本科畢業(yè)論文非線性方程不動(dòng)點(diǎn)算法及研究

1、 長(zhǎng)沙學(xué)院 CHANGSHA UNIVERSITY本科生畢業(yè)論文論 文 題 目： 非線性方程求解的 不動(dòng)點(diǎn)算法及研究 系部： 信息與計(jì)算科學(xué) 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 生 姓 名： 班 級(jí)： 學(xué)號(hào) 指導(dǎo)教師姓名： 職稱 副教授 長(zhǎng)沙學(xué)院教務(wù)處 二一一年二月制摘 要 非線性方程在工程實(shí)踐、經(jīng)濟(jì)學(xué)信息安全和動(dòng)力學(xué)等方面的大量實(shí)際問題中有著極為廣泛的應(yīng)用，而不動(dòng)點(diǎn)迭代算法作為數(shù)學(xué)研究的一個(gè)新方向，是求解非線性方程問題的一個(gè)最基本而又重要的方法. 本文主要介紹了非線性方程求解的不動(dòng)點(diǎn)算法及其研究，首先，綜述了非線性方程求解的不動(dòng)點(diǎn)算法的研究背景、并闡述了本文的主要工作以及介紹了誤差、有限差等基本知

2、識(shí)；然后，詳細(xì)介紹了不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的基本思想、在什么條件下方程存在不動(dòng)點(diǎn)的收斂定理、不動(dòng)點(diǎn)的收斂階定理和Atiken加速公式；最后，考慮到方程可能會(huì)不滿足不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂定理的兩個(gè)條件的情況提出了反函數(shù)法、牛頓迭代法、Steffensen迭代法和松弛法這四中處理方法.關(guān)鍵詞：非線性方程，不動(dòng)點(diǎn)原理，迭代法ABSTRACTA large number of practical problems of nonlinear equations in engineering practice,economics of information security and other the dynamics

3、 has a very wide range of applications.As a new direction in the study of mathematics,fixed point iterative algorithm is a basic and important methods to solving nonlinear equations problem.This paper describes the solving nonlinear equations fixed point algorithm and research. First, the research b

4、ackground of solving nonlinear equations fixed point algorithm and the main word are introduced, the basic knowledge of errors,finite difference are introduced ; Second, the fixed point iterative basic idea, algorithm convergence and convergence rate and the aitken formula are detailed; Last, invers

5、e function method, the newton iterative method,Steffensen iterative method and the relaxation method are proposed when the equation dose not satisfy the fixed point iteration convergence conditions.Keywords: Nonlinear Equation, Fixed Point Theorem, Iterative Method 目 錄摘 要IABSTRACTI第1章 緒 論11.1 研究背景11

6、.2 預(yù)備知識(shí)21.2.1 誤差21.2.2 有限差3第章 非線性方程求解的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法52.1不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的基本思想62.2 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的收斂性72.3 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的收斂速度112.4 加速不動(dòng)點(diǎn)迭代算法及其收斂性12第3章 非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法與比較143.1 非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法153.1.1 反函數(shù)法153.1.2 牛頓迭代法153.1.3 Steffensen迭代法153.1.4 松弛法163.2 數(shù)值實(shí)例17結(jié) 論21參考文獻(xiàn)23附 錄24致 謝35 第1章 緒 論1.1 研究背景 非線性數(shù)值解的問題是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究課題之一，這不僅是由于

7、科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，而且也是由于計(jì)算技術(shù)的高速發(fā)展提供了解決這類問題的可能，利用計(jì)算機(jī)解決非線性問題時(shí)，最終總是將其化成為有限維非線性問題，或稱為非線性代數(shù)問題對(duì)于求解非線性方程，無論從理論上還是從計(jì)算機(jī)上，都比解線性問題要復(fù)雜的多，一般的非線性方程是很難求出精確解的，往往只能求出近似解、數(shù)值解，而長(zhǎng)期以來，人們?yōu)榱说玫綕M足條件的近似值，許多計(jì)算工作者致力于研究求解非線性方程的有效方法，尤其是計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后函數(shù)方程求根的數(shù)值解法得到了蓬勃發(fā)展，十七世紀(jì)，微積分出現(xiàn)時(shí)，Newton和Halley發(fā)明了各自的新的數(shù)學(xué)工具去解非線性方程，十八世紀(jì)，隨著微積分的快速蓬勃發(fā)展，Euler和Lagrange

