05第五講微分中值定理與應(yīng)用

1、第五講：微分中值定理與應(yīng)用一、單項選擇題(每小題4分，共24分)1、已知 f ( x)= (x- 3)x- 4XE，則f '(x > 有 (B)A 一個實根B兩個實根C 三個實根D無實根解：(1) ； f(x)在3,4連續(xù)在(3,4)可導(dǎo)且 f (3H f (4) =0 f (x)在3,4滿足羅爾定理條件1B f(x)= p,x -1,1xC f(x)=|x|,x 可-1,1D f(x)=x.3-x,x0,3解：f(x)=x.Lx在0,3連續(xù)f'(x) = .k-X2j3-xf(x)在0,3可導(dǎo)且 f(0) =0 , f (3) =0滿足羅爾定理條件.故選 D 3.設(shè)曲線

2、y =3x-x A f(X)=x ,x 0,3 ,則其拐點坐標為(C)故有 f '( J =0 ( 3 ： ；4)(2)同理f (x)在4,5滿足羅爾定理A 0B (0, 1)C (0, 0)D 13解:y“ = 3_x , y” - -6x .令 y' 0 .得 x = 0 .有f '( 2)=0,4 ： 2 ：5當 x：0, 有y'' 0.當 x 0 時，y“：0 .綜上所述，f'(x) =0在(3,5至少有兩個實根故(0,0)為曲線的拐點C(3)f'(x) =0是一元二次方程，至多有兩個 根，故選E2 .下列函數(shù)在所給區(qū)間滿足羅爾定

3、理條件的 是(D)4.若 f (x) =f ( x)且在(,+ )內(nèi)f'(x) 0,f''(x)0則在必有(C)A f '(x) ： 0, f ''(x) ： 0Bf'(x) 0, f ''(x) 0Cf '(x): Of'(x) 0Df '(x) 0, f ''(x):：: 0解：f(x)為偶函數(shù)且在(0,：):f(x)單調(diào)遞增,曲線為凹弧1一6b 3 = 0得b =代入21得a =2答a =2,b =丄2答案選E6 .下列命題中正確的是 (B)A x0為極值點，則必有f'

4、(x0) = 0(一：，0), f (x) ：0, f '' 0.選CB若f (x)在點x°處可導(dǎo)，且x0為f (x)的極值點，則必有 f '(x0) =0C若f (x)在(a, b )有極大值也有極小值則極大值必大于極小值。D若f '(X。)= 0則點X。必有f(x)的極值點。5.設(shè)(x) = a In x bx3 -3x在x=1, x=2取得極值。則a,b為.(B)11A a ,b=2 B a=2,b =2211C a , b = 2 d a = 2,b =22解： 7f'(xHa 2bx-3x： f'(1) = 0xa = 3-2

5、b；f '(2) =0,a =6 -8b解：可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是駐點，故有f'(x)=0 選 B二、填空題(每小題4分，共24分)7 .設(shè)f (x)可導(dǎo)，且f(X。)是f(x)的極小值。f(x° 2n)- f()則 lim0n.0n解：原式= |im f(x0 2h)-f(X0).2 nT2h-2f'(x02 0=0In x& f(x)的單調(diào)增加區(qū)間為(0,e)x2(2)： f (2) =1,f (0) =1-2= f (3) =01 _ In x解：(1)定義域(0, ：) (2) f (x)=2-x(3 )最大值為f(2) =1當0<x&l

6、t;e時。f'(x) a0故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，e)3 219. f(x)二x x3的極小值是-一2 211曲線y =x2 一1x(2x 1)的水平漸進線為.2/1-丄解:7 lim 一 =lim x F2x2+x 1°2_丄x1直線y是曲線的一條水平漸進線212.函數(shù)f(x)=xlnx在1, 2滿足拉格朗日1'丄 x -1解：(1 ) f (x) =1 -x 3x3(2)令 f'x =0,駐點 x=1.x=：0 是 f x(3)極小值 f (1) =1 -22x(30)0(0,1)1(Df'(x)+f(x)單調(diào)增單調(diào) 減極小單調(diào)增不可導(dǎo)點31

7、210. f(x) =1-(x-2)3在0 , 3的最大值為中值定理條件的二-e解：(1) f (2) f (1)= f'(©)(21)2ln 2 - 0 = (1 ln(2) ln E = 2ln 21 = 1 n 4 In e益 41,2e三、計算題(每小題8分，共64 分)213.已知f (x)二px qx r在區(qū)間a,b滿足拉格朗日中值定理條件，求不可導(dǎo)點。解：(1)f(b)- f (a) =(2p q)(b-a)p(b2 _a2) q(b _a) = (2 p q)(b _a)p(a b) q =2p q , 2 p =p(a b)(2)判別極值點2 2 22y 2

8、x2yy' 4xyy' 2x2(y'2 yy'') y'0當x = 0時y =1代入上式2+0+0+0+ y ''0 "y ''(0) =2 ： 0.x = 0 為極大值點，(a,b)214.求函數(shù)f (x) =2x 3x令 y'=0,2xy =0,( y 0)駐點 x =0的單調(diào)區(qū)間(3)極大值y(0) = 116求 f(X)= 32x2(x _6)在區(qū)間_2, 4與極值。上的最大值，最小值。解：(1)解: ( 1)1 f'(仁22x2(x-6) P(6x2-24x)1'4x3

