含參變量無窮積分的一致收斂性

1、含參變量無窮積分的一致收斂性論文摘要：本文通過含參變量無窮積分與函數(shù)級數(shù)之間的關系，歸納總結了 含參變量無窮積分的一致收斂性的判別法(柯西一致收斂準則、魏爾斯特拉 斯判別法、狄利克雷判別法等)及其性質關鍵詞：含參變量無窮積分一致收斂判別法七0oO無窮積分.f(x)dx與級數(shù)V Un的斂散概念、斂散判別法及其性質基本上anbo00是平行的，不難想到，含參變量無窮積分.f(x,y)dx與函數(shù)級數(shù)Un x之間a心亦應如此，為了討論函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的分析性質，我們在收斂區(qū)域I上提 出了更高的要求，引進了一致收斂的概念，同樣，在討論含參變量無窮積分所確 定的函數(shù)的分析性質時，一致收斂同樣也起著重要的作

2、用.因此，含參變量無窮 積分的一致收斂性是數(shù)學分析中非常重要的知識點，也是學生不容易掌 握的難點，從而，我試著類比、總結得出含參變量無窮積分的一致收斂性的判 別法及其性質，以便使學生對此有一個更為系統(tǒng)和深刻的了解 1.含參變量無窮積分一致收斂的判別法我們很自然的可以想到運用定義來證明-bo定義 設- y 區(qū)間I ,無窮積分f x, y dx收斂,若- ； 0 , TA°（通arAr用）>0, -A>A）,有 | f（x,y）dx- f（x,y） dx |=| f （x, y）dx | ：；,則稱無窮積分aaA-bof x,y dx在區(qū)間I 一致收斂.a用定義證明一致收斂的

3、關鍵在于尋找只與:有關的共同的Ao，方法常常 是采取適當放大的方法.+二（a >0） 致收斂，而例1 1證明：無窮積分 yeydx在區(qū)間a，0在（0，+）上非一致收斂.證明Py e （0,畑），Jydx 令 t = xy edtln1對一；0,解不等式e判，有A一-yln1,取 A。二一-，則- AA0，有y-boJyedx v名，因此,-bo.yedx在（0, +二）是收斂的，但不能斷定是一致A收斂的,因為我們所找到的Ao不僅跟；有關，而且與y=，-A 0,2e-bo事實上，.yedx在廠（0/-）是非一致收斂的，只需取A但 yedxA彳 ' ''取 AAf h

4、（03，則 Jy/dx 十yFf，在a,址）一致收斂（其中a>0）,由不等式：y啟a,有eea,解不等式A Ao 時，對一切 y a, ：,有1 1 In 丄In ea ：；,有A ,于是取A。ayboJyeydx = ey Eea c 名，所以，A-boye»ydx在 y a, ：）（其中 a 0）一致收斂.A-bo此題中，我們還可以計算出.yeydx在（0：）上的收斂值.事實上，對0任意 y （0, ：），都有 yedxl-e* ，0所以，lim ye»ydx = lim （1 -）=1，-bo即yedx在（0，+：）收斂于1.0-bo定理1 2（柯西一致收斂準則

5、）無窮積分.f （x,y）dx在區(qū)間I 一致收斂a-；0, T A。 0, _A1 A0 與 A2 A°,y I,有A2J f （x, y）dx £ 名.A1定理2 3（魏爾斯特拉斯 M判別法）若B0, xB,-*1，有f(x,y)汀(x,y),且無窮積分 F x, ydx收斂，則無窮積分f x,ydx在區(qū)間I 一致收斂.aa該定理是判別某些無窮積分一致收斂性的很簡便的判別法，但這種方法有一定的局限性：凡能用定理2判別無窮積分是一致收斂，此無窮積分必然是絕對收斂；如果無窮積分時候一致收斂，同時又是條件收斂，那么就不能 用定理2來判別。對于這種情況，我介紹如下定理：定理3 2

6、丨若函數(shù)f (x, y)在 區(qū)間D(a _ x ： ：,y I ),(a0)連續(xù)，且xF(x, y) = jf (t,y)dt 在 D 有界，即 C0,-(x, y) D,a有 F(x, y)xff(t, y)dt <C,則當九0時，無窮積分a：f(x,y)adx.在區(qū)間I一致收斂.例2證明：無窮積分fao-_xy sin xdx在區(qū)間0,:) 一致收斂。x證明 只需注意：令F(x,y)二e" sintdt,1_(x, y) D(1 空 x ： ：,0 空 y ：:)有 F(x, y)乞一¥ e_y > 0(y >').1 + y類似于魏爾斯特拉斯