8、分別找到了一個(gè)無窮級(jí)數(shù)來表示方程解，并以各自的名字來命名，十九世紀(jì)，人們開始注重問題分析的嚴(yán)密性，柯西建立了優(yōu)級(jí)數(shù)技巧，該技巧不斷的被以后的事實(shí)證明對(duì)于研究方程近似解序列的收斂性是很有成效的，在分析嚴(yán)密性發(fā)展的時(shí)代，Ostrowski對(duì)Newton迭代法的收斂性問題規(guī)定了一個(gè)合理的假設(shè)和一個(gè)令人滿意的解法，在軟件分析完善的年代，Kantorovich把Newton迭代法和Ostrowski的結(jié)果推廣到Banach空間，從而使許多用硬分析去做非常棘手的有關(guān)問題被輕輕松松地推論中得到了令人滿意的解決，等等，總之，這些方法不斷地被后人完善，但在目前，實(shí)際問題中可能還需要求方程的負(fù)根，求非線性方程（組

9、）的迭代法，求微分方程迭代法等等，迭代方法還需要更深入的研究，同時(shí)意味著迭代法的發(fā)展空間將會(huì)更廣闊本文將著重介紹求解非線性方程的不動(dòng)點(diǎn)算法，其中文獻(xiàn)3是由王則柯先生于1988年總結(jié)的單純不動(dòng)點(diǎn)算法，他簡(jiǎn)述了不動(dòng)點(diǎn)在非線性方程數(shù)值解、微分方程初值問題、邊值問題、分支問題等許多應(yīng)用問題方面的十多年的發(fā)展，以及對(duì)單值連續(xù)映射的不動(dòng)點(diǎn)或零點(diǎn)問題進(jìn)行了討論，在文獻(xiàn)4中，許炎先生簡(jiǎn)單的闡述了國(guó)內(nèi)外有關(guān)不動(dòng)點(diǎn)理論的發(fā)展?fàn)顩r，并主要討論了L-Lipschitz映射的不動(dòng)點(diǎn)迭代逼近定理，34這兩篇文獻(xiàn)都總結(jié)出了不動(dòng)點(diǎn)問題的研究和解決在實(shí)際問題中起到了至關(guān)重要的作用，這一系列的文獻(xiàn)還有5678，而秦小龍先生在文獻(xiàn)

10、9中介紹了迭代法的發(fā)展情況以及相關(guān)定理，為本篇論文提供了大量的基礎(chǔ)信息，王公俊先生在文獻(xiàn)10中分別介紹了常用的求解非線性方程的方法以及收斂性，在文獻(xiàn)11中，張卷美主要研究了一類不動(dòng)點(diǎn)迭代法的求解，在迭代格式不滿足迭代條件的情況下，運(yùn)用的幾種處理方法，并且用語言編程上機(jī)進(jìn)行了計(jì)算，對(duì)迭代收斂結(jié)果進(jìn)行了分析和比較，為本文提供了大量的信息，另外，本文還借鑒了2本不同出版社的數(shù)值分析教材的大量?jī)?nèi)容本文主要介紹了非線性方程求解的不動(dòng)點(diǎn)算法及其應(yīng)用，第一章為緒論部分，主要介紹了為什么要研究本文的一些原因、目的，以及價(jià)值，也準(zhǔn)備了一些預(yù)備知識(shí)作為對(duì)正文的補(bǔ)充；第二章介紹迭代法與不動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)思想原理、定理以及

11、迭代法的收斂條件，是本文的一個(gè)主要章節(jié)和工作重心，并且舉出了幾個(gè)實(shí)例來輔助證明了運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解非線性方程的方便以及準(zhǔn)確性；第三章作為對(duì)第二章節(jié)的一個(gè)完善，非常具有實(shí)用性，主要討論了非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法，并通過數(shù)值實(shí)例給予了證明.1.2 預(yù)備知識(shí)1.2.1 誤差 誤差的來源有多個(gè)方面，主要有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差等 例1.1 可微函數(shù)用泰勒(Taylor)多項(xiàng)式近似代替，則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是在0與之間也就是說，截?cái)嗾`差就是近似值與精確值之間的誤差 例1.2 用3.14159近似代替，表示舍入誤差.同樣，可以定義舍入誤差是指由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限在表示時(shí)產(chǎn)生的誤差

