華南理工大學大物近的統(tǒng)考題

1、以下是四套近年的統(tǒng)考題，僅供參考.試卷(一)：一.填空題(共20分)1. 若A是6階方陣A的伴隨矩陣，且ran k(A)=4,則ran k(A*) =2.、口COSa設(shè)A =(si not-sin :cos：，則 A1003.設(shè)V二(Xi，X2X)t |2xi - X2 3x3 =0是R3的子空間，貝U V的維數(shù)是4.對稱矩陣A的全部特征值為4,-5,3,2,若已知矩陣AE為正定矩陣，則常數(shù)目必須大于數(shù)值0 005.已知n階矩陣A二-0,則矩陣A的逆是1 3+ .* .0100( )(A) 向量組可以由向量組線性表示；(B) 向量組，：k可以由向量組1,2,i,k線性表示；(C) 向量組 2J

2、k與向量組1宀廠，九可以相互線性表示；(D) 向量組 U,，：k與向量組1,2,/ k不能相互線性表示.4. 若遼是實對稱方陣A的兩個不同特征根，, 2是對應(yīng)的特征向量，則 以下命題哪一個不成立()(A)，1, 2都是實數(shù)；(B)一定正交；(C)2有可能是A的特征向量；(D)有可能是A的特征根.5. 已知A為n 1階方陣，且rank(A)二k,非齊次線性方程組AX二B的n -k 1個線性無關(guān)解為I,；,，丄，丄1,則Ax二B的通解為().(A)& i * C25 Jz ；(B) Ci 1- C2 ； Cn Jn 上'Cn A 1 nA 1 ；(C) Ci(i 一 n±

3、1)C2(2 一 nX1)CnX(n_kn -k 1)；(D) C1(1- n±1)C2(2 - nX1) 上仁上n_k1)，n_k1.三. 解下列各題(共25分)1. 若A為3階方陣，且A 1,求：AJ -A*2(1-1-1 -T-1 1 -1 -12. 設(shè)A =,求矩陣A2, An.-1 -1 1 -11-1 -1 -1 13. 計算向量-(-1,2, 4)t 在基：1 =(1,1,1)1 匕=(0,1,1)T,： 3 =(1,1,1)T 下的 坐標.4. 設(shè)向量組：i =(一2,1,0,3)丁，： 2 =(1,3,2,4)t,: 3 = (3,0,2,1)t,: 4 =(Z2,

4、4,6)t,求向量組的一個最大線性無關(guān)組(12 05.利用分塊矩陣方法,計算A二0、0的逆矩陣.,00 04四證明題（8分）設(shè)n維向量組二，,，："和向量組，：n有關(guān)系目 1 =0（2 +口3 +«n”再=旳+4 +«n| 十1*2川：；5問n維向量組1,2,，:n和向量組n是否同秩?證明你的結(jié)論2 2 2五 （8 分）二次型 f （x1, x2, x3,x4 2x13x23x32 x2x3 0,通過正交變換,可將此二次型化為標準形 f = %2 * 2y22 - 5y32,求參數(shù)、：及所用正交變換六. （8分）求線性方程組x1 - x2 - x3x4 = 0-x

5、2 -2x3 3x4% -x2 x3 -3x4 = 1的通解.七. （6分）解矩陣方程，并寫出解方程時初等矩陣的變換過程-40110 0X001=201八. （5分）設(shè)A是4階方陣,且A的特征根、，一，、，、互不相同,證明:（1）方陣A有四個線性無關(guān)的特征向量方陣A可以對角化試卷(二)：計算下列各題：(每小題6分，共30分)162 379225(1) 162 380 176 ,162 380180o(2 -1 ?(2) 求 2A2 +3A + E2,其中 A =<13丿(3) 已知向量組 r =(0,2,3)丁，：七=(2,3,3幾：3 =(-1,2,t)T 線性相關(guān),求 t.求向量：=

6、(-1,2,4)丁 在基：= (1,0,1)T,： 2 = (0,1,1)T,： 3 =(1，-2,1)丁 下的(12)設(shè)A =，求A的特征值.Q 5丿"03.(8 分)設(shè) A = 2 0e 010 ,且AB = AT +B,求矩陣B.2丿12 3a三.(8分)計算行列式：0 0 b 30 c 0 2x 0 01四. (8分)設(shè)有向量組：1 =(0,1,1,2,3)t,： 2 =(1,0,1,2,5)t,： 3 =(1,1,0,-2,-7)丁，： 4 =(3,3,2,0,-6)丁,求該向量組的秩以及它的一個最大線性無關(guān)組-10,=4,五. (8分)求下列方程組的通解以及對應(yīng)的齊次方程

