橢圓極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用

1、橢圓的極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用如圖，傾斜角為且過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，橢圓的離心率為，焦準(zhǔn)距為，請利用橢圓的第二定義推導(dǎo)，并證明: 為定值改為：拋物線 呢？例1.（10年全國）已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)若，求。練習(xí)1. （10年遼寧理科）設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60o,，求橢圓C的離心率；例2. （07年全國）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，垂足為，求四邊形的面積的最值練習(xí)2. （05年全國）P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn).已知求四邊形PM

2、QN的面積的最小值和最大值.例3. （07年重慶理）如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線的方程為.（）求橢圓的方程；（）在橢圓上任取三個不同點(diǎn)，使，證明：為定值，并求此定值.推廣：已知橢圓,是橢圓的右焦點(diǎn),在橢圓上任取個不同點(diǎn),若,則，你能證明嗎？練習(xí)3. （08年福建理科）如圖，橢圓的一個焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）已知橢圓短軸的兩個三等分點(diǎn)與一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動，值有,求a的取值范圍.作業(yè)1. （08年寧夏文）過橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn), 則的面積為 .作業(yè)2.

3、（09年全國）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線，點(diǎn)，線段AF交C于點(diǎn)B。若,求。作業(yè)3. （15年四市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)都在橢圓 上，對角線與分別過橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且，橢圓的一條準(zhǔn)線方程為 （1）求橢圓方程； （2）求四邊形面積的取值范圍。練習(xí)4.（08年安徽文）已知橢圓，其相應(yīng)于焦點(diǎn)F(2，0)的準(zhǔn)線方程為x=4.（）求橢圓C的方程；（）已知過點(diǎn)F1(-2,0)傾斜角為的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn).求證：（）過點(diǎn)F1(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點(diǎn)A、B和D、E，求的最小值.作業(yè)5. 已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A、B滿足,求弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距

4、離.參考答案：例1. 練習(xí)1. 例2. 練習(xí)2. 例3. 解：（）設(shè)橢圓方程為.因焦點(diǎn)為，故半焦距.又右準(zhǔn)線的方程為，從而由已知，因此.故所求橢圓方程為.（）方法一:記橢圓的右頂點(diǎn)為,并設(shè),不失一般性假設(shè),且又設(shè)點(diǎn)在上的射影為,因橢圓的離心率,據(jù)橢圓第二定義得.又(定值)方法二:記橢圓的右頂點(diǎn)為,并設(shè),不失一般性假設(shè),且,另設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)在橢圓上,以下同方法一(定值)推廣：引理1:.證明:-(1)-(2)-()將上述個式子相加得證明:記橢圓的右頂點(diǎn)為,并設(shè),不失一般性假設(shè),且又設(shè)點(diǎn)在上的射影為,據(jù)橢圓第二定義得.在引理1中,令,則.練習(xí)3. 解法一：()設(shè)M，N為短軸的兩個三等分點(diǎn)，因?yàn)镸NF為正

5、三角形， 所以, 即1 因此，橢圓方程為 ()設(shè) ()當(dāng)直線 AB與x軸重合時， ()當(dāng)直線AB不與x軸重合時， 設(shè)直線AB的方程為： 整理得 所以 因?yàn)楹阌?，所以AOB恒為鈍角. 即恒成立.又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對mR恒成立，即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對mR恒成立.當(dāng)mR時，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,因?yàn)閍>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,解得a>或a<(舍去)，即a>,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.解法二。作業(yè)1. 作業(yè)2【解析】本小題考查橢圓的準(zhǔn)