極坐標(biāo)和參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)典型例題講解同步訓(xùn)練

1、極坐標(biāo)和參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)+典型例題講解+同步訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)回顧（一）曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即并且對(duì)于t每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)（二）常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程如下：1過(guò)定點(diǎn)（x0，y0），傾角為的直線：（t為參數(shù)）其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P（x0，y0）為起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)M（x，y）為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論設(shè)A、B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則線段A

2、B的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于2中心在（x0，y0），半徑等于r的圓：（為參數(shù)）3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上的橢圓：（為參數(shù)）（或）中心在點(diǎn)（x0,y0）焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程4中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上的雙曲線：（為參數(shù)）（或）5頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線：（t為參數(shù)，p0）直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過(guò)定點(diǎn)P（x0，y0），傾斜角為的直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）（三）極坐標(biāo)系1、定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長(zhǎng)度，表示從O

3、x到OM的角，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)(, )就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。2、極坐標(biāo)有四個(gè)要素：極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位及它的方向極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定平面上一個(gè)點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對(duì)有序?qū)崝?shù)、對(duì)應(yīng)惟一點(diǎn)P(，)，但平面內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一一個(gè)點(diǎn)可以有無(wú)數(shù)個(gè)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為(,)或（，），(Z)極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意取若對(duì)、的取值范圍加以限制則除極點(diǎn)外，平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)就惟一了，如限定>0，0或<0，等極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，而極坐

4、標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對(duì)應(yīng)的即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的 3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式：典型例題講解極坐標(biāo)考點(diǎn)一 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為_(kāi)答案：2.已知圓C：，則圓心C的極坐標(biāo)為_(kāi) 答案：（ ）3.把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)。4.曲線的極坐標(biāo)方程=sin化 成直角坐標(biāo)方程為( )A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4解：將=，sin=代入=4sin，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.應(yīng)選B.5.若曲線的極坐標(biāo)方程為2sin 4cos ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建

5、立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)解析2sin 4cos ，22sin 4cos .x2y22y4x，即x2y22y4x0.6化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程為（ ）A B C D 7.極坐標(biāo)=cos()表示的曲線是( )A.雙曲線 B.橢圓C.拋物線 D.圓解：原極坐標(biāo)方程化為=(cos+sin)=cos+sin，普通方程為(x2+y2)=x+y，表示圓.應(yīng)選D.考點(diǎn)二 直線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用1.過(guò)點(diǎn)且與極軸垂直的直線方程為（ ）A. B. C. D. 2.在極坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)且與直線（）垂直，則直線極坐標(biāo)方程為 答案：（或、） 3.設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l過(guò)點(diǎn)A且與極軸所成的角為，則直線

6、l的極坐標(biāo)方程為_(kāi)審題視點(diǎn) 先求直角坐標(biāo)系下的直線方程再轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程【解析】點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)A的平面直角坐標(biāo)為(，1)，又直線l過(guò)點(diǎn)A且與極軸所成的角為，直線l的方程為y1(x)tan ，即xy20，直線l的極坐標(biāo)方程為cos sin 20，可整理為cos1或sin1或sin1.答案cos1或cos sin 20或sin1或sin1.4.極點(diǎn)到直線的距離是_ _。解析：直線；點(diǎn)到直線的距離是5.在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為sin 3，則點(diǎn)到直線l的距離為_(kāi)解析：直線l的極坐標(biāo)方程可化為y3，點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(，1)，點(diǎn)到直線l的距離為2.考點(diǎn)三 圓的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用1.在極坐標(biāo)系中，以為圓

7、心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是 。解析：由極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式得，又，所以.2.在極坐標(biāo)中，已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，求圓的極坐標(biāo)方程解析：圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，在中令，得。圓的圓心坐標(biāo)為（1，0）。圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓的半徑為。圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)。圓的極坐標(biāo)方程為。3.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離是【解析】距離是 圓的圓心4.在極坐標(biāo)系中，已知圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切，求實(shí)數(shù)a的值。解析：，圓=2cos的普通方程為：，直線3cos+4sin+a=0的普通方程為：，又圓與直線相切，所以解得：，或。5.在極坐標(biāo)系(，)(02)中，曲線2sin 與cos