12、 定義1.11設(shè)為準(zhǔn)確值，為的一個(gè)近似值，稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差然而，在實(shí)際中，人們是無法準(zhǔn)確計(jì)算出誤差的精確值的，一般是根據(jù)需要估計(jì)出誤差的絕對(duì)值不超過某正數(shù)，也就是誤差絕對(duì)值的一個(gè)上界，叫做近似值的誤差限，它總是正數(shù) 對(duì)于一般情形，即 (1.1)這個(gè)不等式有時(shí)也表示為 (1.2)誤差的大小有時(shí)還不能完全表示近似值的好壞，例如，有兩個(gè)量，則雖然是的5倍，但是比小得多，這就說明了近似的程度比近似的程度要好得多，因此，除了需要考慮誤差的大小之外，還應(yīng)該考慮準(zhǔn)確值本身的大小我們把近似值的誤差與準(zhǔn)確值的比值 (1.3)稱為近似值的相對(duì)誤差，記作在實(shí)際計(jì)算中，由于真值總是不知道的，通常取 (1

13、.4)作為的相對(duì)誤差，條件是較小，此時(shí) (1.5)是的平方項(xiàng)級(jí)，故可忽略不計(jì)相對(duì)誤差也可正可負(fù)，它的絕對(duì)值上界叫做相對(duì)誤差限，記作，即 (1.6) 根據(jù)定義，上例中 與分別為與的相對(duì)誤差限，很顯然近似的程度比近似的程度好得多 在實(shí)際運(yùn)算中，為了避免誤差危害，數(shù)值計(jì)算中通常不采取數(shù)值不穩(wěn)定算法，在設(shè)計(jì)算法是應(yīng)該盡量避免誤差危害，防止有效數(shù)字損失，通常要避免兩個(gè)相近數(shù)字相減和用絕對(duì)值很小的數(shù)做除數(shù)，還要注意運(yùn)算次序和減少運(yùn)算次數(shù) 有限差 定義1.22 分別稱 (1.7) (1.8) (1.9) 為函數(shù)在點(diǎn)的一階向前差分，一階向后差分和一階中心差分，或者分別簡(jiǎn)稱為一階前差，一階后差，一階中心差，統(tǒng)稱

14、為(一階)有限差，其中表自變量的有限增量，稱為步長(zhǎng)，和分別成為(一階)前差算子、(一階)后差算子和(一階)中差算子，統(tǒng)稱為(一階)有限差算，仿此，可以定義高階有限差，例如，二階前差記作，定義為 (1.10) 于是，有 (1.11) 階前差記作，定義為 (1.12) 同樣，二階后差和階后差分別定義為 (1.13)和 (1.14) 二階中心差 和階中心差分別定義為 (1.15)和 (1.16)我們規(guī)定 , , .有限差有下列一下性質(zhì)： （1）常數(shù)的有限差恒為零 （2）有限差算子為線性算子，即對(duì)任意的實(shí)數(shù),恒有 (1.17) (1.18) (1.19) （3）用函數(shù)值表示高階有限差： (1.20)

15、(1.21) (1.22) 其中 （4）用有限差表示函數(shù)值 (1.23) 第章 非線性方程求解的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法2.1不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的基本思想 首先討論解非線性方程 (2.1)的問題. 方程(2.1)的解又稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn). 為求的不動(dòng)點(diǎn)，選取一個(gè)初始值，令 (2.2) 已產(chǎn)生序列. 這一類迭代法稱為不動(dòng)點(diǎn)迭代. 又被稱為迭代函數(shù)， 很顯然，若迭代序列收斂，即有 (2.3)且連續(xù)，則是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 例2.12 方程在區(qū)間中有唯一跟. 我們可以用不同的方法將它化為方程：（1） （2） （3） （4） （5）等等. 取初始值，分別用式(2.2)的迭代格式計(jì)算，結(jié)果如下表 表2.1 例2.1迭代公式計(jì)

16、算結(jié)果 1-2.3750.5590169941.0690449681.1960784312-72.561.3829872001.14163787818230505931.12837105413119556821.13076111919332270691.1303294161262386754199705436612265420691037948141.130395365101.2003529761.13039544

