,1(ln ),(1,)xfxx x求( )f x。1,0( )e ,0 xxxf xx( )fx10 xex0 x( ) f x1xC0 x2e xC0 x(0)1f11C在 0 x連續(xù) 20C解：例5222d(1) (1)xaxbxxx的結(jié)果中，求常數(shù)a，b 的值，使不含反正切函數(shù)； 不含對數(shù)函數(shù)；僅含有理函數(shù)。例5222d(1) (1)xaxbxxx求 a, b , 使不含反正切函數(shù)；221(1)1xxxdxABExFln |1|Ax1Bx2d1Exxx2d1Fxxln |1|Ax1Bx2ln(1)2ExarctanFxC不含反正切函數(shù)0F

9、222d(1) (1)xaxbxxx2xaxbA2(1)(1)xxB2(1)x2(1)Ex x解：例5222d(1) (1)xaxbxxx求 a, b , 使不含反正切函數(shù)；221(1)1xxxdxABExF222d(1) (1)xaxbxxx不含反正切函數(shù)0F2xaxbA2(1)(1)xxB2(1)x2(1)Ex x32()(2 )()()A E xA BE xA E xA B0,21,A EA BEA Ea A Bb0,ab 任意例5222d(1) (1)xaxbxxx的結(jié)果中，求常數(shù)a，b 的值，使不含反正切函數(shù)； 不含對數(shù)函數(shù)；僅含有理函數(shù)。221(1)1xxxdxABExF222d(

10、1) (1)xaxbxxx 不含對數(shù)函數(shù)；0,A0,E1b僅含有理函數(shù)0,A0,E0,F1b0,a解：四、湊微分法：例6() ()dmaxbpxqx求(0)a 原式=()maxb()paxba pqbadx1()dmpaxbxa()pqba()maxbdx221()2mpaxba m()pqba11()(1)maxba mC(2,1) mm解：() ()dmaxbpxqx1()dmpaxbxa()pqba()maxbdx2 m時(shí)，原式=()pqba11a axbC2ln |paxba1 m時(shí)，原式=pxa()pqba1ln |axbaC例7sin222esindexxxxsin222esind

11、exxxxsin221 cos2ed2xxxxsin221e2xx1d(sin2 )2xxsin221ed(sin22 )4xxxxsin221e4xxC 解求例821 lnd(ln )xxxx求21 lnd(ln )xxxxdx1lnx2x2ln(1)xx21 lnxxln xx21ln(1)xxlnd()xx1ln1 Cxx解：例9241d1xxx求241d1xxx22211d1xxxx221d()1xx1xx211d()1()2xxxx22dxax1arctanxCaa11arctan22xxC解1例9241d1xxx求解2241d1xxx2221d(21)(21)xxxxxx22d21

12、21xxxxxAxBCxD222323()()2424AxBCxDxxdx22dxax1arctanxCaa煩！例10（自學(xué)）1 lnd(ln )lnxxxxx解1 lnd(ln )lnxxxxx21 lndlnln(1)xxxxxxxlnln(1)xxxxlnd()xx11d(1)tt t1d(1)tttt t 五、分部積分法分部積分法（被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積）例11ed1 exxxx原式=d(e )1 exxx2d( 1 e ) xx2() 1 exx1 e dxx1 e xt21 exx222d1tttt21 exx224d1ttt21 exx221 14d1 ttt解：例12ar

13、csinarccos dxx x2arcsinarccos(arccosarcsin ) 12xxxxxxx C原式=arcsin arccosxxx x2arccos1xx2arcsin1xxdxarcsin arccos xxx (arccosarcsin )xx2d( 1)xarcsin arccosxxx(arccosarcsin )xx21x21x221111xxdx解：例13( )df xxln(1)(ln )xfxx，求eln(1e )ln(1e ) xxxxC( ) f xln(1e )exx( )df xxln(1e )dexxxeln(1e )dxxxln(1e )d(e)