7、M判別法有如下定理:定理4 4設 g(x, y)dx在區(qū)間I 一致收斂，有存在 L 0,使當x_a與y亡1時，恒有af (x, y)蘭Lg(x, y)成立，且當巴 a時，對任意yl,f(x, y)均-bo關于x在a1上可積，則.g(x, y)dx關于時y在I 一致收斂且絕對收斂a例3設a 0, p -1,又存在L 0，使當x亠a, y I時，恒有f (x, y) <xp成立，且當 a時，對任意y I, f (x,y)均關于x在a丨上可積，試證-bof (x, y)dx在區(qū)間I上一致收斂且絕對收斂a證明只需注意此時Wdx收斂即可aX關于含參量無窮積分一致收斂性與函數(shù)項級數(shù)一致收斂之間的聯(lián)系

8、有下述定理："bo定理5 3含參量無窮積分.f (x,y)dx在區(qū)間I上一致收斂的充要條件a是：對任一趨于的遞增數(shù)列氷(其中Ac)，函數(shù)項級數(shù)An 1"i .1 f (x, y)dx ' Un(y)在區(qū)間I上一致收斂.n m 宀nm-bo在知道無窮積分.f(x, y)dx關于y在區(qū)間I上的收斂值：y時，可應用下a述定理:定理6艸f（x,y）dx關于y在區(qū)間I上一致收斂于:y的充要條件是匕ff(x, y)dx$(y)aalimSup）內的一致收斂dx 關于 y 在c, ： ：）, （c 0）上和（0,：-be顯然yrdx關于y在（0：）內收斂于一+x y2=虬sup，

9、-arctan y : y 亠 c = lim (孑-arctan c ) = 0， 而嘶叫1“yy 2dx-2fn產(chǎn)兀=ym/up石-arctan y : y > 0 尸 紉還-bo3T由定理6,得廠三dx關于y在0,=）上一致收斂于一，在（0：）內非一。1 +x y2致收斂."bo定理7, f （x, y）dx關于y在區(qū)間I上一致收斂于（y）的充要條件是：a對任意上nm n上yn T（ n=1,2，），都有-be例5試證-_dx關于y在(0, ：)內非一致收斂.1(x + y)bo證明顯然1 土dx關于y在(0)內收斂于亡(0, ：)(n=1,2,),但 是取 =n,yn

10、=n(n =1,2,)，則 nin=fyn-nlim, *(x + yn)yn 2dX- yn21 ynyn二 limn-1 + y“im1=1n ：,:：22-be由定理7, 一 dx關于y在0, ：內非一致收斂. i (x+ y)與函數(shù)項級數(shù)相應的判別法相仿，有 31定理8 (狄利克雷判別法)設(i )對一切實數(shù)N 0，含參變量無窮積分Nf x,y dxc對參變量y在a,b 1上一致有 界，即存 在正數(shù)M，對一切N c及一切 y a,b 1，都有NJf(x,y)dx 蘭 M ;c(ii)對每一個y a,b】，函數(shù)g x, y關于x是單調遞減且當x“時，對參變量y , g x, y 一致地收

11、斂于0, 則含參變量無窮積分-bof x, y g x, y dxc在a,b 1上一致收斂.定理9 (阿貝爾判別法)設-bo(i) f x, y dx在b,b】上一致收斂；c(ii )對每一個y b,b 1,函數(shù)g x, y為x的單調函數(shù)，且對參變量y , g x, y在a,b 上一致有界, 則含參變量無窮積分f x,y g x, y dxc在a,b i上一致收斂.例6證明含參變量無窮積分沁 dx 在 0,d 1上xbCi證明由于無窮積分S!ndx收斂，(當然，對于參變量y，它在0,d 1一0 x致收斂),函數(shù)g x,y = ey對每一個x 0, d單調，且對任何0 y d ,x_0 ,都有g

12、(x, y)= el 蘭 1 ,故由阿貝爾判別法即得含參變量無窮積分0牠dx 在 0,d 1上x定理10門設對任意 a， f x, y dx均關于y在c點左（或右）連a-bo-bo續(xù)，但.f x,c dx發(fā)散，則對任意 .0 ， f x, y dx關于aay在（c- ,c）（或（c，c ） y在c ,c （或CQ ）內非一致收斂.推論 設存在 o .0 ，使f x, y 在！ x, y : x 一 a, c - o ： y乞c 或ba-boc y ：c o i ；上連續(xù)，但 f x,cdx發(fā)散，則對任意 0 , f x,y dxaa關于y在c -，c 或c,c 內非一致收斂.E證明 對任意 a