17、7111.0654751741.130395432121.1811927851.130395435131.0844308331.130395435291.127222584301.133074649311.128116321321.1323221241091.1303954291101.1303964401191.1303954341201.130395436從表2.1中可以看到，選取迭代函數(shù)為，分別12次和4次，得到方程的近似根1.130395435若選取作為迭代函數(shù)，則為奇數(shù)時(shí)迭代子序列單調(diào)增加，為偶數(shù)時(shí)迭代子序列單調(diào)減小，迭代120次得到近似根1.130395436 若選取作為迭代函數(shù)，

18、則迭代序列不收斂， 若選取為迭代函數(shù)，則出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開方，因而無法繼續(xù)進(jìn)行迭代2.2 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的收斂性 通過例2.1，可以總結(jié)出，對(duì)于同一個(gè)非線性方程的求解問題，在轉(zhuǎn)化為迭代方程時(shí)應(yīng)該要使其解的迭代次數(shù)達(dá)到最小，且得到的解應(yīng)該最精確. 在選擇迭代函數(shù) 的基本原則是，首先必須保證不動(dòng)點(diǎn)迭代序列 在的定義中，以使迭代過程不至于中斷；其次要求迭代序列收斂且盡可能收斂得快. 定理2.12 假設(shè)為定義在有限區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，它滿足以下條件 （1）對(duì)任意有 (2.4) （2）的導(dǎo)數(shù)在上有界，且存在正數(shù)使得對(duì)一切有 (2.5)那么對(duì)于任意初始值由不動(dòng)點(diǎn)迭代(2.2)產(chǎn)生的序列都收斂于在的唯一不動(dòng)點(diǎn)，并且

19、有誤差估計(jì)式 (2.6) 其中. 證明 首先證明的不動(dòng)點(diǎn)存在且唯一. 令 (2.7) 據(jù)條件(1) 又據(jù)條件(2)，在上存在，因此在上連續(xù)，從而在上也連續(xù)，因此方程在上至少有一個(gè)跟現(xiàn)假設(shè)方程在上有兩個(gè)根，則由Lagrange中值定理知，在與之間存在使得再由(2.5)這就得到矛盾式：因此，即在中的根是唯一的 其次證明由不動(dòng)點(diǎn)迭代格式(2.2)產(chǎn)生的序列是收斂于的根據(jù)定理?xiàng)l件(1)，因此不動(dòng)點(diǎn)迭代過程不會(huì)中斷由(2.5)式有 (2.8) 應(yīng)用Lagrange中值定理，并根據(jù)(2.5)式有 (2.9)因?yàn)椋约?(2.10)最后，推導(dǎo)估計(jì)式(2.6)應(yīng)用收斂性的證明過程，有 (2.11)于是 (2

20、.12)在上式中令，得 (2.13) (2.6)式得證 例2.22 討論例2.1中不動(dòng)點(diǎn)迭代 (2.14) 的收斂性. 為使解的近似值的誤差不超過，試確定迭代次數(shù)解 迭代法(2.14)的迭代函數(shù)為的定義域?yàn)槿〕跏贾?，由不?dòng)點(diǎn)迭代(2.21)得，因此取區(qū)間由于因此在上單調(diào)減小 而于是，當(dāng)時(shí)，但在上單調(diào)減小，因此因此，定理2.1的條件(2)不成立從表2.1看到，取作為初始值， 作為當(dāng)時(shí)，從而又由于 因此定理2.1的條件成立故迭代過程收斂中任意取初值，為使解的近似值的誤差不超過，根據(jù)誤差估計(jì)式(2.6)只要因此，應(yīng)取為取于是迭代138+30=168次必可使近似解的誤差不超過 實(shí)際上，從表2.1中可以

21、看到，只要迭代110次便可達(dá)到所要求解的精度(2.6)式右端是最大可能的誤差界 就本例來說，估計(jì)的迭代次數(shù)偏大了.2.3 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的收斂速度定理2.22 在定理2.1的假設(shè)條件下，再設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上 次連續(xù)可微，且在方程(2.1)的跟處 (2.15)則不動(dòng)點(diǎn)迭代為階收斂. 證明 據(jù)定理2.1知，方程（2.1）在上有唯一根且對(duì)任意初始值，不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于由于 (2.16)據(jù)Taylor公式和定理?xiàng)l件有其中. 易知，對(duì)于充分大的，若 ，則 ，從而 (2.17） 故證得不動(dòng)點(diǎn)迭代為階收斂 關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)的迭代，還有下面的局部收斂定理. 定理2.32 設(shè)是方程(2.1)的一個(gè)根，在的某領(lǐng)域內(nèi)次連