14、 xxeln(1e ) xx1d1exxeln(1 e )xx (1 e )ed1 exxxx解：例14lnd,()nx xnZ12lnln(1) lnnnnxxnxxn nxx1( 1)(1)2 lnnn nxx 0( 1)!nn IClnd nx xlnnxx1lndnnx xnI1nnIlnnxx遞推公式lnnxxn1lnnxx2(1) nnIlnnxx n1lnnxx2(1)nn nI0Ix解：六：三角代換 例15222(1)arcsind1xxxxx原式sinxt2sin t cost2(1 sin )ttcostdt2ddsinttt tt21d(cot )2 ttt21cotco

15、t d2 ttt tt21cotln |sin |2 ttttCtsinxtx121 x2211arcsinln|(arcsin )2 xxxxCx解：223d(2)xxx 例16原式2tanxt2(2tan2)t22tan t22secdtt32262tan2sec d8sectt tt242tand4secttt222sincos d4tt t22sin 2 d16t t2 1 cos4d162ttt2tanxtx222x解：例1782d(1)xxx 1xt分母含x的因子，分母x的最高次冪m與分子x的最高次冪n滿足：2mn原式1xt81t21dtt21(1)t82d1 ttt821 1d1

16、 ttt4221(1)(1)d1 tttt解：例182d221xxxx22dxxa22ln xxaC原式1xt1t21dtt2221tt0t2d22ttt2d(1)1 tt2ln1(1)1 ttC211ln11(1)Cxx (0)x解：2d0 ,221xxxxx211ln11(1)Cxx 八、sincosdmnxx x型（m，n為正負(fù)整數(shù)）化為 m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：(sin )d(sin )Rxxm，n均為偶數(shù)：降次(cos )d(cos )Rxxm，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：化為(tan )d(tan )Rxx(cot )d(cot )Rxx或或sincosdmnxx x化為m，n中至少一個(gè)

17、奇數(shù)：(sin )d(sin )Rxx(cos )d(cos )Rxx或例194sindcosxxx答案：3111 sinsinsinln321 sinxxxCx4sindcosxxx42sincosdcosxxxx42sind(sin )1 sinxxx42sin1 1d(sin )1 sin xxx解：sincosdmnxx x m，n均為偶數(shù)：降次例2024sincosdxx x1311(sin2sin4sin6 )164412xxxxC221sin 2 cosd4xx x1 1 cos4 1 cos2d422xxx1(1 cos2cos4cos4 cos2 )d16xxxxx原式1co

18、s coscos() cos()2積化和差公式：解：sincosdmnxx xm，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：化為(tan )d(tan )Rxx(cot )d(cot )Rxx或例2124dsin 2 cos 2xxx3111(2tan2tan 2 )2tan23xxCx24dsin 2 cos 2xxx242dtan 2 cos 2 cos 2xxxx421sec 2d(tan2 )2tan 2xxx2221(1+tan 2 )d(tan2 )2tan 2xxx解：九、sincosdsincospxqxxaxbx型（a，b，p，q為常數(shù)）解題方法： 求待定常數(shù)A，B，使sincossincos

19、pxqxaxbxsincosaxbx()A分母()B分母例224sin7cosd2sin3cosxxxxx2ln |2sin3cos | xxxC原式=2sin3cosxx(2sin3cos )xx2 ( 1)(2sin3cos )xxdx12d(2sin3cos )2sin3cosxxxxdx解：例23sin2d3sin2cos2xxxx（課外練習(xí)）十、兩項(xiàng)都難積分2ln1dlnxxx例24lnxCx一項(xiàng)用分部積分，產(chǎn)生另一項(xiàng)的相反項(xiàng)2ln1dlnxxx211ddlnlnxxxx1lnxx21lnxdx21dlnxx解：例2522e (tan1) dxxx2etanxxC22e (tan1)

20、 dxxx22e (tan2tan1)dxxxx22e (sec2tan )dxxxx222esecd2 etan dxxx xx x22ed(tan )2 etan dxxxx x2etanxx22etan dxx x22 etan dxx x解：例26221e () d1xxxx2e1xCx221e () d1xxxx22212ed(1)xxxxx22212eded1(1)xxxxxxx22212d(e )ed1(1)xxxxxx22222122ee ded1(1)(1)xxxxxxxxxx解：十一、含抽象函數(shù)的積分含抽象函數(shù)的積分例273( )dx fxx( )f x設(shè)的原函數(shù)是sinxx，求( )d f x