13、，由已知及含參變量無窮積分的性質，fx, ydx都a關于y在c - °丨或c,c ° 上連續(xù)，當然在點左（或右）連續(xù)，再由已-bo知及定理10，對任意 0 , f x,y dx關于y在c - , c 或c,c亠一內a非一致收斂.例7試證：對任意 7,x關于在1,1 內非一致收斂.證明由于c0竺在x,a:x1,一1 ?上連續(xù)，但x二 cosxdx發(fā)散，由本推論，易得1 x對任意 0 ,關于在1,1內非一致收斂be定理11 °】設.f x, y dx關于y在C, d 1上收斂于，y ，? y在C, d 1 上a連續(xù)，又f x, y在、X, y :x_a,c_y_d /

14、上連續(xù)，且恒有f x, y 或一 0-bo成立，則 f x, y dx關于y在區(qū)間C, d 1上一致收斂于:y .a1s1說d試證-dx-關于s在1,七上一致收斂于 e xln x證明顯然關于s在1,二 上收斂于丄，丄 在1：內連e xln xs -1s T續(xù)，又 一在：x, y : x _e,s -1上連續(xù)且恒正，由定理11得xln x：dxe xlns x關于s在1, 上一致收斂于1s -1定理12設當x _a和y I時，恒有f x,y - g x,y - h x, y-bo-bo成立，且.f x, y dx與.h x,y dx均關于y在區(qū)間I上一致收斂于：y，則-bog x,y dx關于

15、y在區(qū)間I上一致收斂于:y .a證明對任意'a和y I，都有EEEf , y dx E g x,y dx E h x,y dx.aaa因此,不難得出結論.本定理與數(shù)列收斂的判別法中兩邊夾定理如出一轍，故我將其稱之為兩 邊夾定理.2.含參變量無窮積分一致收斂的性質和函數(shù)項級數(shù)類似的，含參變量無窮積分也具有如下三條性質定理，故 證明過程從略.定理13 （連續(xù)性）若函數(shù)f x, y在區(qū)域D a乞x豈：，豈y乞：連續(xù)，-bo且無窮積分f x,y dx在區(qū)間！: J 一致收斂，則函數(shù)y在區(qū)間1a-bo-bo連續(xù)，且 lim f x, y dx 二 lim f x, y dx .f aa f定理1

16、4 （可微性）若函數(shù)f x, y與fy x,y在區(qū)域-boDa_x_ ：,_ :連續(xù)，且無窮積分yV i f x, y dx在區(qū)間 ',收斂a-bo且無窮積分 > =f x,y dx在區(qū)間上J 一致收斂，則函數(shù)y在區(qū)間.,1 1a-bO可導，且 y = . fy x, y dx，即ddybo門*擴”-bof X, y dx 二a簡稱積分號下可微分定理15 （可積性）若函數(shù)f x, y與在區(qū)域D a遼xl=,> _ y *：連-bo續(xù)，且無窮積分f x,y dx在區(qū)間一致收斂，貝U函數(shù):y在區(qū)間aP-bo P'：/可積，且：y d dx f x,y dy，即aaaP

17、-bo-bo Pdy f X, y dx 二 dx f x,y dy.J. aa乂定理13、14分別表明：在一致收斂的條件下，極限運算、求導運算和積分運算可以交換；定理15表明在一致收斂的條件下，積分順序可以交換這三個定理在計算含參變量無窮積分上有極其廣泛的應用計算I a二dx a 0/-ax22解法一 5設 f X, a = -e， fa x,a = xex，x因為-a 0，有l(wèi)imX02 -x e+2-ax-e=0,-x2ax2e e*所以，函數(shù) f X, a =在 x,0 可連續(xù)開拓。使 f X, a與fa x,a 在區(qū)域 D 0 乞 x 乞 ： ： ,0 乞 a .亠連續(xù)，一 a 0,

18、二二 > 0 ； ： 1 與、：1，使 a I；,、：，,無窮積分-e'x2x)dx-bor-ax2 -xe dx0在I, J一致收斂.事實上，-a I；,，有2 -ax xe2 乞 xe_x ,-be-be已知 xe"dx收斂，則 xe"dx在；，匸一致收斂.00根據(jù)定理14，I；,有-e_ax2)dx2- -ax 二 xedx = _ax2a2ada 1從而I aIn a C .令a = 1， 已知I 1 = 0，有'2a 2 1I 1 In 1 C = 0，因此，C = 0，21于是，a O 有 I a Ina.2解法二6 1由于-ax-ea2=xe4" dt，所以1譏 a+ 2I a = dx xe dt.0 1.2記 f x,t 二 xe %，則2f x,t在0：1,a丨 或0, =a,1 上連續(xù)，且xex dx對一切01, al或t a,i 1上一致收斂，所以由定理15,得_tx22dxa :I a = dx xe" dt