定積分的概念和性質(zhì)公式

1、第一節(jié)定枳分冋題舉洌1. 曲邊梯形的面積設(shè)在區(qū)間 【胡上廠30 ，則由直線XP、x=b、廠°及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形，下面求這個(gè)曲邊梯形的面積分割求近似：在區(qū)間 訛中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)將 詢 分成 n個(gè)小區(qū)間一 一.一一，小區(qū)間的長度在每個(gè)小區(qū)間羅1、兔.上任取一點(diǎn) y»作乘積求和取極限：則面積 一取極限S噢如禺j=i其中 - "，即小區(qū)間長度最大者趨于零。2. 變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動，速度-_ '；是匚:二一上一的連續(xù)函數(shù)，且二 -'，求在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程。分割求近似：在 輕 內(nèi)插入若干分點(diǎn)將其分成n 個(gè)小區(qū)間

2、-：一.，小區(qū)間長度 工一：-：1, 一-一。任取 I二I,做亠二a（巧）館求和取極限：則路程取極限s 性#掃兇 2 = max ApASj/-）第一節(jié)第二節(jié)災(zāi)積分的龍艾- 定義設(shè)函數(shù) /W 在 atb 上有界，在 訥 中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)m二陽斤勺入二b將血&分成n個(gè)小區(qū)間心兀,其長度為 加廣加-兀，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)3 ，作乘積/（§）為G= 12衛(wèi)） ，并求和記2 = max（AvbAxa/-），如果不論對攸切怎樣分法，也不論小區(qū)間氐期_J上的點(diǎn)三：怎樣取法，只要當(dāng)hl總趨于確定的極限，則稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作/（訕，即其中 /W 叫被積函數(shù)，叫被積

3、表達(dá)式，x叫積分變量，。叫積分下限,1叫積分上限，叫積分區(qū)間。工能）紅叫積分和式。說明:1.如果（*）式右邊極限存在，稱在區(qū)間可積，下面兩類函數(shù)在區(qū)間訥 可積，（1） /W 在區(qū)間 訥 上連續(xù)，則在 訥 可積。（2）在區(qū)間一一一 上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在 訛 上可積。2.由定義可知，定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量無關(guān)，所以3. 規(guī)定J/ ' 時(shí)，f 定積分的幾何意義在一二丄上工-時(shí)，.I'JX表示曲線和二、兩條直線:. 與：軸所圍成的曲邊梯形的面積；在/時(shí)，J 表示曲線y j I*）、兩條直線x a、二一：與丄軸所圍成的曲邊梯形的面積（此時(shí)，曲邊梯形在

4、丄軸的下方）；yOf afe:圖7-2Vi圖7-4例i利用定積分的幾何意義寫出下列積分值（1） J'"匚（三角形面積（2半圓面積）y|H7-5第一節(jié)第二節(jié)低岌和分的性廣- . . 二.設(shè)一：J可積性質(zhì) 1 J'性質(zhì) 2性質(zhì)3 （定積分對區(qū)間的可加性）對任何三個(gè)不同的數(shù)，有（/（戲次必+f/么性質(zhì)4dx = b性質(zhì)5如果在區(qū)間一上, :二，則mpg推論性質(zhì)6 （定積分的估值）m分別是函數(shù)在區(qū)間值及最小值，則m(b -d) < f y(x)必 < M(ba)性質(zhì)7 （定積分中值定理）如果函數(shù) /M 在區(qū)間-上連續(xù)，則在上至少有一點(diǎn)-，使成立圖7-7例2比較下面

5、兩個(gè)積分的大小在(0, 1)內(nèi)，單調(diào)增當(dāng)時(shí)，有一.:山 n，即>l + x由性質(zhì)5,J(1U)血例3估計(jì)積分的值解只需求出 J *在區(qū)間Q2上的最大值、最小值即可。_ 1- .< "n，令十；，得.：，-1 _17(0)-V F/d 4所以，在區(qū)間.上_八_-I 2由性質(zhì)6,1第三爺枳分上限的曲敦及斗導(dǎo)敦設(shè) /« 在區(qū)間 訛 上連續(xù),當(dāng)：在一-.上變動時(shí)，它構(gòu)成了一個(gè)：的函數(shù)，稱為 °的變上限積分函數(shù), 記作；二即(x) = (a<x<b)定理如果函數(shù) /W 在區(qū)間 lafb上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)/上具有導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)數(shù)是一'，即昨=

6、2 p(=/(x)(沁 xd)說明:1.由原函數(shù)的定義知，是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，因此，此公式揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。2.當(dāng)積分上限的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)時(shí)，有壬伽?！九谇└话愕挠?/- /祕兀)0(力例i （ 1）；二 I丄，貝y：；;；| =一sinsin tdl 則 ®(x) = sin tdt)' = -sin xsin tdt,(*)=如矽=或/)二呂(m)但=/) g(u)禮=阻更=sm u-(2x) = 2xsin J JW= sin xa 2x dx du dxdx£ sin tdt +sin idt，則:(小=(f 5in 同)"十

7、(sin 仙y = (sin 2x - (sin 2父y C2對'=2點(diǎn)皿 d -Ssm 2(5)設(shè)帥）彳匕嗎應(yīng)竺，求：心此題中 丄為函數(shù)的自變量，一為定積分的積分變量， 因而是兩個(gè)函數(shù)乘積的形式由求導(dǎo)法則dx x sinf1 +xsin xa2x 1 + cos3 73fsin（6）1=0（因定積分的結(jié)果為一常數(shù)，故導(dǎo)數(shù)為零）所確定的函數(shù)，求解利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則和變限積分求導(dǎo)法則有l(wèi)irnwO為連續(xù)函數(shù)，（1）若5? + 40 =空I 2 則一匕=-'-，則二一解 這是I型不定式，用羅必塔法則limr sin xe=limz 2x定理（牛頓萊公式）如果函數(shù) 雕） 是連續(xù)函數(shù) /W 在區(qū)間 訥上的一個(gè)原函數(shù)，則此公式表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 一丄上的定積分等于它的任一個(gè)原函數(shù)在該區(qū)間 上的增量，此公式也稱為微積分基本公式。=arctgxarctg(-V)=解原式7圧12解原式一 n 一0 < x < 1,求解利用定積分的可加性分段積分，解被積函數(shù)是分段函數(shù)，分段點(diǎn)在積分區(qū)間卩內(nèi),2-x(2x-1),|x(2kT)卜彳兀® -1