7、組的一個基礎(chǔ)解系3x1 2x2 - x3 x4 - 4x5 c 2捲x2 +3x3 x4 +x57x1 5x3 - x4 - 2x5 二 18.六. (8 分)求出把二次型 f = a(x12 x22 x32) 2x1x2 2%x3 -2x2x3化為標準形的正交變換，并求出使f為正定時參數(shù)a的取值范圍.七. （10分）設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為3（二重根）、4（ 一重根）,宀=（1,2,2）T是A的屬于特征值4的一個特征向量，求A八. （10分）當a,b為何值時,方程組ax1 x2 x3 二 4,x2bx2 3x3 = 10,3bx2 3x3 二 2,有惟一解、無窮多解、無解？九. （10分

8、）（每小題5分,共10分）證明下列各題（1）設(shè)A是可逆矩陣，A B,證明B也可逆,且 B J. 設(shè)是非零n 1向量，證明是n n矩陣門T的特征向量.試卷（三）:一.填空題（每小題4分，共20分） q 01.已知正交矩陣P使得PtAP= 0 -1I。00 ，貝y PtA2006 (E +A)P =一2丿2 .設(shè)A為n階方陣，人，入為A的n個特征值，則det（A2 ）=.3 .設(shè)A是m n矩陣，B是m維列向量，則方程組 AX二B有無數(shù)多個解的充分必要條件是：.4 .若向量組:=(0,4,2)t/ =(2,3,1)t,=(t,2,3)T 的秩為 2,則 t 二15115. D(x) =x52-325

9、49x3 x5827則D（x） =0的全部根為:選擇題（每小題4分，共20分）1.行列式0-1-1000的值為（）.A. 1B. -1n(n 1)n(n 二)C.(-1) 2D.(-1)2. 對矩陣Amn施行一次行變換相當于().A.左乘一個m階初等矩陣B. 右乘一個m階初等矩陣C.左乘一個n階初等矩陣 D. 右乘一個n階初等矩陣3. 若 A 為 m n 矩陣，r(A)二 r : n, MX | AX =0,X Rn則().A. M是m維向量空間 B. M是n維向量空間C. M是m-r維向量空間D. M是n-r維向量空間4. 若n階方陣A滿足，A2=0,則下列命題哪一個成立().A. r(A)

10、 =0B.r(A)=n22 D.")與5.若A是n階正交矩陣，則下列命題哪一個不成立).A. 矩陣At為正交矩陣 B.矩陣A為正交矩陣C.矩陣A的行列式是一1 D.矩陣A的特征值是_1解下列各題(每小題6分,共30分)1.若A為3階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，求det(A*).2.計算行列式a1111a1111a1111a3.0 2 0 "設(shè) A= 2 00 AB=A-B,求矩陣 B.<0 0 1>4.求向量組：1 =(1,2,1,2)t, ： 2 =(1,0,1,2)t, ： 3 = (1,1,0,0)T, ： 4 = (1,1,2,4)t 的一個最大無關(guān)組

11、.5. 求向量=(1,2,1)t 在基=(1,1,1)T/ =(0,1,1幾 =(1,-1,1)丁 下的坐標.四.(12分)求方程組x1 X2 _ 2x3 x4 x5 = 23xj -x2 2x3 7x4 3x5 = 2Xi ' 5x? -10X3 - 3X4 ' x 6的通解(用基礎(chǔ)解系與特解表示).五. (12分)用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出正交變換矩陣2 2f (Xi,X2,X3)=2XiX2 X2 X3 _2XiX3六. 證明題(6分)設(shè)1 =012,是線性方程組AX二1對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系， 是線性方程組AX 的一個解，求證i *廠*,線性無關(guān)

12、試卷(四):一.填空題(共20分)1. 設(shè)A是m n矩陣，B是m維列向量，則方程組AX二B有唯一解的充分必 要條件是：2. 已知E為單位矩陣，若可逆矩陣P使得2PAP PA2P =3E,則當E-A可 逆時,A3二3. 若 t 為實數(shù),則向量組 a =(0,4, t), B =(2,3,i),丫 =(t,2,3+t)的秩為：4. 若A為2009階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則| A* =n5. 設(shè)A為n階方陣，入1,入2, '入是A的n個特征根，則送A，=im選擇題(共20 分)1. 如果將單位矩陣E的第i行乘k加到第j行得到的矩陣為P(j,i(k),將矩陣Am n的第i列乘k加到第j