22、續(xù)可微，且則當(dāng)初始值充分接近時(shí)（存在正數(shù)，對(duì)一切），不動(dòng)點(diǎn)迭代序列都收斂于，且收斂階數(shù)為. 證明 由于假設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且，因此必存在 使得對(duì)一切 有又據(jù)Lagrange中值定理，有 在與之間，從而即 (2.18)因此當(dāng)時(shí)，據(jù)定理2.2和定理2.3知，對(duì)于任意初始值，不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂，且收斂階數(shù)為2.4 加速不動(dòng)點(diǎn)迭代算法及其收斂性 一個(gè)收斂的迭代過程將產(chǎn)生一個(gè)收斂序列，如這樣，只要迭代足夠多次，即充分大時(shí)，如，則可取但若迭代過程收斂緩慢，則會(huì)使計(jì)算量變得很大，因此需要加速收斂過程 假設(shè)一個(gè)序列：，線性收斂于(收斂緩慢)，即有 (2.19)于是當(dāng)足夠大時(shí)，有即亦即 (2.20) 解得定義 ，

23、(2.21)(2.21)稱為Aitken加速公式（方法） Aitken加速方法得到的序列：較原來的序列更快地收斂于. 有下面的定理 定理2.42 設(shè)序列是線性收斂于的，并且對(duì)于所有足夠大的整數(shù)有，則由Aitken加速方法(2.21)產(chǎn)生的序列有 (2.22) 證明 由假設(shè)序列線性收斂于，即有 ，. 記 (2.23)則有 ， 據(jù)(2.21)式， (2.24)因此有在緒論中有講到一階前差：二階前差：于是，Aitken加速公式(2.21)可改寫成 (2.25)由于這個(gè)緣故，Aitken加速方法又稱為Aitken加速方法 例2.32 設(shè)，則. 由于因此序列收斂于1 由序列應(yīng)用Aitken加速方法計(jì)算得

24、的開頭幾項(xiàng)列表如下（表2.2）確實(shí)比更快的收斂于1 表 2.2 Atiken加速法計(jì)算結(jié)果的開頭幾項(xiàng)列N10.540302305 20.877582561 0.96177506030.944956946 0.98212935340.9689124210.98978551250.9800665770.99341565060.986143231第3章 非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法與比較 在第2章中主要介紹了求解非線性方程的不動(dòng)點(diǎn)迭代法，其要求是迭代函數(shù)要滿足收斂定理假定條件，而在現(xiàn)實(shí)生活中，明確滿足這些條件的迭代函數(shù)是很少見的，本章對(duì)于迭代函數(shù)不滿足收斂條件的情況，提出了幾類處理方法.3.1

25、 非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法 一個(gè)方程的迭代格式不是唯一的，且迭代也不都是收斂的，其收斂性取決于迭代函數(shù)和初值，關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)迭代函數(shù)的收斂性，上一章已經(jīng)進(jìn)行了討論， 但假若時(shí)，就不滿足定理2.1的條件(2)了，于是下面分別介紹了反函數(shù)法、牛頓迭代法、Steffensen迭代法和松弛法這四中處理方法.3.1.1 反函數(shù)法因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，所以方程可寫成等價(jià)形式，從而構(gòu)造迭代格式 , (3.1)很明顯，滿足收斂條件. 對(duì)于簡(jiǎn)單情況, 其反函數(shù)容易得到.3.1.2 牛頓迭代法 對(duì)于迭代格式的情形，采用Newton迭代格式有 (3.2) 3.1.3 Steffensen迭代法 根據(jù)Aitken加