9、1 人f (x) =2 2x3 =2令f (x) =0x3令f' Xi； = o， X = 0為不可導(dǎo)點(2) f(-2) =3石二 M, f(0) =0,駐點，x=-1,f x的不可導(dǎo)點X =0(2)x(W)-1(-1,0)0(0,址)f'(x)+-+f(x)匚極大極小(3)極大值f -1 =1，極小值f 0 = 0，f x在-1,0單調(diào)減f x在:匕-1 , 0, ：單調(diào)增f (4) = V(3)比較上述函數(shù)的大小最小值為-4 ，最大值為 05 2-17.求曲線y x(x1)3的凹凸區(qū)間與9拐點。解：(1)定義域(-g, + g)2(2) y'x弘-評931019&

10、#176;(-1)992 215求由方程x y +y=1(y>0)所確定y = y(x)的極值。2 2解：(1)求駐點：2xyx 2yy y0令 y” = 0,y” = (3i 1) = 09(x -1)3得x = 0 ； y''不存在的點為x = 1(3)列表(3)： f '(x):：: 0.xf(x)嚴xx(-m,0)0(0, 1)1(1, +oo)y''+0一不 存 在+y凹拐占八、凸拐占八、凹答：拐點(0, 1)及(1, 5);(書9(2)令 g(x)=xcosx-sinx,g'(x) = _xsinx0'g(x)L arc

11、ta nx 門f. '(0) = lim0.t x 0故有f '(0) = 0為駐點(2)當時，f '(x) =-2x 0- f(x) (x 0)y =e是曲線的另一條水平漸近線 (0,2)且g(0)"g(x) ： g(0) =0 g(x) : 0(1c)為凹區(qū)間，(0, 1)為凸區(qū)間。118.求曲線y二(1 - ex)x的水平漸近線與垂直 漸近線。1解：(1) ； lim (1 ex)x =1° =1. y =1 是曲 線的一條水平漸近線。在(0, )單調(diào)減。220.設(shè) f(x)珥xa：薦0x,x 0 確定f(x)單調(diào)的區(qū)間。x - 0解：(1)匸

12、“刖0.exlimex_J <1 exDe1 一(3)v |im(1ex)x =2 ： = ：. x =0x時，f'(x)二 arctanx2 01 +x為曲線的一條垂直漸近線> f (x) (x 0)解：(1)sin xn19判別函數(shù) f (x)在(0,)的單調(diào)x2性。、 xcosx sin x f (x)2x(3 )除 x =0 外，f'(x) 0. f(x)在(：，：)單調(diào)增加。四、綜合題(每小題10分，共2 0分)21已知函數(shù)的圖形上有一拐點(2, 4),在拐點處曲線的切線斜率為 一3，而且該函數(shù)滿足y =6x a，求此函數(shù)解（1）已知；y'（2）

13、= -3, y"（2） =0, y（2） =4（2）求常數(shù) a V y =6x - a,由y （2） = 0得 12 a =0 , a = -12即y'' =6x-12（3）求 y' y'' =6x -12' 2y =3x 12x，由 y'二 -3,12 -24 & 二 -3知9即 y' =3x2 -12x 9（4）求函數(shù) y: * y =3x2 -12x - 9y = x -6x 9x - c2由y（2） =4得g =2答：所求函數(shù)y= x6x2 9x 222利用導(dǎo)數(shù)描繪y=xe"的圖形解：（1）定義

14、域（-：），非奇非偶函數(shù)（2）求駐點和y =0的點y”=：X-2 e，令 y' =0，得 x=2（3）列表x匕1）1(1,2)2（2嚴）1y+IIy+y極大拐占八、極大值f乂，拐點（2,2e°）（4 ）漸近線與函數(shù)變化趨勢O0X旳1lim x lim x=0 y = 0 是曲線的x 廠：ex：e一條水平漸進線，lim xe-s（5 ）描點作圖當x = 0時y = 0y'二 1 -x e"，令 y' = 0，駐點 x =123 設(shè) X -0, f(x)連續(xù)，f(0) = 0,當x 0時，f '(x)存在且f '(x)單調(diào)增加,(2) ；

15、 F(x)在a,b連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且證明當x 0時丄單調(diào)增加x證明：1)令F(x二逬x0x(2)F'(xnxt xf(0) =0 xf '(x) 一f(x) - f (0)微分中值定理xf '(x) -xf ')-、2(0 :：: x)x f'(X) -f'()x當x 0時，f '(x)單調(diào)增加f '( ) f '(x),即f '(x) - f '( )0故有F'(x) -0.即丄兇在(0,r)單調(diào)增加x24設(shè)f (x)在a,b連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，證明 n 2f(b)-f(a) =(bn -an)f'()，(a,b)證明：1)構(gòu)造輔助函數(shù)：F(x) =xnf (b) f(a) (bn an)f(x)F (a) = an f (b) -anf (a) -bnf (a) an f (a)F(b) =bnf(b) -bnf(a) -bnf(b) anf (b)F(a) = F(b) =anf(b) -bnf (a)由羅爾定理知F)=：0.即n nf(b)-f(a)=(bn-an)f'()(a,b)*選做題證明方程：x pqcosx = 0恰有一實根，其中p,q常數(shù)，且0 ： q ： 1證明：(1