13、列相當于把A：A, 左乘一個 P(i,j(k); B ，右乘一個 P(i,j(k);C.左乘一個 P(j,i(k); D，右乘一個 P(j,i(k).2. 若A為mX n矩陣，B是m維非零列向量，r（A）二r : min m, n。集合M 二X : AX 二 B, X R,貝UM是n-r維向量空間,A, B, C都不對A, M是m維向量空間，BC, M是m-r維向量空間，DB, 若n階方陣A滿足 A2，3A=4E，則以下命題哪一個成立A , A 二 E ,B, r(A)訂(E)C. det A 二 detE ,D, r(A E) r( A - E)乞 nC,若A是2n階正交矩陣，則以下命題哪一

14、個一定成立：A,矩陣A Aa為正交矩陣，B ，矩陣2 A為正交矩陣C,矩陣A + A為正交矩陣，D ，矩陣A-A為正交矩陣1 1 1_1 _1 0D,如果n階行列式的值為-1,那么n的值可能為：-100A, 2007 ,B,2008C, 2009,D,2000三.判斷題（每小題4分，共12分）（1）對線性方程組的增廣矩陣做初等變換，對應(yīng)的線性方程組的解不變.（）（2）實對稱矩陣的特征值為實數(shù).（）（3）如果矩陣的行列式為零，那么這個矩陣或者有一行（列）的元素全為零,者有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例.（）四.解下列各題（每小題8分，共16分）i'5、1 .求向量P = | -1，在基口 1

15、I3丿£1、V0,°2 =1,口3 =1下的坐標n23IIIn '213IIIn2設(shè) A =231IIInIIIn*<234hib計算det A5110111、0五.（10分）求矩陣A =列向量組生成的子空間的一個標準正交基0101J001J六.證明題（6分）設(shè)A是m行n列矩陣,如果線性方程組 W 對于任意m維向量1都有解，證明A的秩等于m.七、（10分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出正交變換矩陣2 2 2f （x1 ,x2, x3） = 2x1 4x1x2 3x2 - 4x2x3 4x3 .八、（6分）設(shè)矩陣A，B都是正定矩陣，證明矩陣 A B也是正

16、定矩陣.試卷（五）:一. 填空題（每小題4分，共20分）1. 設(shè)A是m x n矩陣,那么A的秩不超過r的充分必要條件是 .2. 已知E為單位矩陣，若2A + A=3E ,則當E -A可逆時,A =.3. 若 向量組：一 （t,3t -2,-t-6）,亠（2,3,1）,=（t,1,3 t）的秩為 2時，t =.4. 若A為2009階正交矩陣,A*為A的伴隨矩陣,則| A* |=.5. 設(shè)A為n階方陣,工,，S是A的n個特征值,則nZ | 人 E AT |=.i ±二. 選擇題（每小題4分，共20分）1.如果將單位矩陣E的第i行乘k加到第j行得到的矩陣為P（j,i（k）,那么P（j,i（

17、k）的逆矩陣是:A, P(i,j(k)； B , P(i,j(-k);C P(j,i(k)； D , P(j,i(-k).2.若A為rnK n矩陣,r(A)=r= n,令集合 m 二X:AX=O, X Rn,則A, M是空集；B, M只含一個元素;C, M含有兩個以上元素D , A, B, C都不對3.若n階方陣A滿足2A -2A E =0 ,則以下命題哪一個成立A, A = E ,B,r(A) =r(E)C. det A 二 0 ,D,r(A E) r(A - E)乞 n4.若A,B都是n階對稱矩陣，則以下命題哪一個不一定成立:A,矩陣A + B為對稱矩陣，B，矩陣AB為對稱矩陣C,矩陣A3

18、為對稱矩陣，D，矩陣AB+BA為對稱矩陣00 10 .1 05.如果n（n>1）階行列式的第i行第j列元素的代數(shù)余子式的值為1 0 0-1,那么i+j-n的值：A,為 0,B，為1C,為 2,D，無法確定.三.判斷題（每小題4分，共12分）（1）對一個線性方程組做初等變換，線性方程組的解不變.（）（2）正交矩陣的特征值是實數(shù).（）（3）一個可逆矩陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣的乘積是正定的.（）四.解下列各題（每小題8分，共16分）1 .求單位向量：，它在基rrV1宀2 =1衛(wèi)3 =0下的坐標向量也是P .naa1*1a、a1a1*1a2 設(shè)n階方陣A =aa11*1aIII<aaaHIb計算det A五.（10分）求矩陣A0 11 01 1J 0的逆矩陣.六. 證明題（6分）設(shè)代B是m行n列矩陣,證明rank（A - B）乞rank （A） rank（B）.七、（6分）證明任何一個方陣都可以表為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和八、（10分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出該正交變換所對應(yīng)的正 交變換矩陣f（XX2，X3）=2x2 3X222-4x2