26、速算法，對(duì)迭代格式,，進(jìn)行如下修改： (3.3)其中.3.1.4 松弛法 將化成等價(jià)形式 , 稱為松弛因子, 從而構(gòu)造迭代格式 (3.4)其迭代函數(shù)為 . 記，得到如下結(jié)論: （1）當(dāng)時(shí)，取 時(shí)，迭代收斂； （2）當(dāng)時(shí)，取 時(shí)，迭代收斂； （3）當(dāng)時(shí)，取 時(shí)，迭代格式比迭代格式收斂快推導(dǎo)如下： （1）當(dāng) 時(shí)，由得到，其迭代函數(shù)為 因?yàn)?所以有，從而迭代收斂. （2）當(dāng)時(shí), 由得到. 因?yàn)樗杂? 從而迭代收斂. （3）當(dāng)時(shí), 取，由得到,由得到.所以有, 從而迭代格式 比迭代格式收斂快.3.2 數(shù)值實(shí)例 通過以上四種方法都可以解決非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的問題，現(xiàn)對(duì)上述四種給出幾個(gè)不滿足不動(dòng)點(diǎn)迭代

27、收斂定理的實(shí)例，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析和比較. 例3.1 求方程在區(qū)間內(nèi)的根，要求精度為 解 對(duì)于方程，將它化為，所以，則當(dāng)時(shí)，不滿足定理2.1的條件(2),因此不能由(2.2)的迭代格式計(jì)算.下面分別用反函數(shù)方法、牛頓（Newton）迭代法、Steffensen迭代法、松弛法對(duì)迭代函數(shù)進(jìn)行修改，得到相應(yīng)新的迭代函數(shù)，并用C語言編程上機(jī)計(jì)算. (1)反函數(shù)法：迭代格式為即取初值，運(yùn)用程序見附錄1 (2)牛頓（Newton）迭代法：迭代格式為即取初值，運(yùn)用計(jì)算程序見附錄二； (3) Steffensen迭代法：迭代格式為即取初值，運(yùn)用如下程序可以得到結(jié)果： (4)松弛法：迭代格式為即當(dāng)時(shí)，且，所以的取

28、值范圍為，現(xiàn)取，運(yùn)用C語言編程可得到起結(jié)果以上這四種方法的計(jì)算結(jié)果見表(3.1)，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件的不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂問題，同時(shí)本例中變換后的Newton迭代法收斂的最快. 表3.1 例3.1的四種方法的計(jì)算結(jié)果迭代次數(shù)反函數(shù)法Newton法Steffensen迭代法松弛法11.650961.695652.076001.6687521.669221.672082.000131.6720131.671661.671701.921191.6716741.671701.671701.841671.6717051.671701.767381.671706

29、1.6786471.6719781.6717091.67170 例 3.2 求方程在區(qū)間內(nèi)的根，要求精度為. 解 對(duì)于方程，將它化為，所以，則當(dāng)時(shí)，因此不滿足不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂條件，為求此次方程的解，下面同樣分別用本章介紹的四種方法求解此方程. (1)反函數(shù)法：迭代格式為將方程變?yōu)榈袷綖槿〕踔?，運(yùn)行附錄5的相應(yīng)程序即可得計(jì)算結(jié)果. (2)牛頓（Newton）迭代法:迭代格式為代人例題中的數(shù)據(jù)取初值，運(yùn)行附錄6的程序即可的計(jì)算結(jié)果. (3)Steffensen迭代法：迭代格式為代入例題中的數(shù)據(jù)有取初值，運(yùn)行附錄7即可算得計(jì)算結(jié)果. (4)松弛法：迭代格式為代入例題中的數(shù)據(jù)有當(dāng)時(shí)，所以取值在，現(xiàn)取

30、，初值，運(yùn)行附錄8的程序即可得到計(jì)算結(jié)果.以上這四種方法的計(jì)算結(jié)果見表(3.2)，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件的不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂問題，同時(shí)本例中變換后的Newton迭代法收斂的最快 表3.2 例3.2的四種迭代結(jié)果迭代次數(shù)反函數(shù)法Newton法Steffensen迭代法松弛法11.414211.407611.448211.4203121.398801.395331.411521.4031531.395971.395341.397091.3979041.395451.395341.395361.3961951.395361.395341.3956261.39

31、5341.395341.3954371.395341.3953781.3953591.39534101.39534 例3.3 求方程在區(qū)間內(nèi)的根，要求精度為.解 將方程化為等價(jià)形式，那么此時(shí).當(dāng)時(shí)，因此不滿足不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂條件.按下面這四種方法處理可以得到近似解.(1)反函數(shù)法：首先由反函數(shù)處理方法可得到迭代格式取初值，運(yùn)用程序見附錄9.(2)牛頓（Newton）迭代法：由牛頓迭代法得到迭代格式取初值，運(yùn)用程序見附錄10.(3)Steffensen迭代法：由Steffensen迭代法得到迭代格式取初值，運(yùn)用程序見附錄11. (4)松弛法：由松弛法得到迭代格式為當(dāng)時(shí)，所以取之間的值，現(xiàn)取，初值，

32、運(yùn)用程序見附錄12. 以上這四種方法的計(jì)算結(jié)果見表(3.2)，本例中以上四種方法都是收斂的，因此這四種方法均可以解決不滿足收斂條件定理的不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂問題，同時(shí)本例中變換后的Newton迭代法收斂的最快 表3.3 例3.3的四種迭代結(jié)果迭代次數(shù)反函數(shù)法Newton法Steffensen迭代法松弛法1 0.223140.314440.256300.3405120.328170.300150.298230.3101430.289620.300080.300070.3026740.303940.300080.300080.3007550.298640.300080.3002560.300610.30

33、01270.299880.3000980.300150.3000890.300050.30008100.30009110.30007120.30008130.30008 結(jié) 論 非線性代數(shù)問題的解法是現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究課題，而不動(dòng)點(diǎn)迭代算法是求解非線性方程近似根的一個(gè)重要方法.本文通過搜集大量資料了解了非線性方程求解的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的的研究背景，以及研究?jī)r(jià)值，然后通過介紹不動(dòng)點(diǎn)迭代法的基本思想，對(duì)不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂性、收斂速度以及加速不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的收斂性進(jìn)行了研究，并結(jié)合實(shí)例經(jīng)行了比較分析，對(duì)于不滿足收斂條件的情況，本文通過翻閱大量資料和文獻(xiàn)，歸納總結(jié)出了四種處理方法，分別為反函數(shù)法

34、、牛頓（Newton)迭代法、Steffensen迭代法、松弛法，使得不滿足收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的非線性方程的求解得到了解決，同樣也給出了相關(guān)實(shí)例進(jìn)行了比較和驗(yàn)證.具體來說，對(duì)于一般的非線性方程，只要滿足第2章定理2.1中的條件(1)和條件(2)，那么對(duì)于任意的初始值，則由不動(dòng)點(diǎn)迭代產(chǎn)生的迭代序列都收斂于在的唯一不動(dòng)點(diǎn)，那么要考慮的是光是收斂還不能很好的解決一個(gè)迭代效率問題，于是本文還致力研究了不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂速度，以及加速不動(dòng)點(diǎn)迭代法.而對(duì)于一般不滿足第2章定理2.1中的條件（1）或者條件（2）的情況，那么有不動(dòng)點(diǎn)迭代算法產(chǎn)生的迭代序列不是收斂的，就不能求出函數(shù)的近似解，那么本文通過閱讀大量

35、的資料以及文獻(xiàn)，總結(jié)出了四種比較好用的處理方法，并且通過3個(gè)實(shí)例，可以發(fā)現(xiàn)這幾種方法不僅能得到收斂的迭代序列，而且收斂的速度也比較快，通過分析比較這四種方法，牛頓迭代法的迭代效果最好.這也是本文的亮點(diǎn)所在.由于諸多條件限制，本文也有很多不足之處，比如說沒有足夠多的實(shí)例來充分的證明第2章的定理2.2與定理2.3，并且對(duì)于第3章給出的3個(gè)實(shí)例中的精度要求較低，有待于繼續(xù)研究，若有條件，可以更深層次的研究非線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)算法及其應(yīng)用. 參考文獻(xiàn)1 李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析M.北京：清華大學(xué)出版社，2008,32(2)：3-82 林成森.數(shù)值分析M.北京：科學(xué)出版社，2007,18(1):

36、133-135,255-2653 王則柯單純不動(dòng)點(diǎn)算法J廣州：中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，1988,12(12)：113-1274 許炎Banach空間中的不動(dòng)點(diǎn)迭代逼近J蘇州：蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，2010，13(2)：1-445 李素紅非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)迭代逼近J天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，16(1)：51-586 孫俊萍，徐裕生非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)定理J長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，10(5)：30-317 宋娜娜幾類非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)定理J長(zhǎng)春工程學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003, 4(3)：1-48 段華貴幾類非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)定理及應(yīng)用J哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，20(4)：31-339

37、秦小龍非線性算子方程的迭代算法J科學(xué)技術(shù)與工程研究簡(jiǎn)報(bào)，2010，10(13)：3169-317010 王公俊非線性方程的迭代法研究J河北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000，20(3)：228-23111 張卷美一類不動(dòng)點(diǎn)迭代法的求解J燕山大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，22(2)：140-14212 高尚.不動(dòng)點(diǎn)迭代法的一點(diǎn)注記J大學(xué)數(shù)學(xué)2003,19(4):30-3713 代璐璐非線性方程組的迭代解法J合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，5(4):1-5714 Halikias, Galanis, Karcanias, Milonidis. Nearest common root of polynomials,

38、 approximate greatest common divisor and the structured singular valueJ. IMA Journal of Mathematical Control & Information,2013，30(4)：423-442 附 錄附錄1（反函數(shù)處理法）：%main()為主函數(shù)%用途：用反函數(shù)法求解非線性方程在非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式情況下的解%格式：solut (double x,int k),solut為被調(diào)用函數(shù)，x為返回輸出的值，即為迭代函數(shù)產(chǎn)生的迭代序列， k為在一定精度下的迭代次數(shù) #include <stdio.

39、h>#include <math.h>double solut (double x,int k) double f; int i; for(i=0;i<k;i+) f=pow(x+3,1.0/3.0); x=f; return(x);main( ) double x0=1.5; int i,k; printf("n input k(k>0):"); scanf("%d",&k); for(i=1;i<=k;i+) printf("n x=%6.5lfn",solut(x0,i); 附錄2（牛

40、頓(Newton)迭代法）：%main()為主函數(shù)%用途：用牛頓(Newton)迭代法求解非線性方程在非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式情況下的解%格式：solut (double x,int k),solut為被調(diào)用函數(shù)，x為返回輸出的值，即為迭代函數(shù)產(chǎn)生的迭代序列 k為在一定精度下的迭代次數(shù) #include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x,int k) double f; int i; for(i=0;i<k;i+) f=x-(pow(x,3)-x-3)/(3*pow(x,2)-1); x=f; return

41、(x);main( ) double x0=1.5; int i,k; printf("n input k(k>0):"); scanf("%d",&k); for(i=1;i<=k;i+) printf("n x=%6.5lfn",solut(x0,i); 附錄3（Steffensen迭代法）：%main()為主函數(shù)%用途：用Steffensen迭代法求解非線性方程在非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式情況下的解%格式：solut (double x,int k),solut為被調(diào)用函數(shù)，x為返回輸出的值，即為迭代函數(shù)產(chǎn)生的迭代

42、序列， k為在一定精度下的迭代次數(shù)#include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x ,int k) double f,f1,f2; Int i; for(i=0;i<k;i+) f1=pow(x,3)-3;f2=pow(f1,3)-3;f=f2-(pow(f2-f1,2)/(f2-2*f1+x);x=f; return(x);main( ) double x0=1.5; int i,k; printf(“n input k(k>0):”); scanf(“%d”,&k); for(i=1

43、;i<=k;i+) printf(“n x=%6.5lfn”,solut(x0,i); 附錄4（松弛法）：%main()為主函數(shù)%用途：用松弛法求解非線性方程在非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式情況下的解%格式：solut (double x,int k),solut為被調(diào)用函數(shù)，x為返回輸出的值，即為迭代函數(shù)產(chǎn)生的迭代序列， k為在一定精度下的迭代次數(shù) #include <stdio.h>#include <math.h>double solut (double x,int k) double f,w=-0.15; int i; for(i=0;i<k;i+) f=(1

44、-w)*x+w*(pow(x,3)-3); x=f; return(x);main( ) double x0=1.5; int i,k; printf("n input k(k>0):"); scanf("%d",&k); for(i=1;i<=k;i+) printf("n x=%6.5lfn",solut(x0,i); 附錄5（反函數(shù)處理法）：%main()為主函數(shù)%用途：用反函數(shù)法求解非線性方程在非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式情況下的解%格式：solut (double x,int k),solut為被調(diào)用函數(shù)，x為返回輸出的值，即為迭代函數(shù)產(chǎn)生的迭代序列， k為在一定精度下的迭代次數(shù) #include <stdio.h>#includ