8、1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)解析2sin 的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，cos 1的直角坐標(biāo)方程為x1，聯(lián)立方程，得解得即兩曲線的交點(diǎn)為(1,1)，又02，因此這兩條曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.6.已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，則曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 解析：聯(lián)立解方程組解得,即兩曲線的交點(diǎn)為。7在極坐標(biāo)系（）中，曲線與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)解析： 兩式相除得，交點(diǎn)的極坐標(biāo)為8.在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)(1,0)且與極軸垂直的直線交曲線4cos 于A、B兩點(diǎn)，則|AB|_.審題視點(diǎn) 先將直線與曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，再利用圓的知識(shí)求|AB|.【解析】注意到在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)(1,0)且與極軸垂直的直線的直角坐標(biāo)

9、方程是x1，曲線4cos 的直角坐標(biāo)方程是x2y24x，即(x2)2y24，圓心(2,0)到直線x1的距離等于1，因此|AB|22.9.直線與圓相交的弦長(zhǎng)為 【解析】是過(guò)點(diǎn)且垂直于極軸的直線， 是以為圓心，1為半徑的圓，則弦長(zhǎng)=.10.在極坐標(biāo)系中，直線sin2被圓4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)解析由sin2，得(sin cos )2可化為xy20.圓4可化為x2y216，由圓中的弦長(zhǎng)公式得：2 2 4.參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)1.參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線C上的點(diǎn)滿足，該方程叫曲線C的參數(shù)方程，變量t是參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。（在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù) 并且對(duì)于的每一

10、個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。）相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。2 曲線的參數(shù)方程（1）圓的參數(shù)方程可表示為.（2）橢圓的參數(shù)方程可表示為.（3）拋物線的參數(shù)方程可表示為.（4）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）.3在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致.規(guī)律方法指導(dǎo)：1、把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒? 常見(jiàn)的消參方法有：代入消法 ；加減消參；平方和（差）消參

11、法；乘法消參法；比值消參法；利用恒等式消參法；混合消參法等.2、把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性， 注意方程中的參數(shù)的變化范圍?？键c(diǎn)一參數(shù)方程與普通方程的互化1.把下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2)解析：(1)由已知由三角恒等式cos2 sin21, 可知(x3)2(y2)21，這就是它的普通方程(2)由已知t2x2，代入y5t中，得y5(2x2)，即xy50就是它的普通方程2.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),傾斜角，寫出直線的參數(shù)方程;解析：直線的參數(shù)方程為，即 3.極坐標(biāo)方程cos 和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是()A直線、直線 B直線、圓

12、C圓、圓 D圓、直線解析：cos x，cos 代入到cos ，得，2x，x2y2x表示圓又相加得xy1，表示直線答案D4.若直線(t為實(shí)數(shù))與直線4xky1垂直，則常數(shù)k_.解析：參數(shù)方程所表示的直線方程為3x2y7，由此直線與直線4xky1垂直可得×1，解得k6.考點(diǎn)二直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用1.已知直線l的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為2sin ，則直線l與圓C的位置關(guān)系為_(kāi)解析：將直線l的參數(shù)方程：化為普通方程得，y12x，圓2sin 的直角坐標(biāo)方程為x2(y)22，圓心(0，)到直線y12x的距離為，因?yàn)樵摼嚯x小于圓的半徑，所以直線l與圓C相交答案相交2.在平面

13、直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為幾點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知直線上兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，圓的參數(shù)方程為參數(shù)）。（）設(shè)為線段的中點(diǎn)，求直線的平面直角坐標(biāo)方程；（）判斷直線與圓的位置關(guān)系?！窘馕觥浚ǎ┯深}意知，因?yàn)槭蔷€段中點(diǎn)，則因此直角坐標(biāo)方程為：（）因?yàn)橹本€上兩點(diǎn)垂直平分線方程為：，圓心，半徑.,故直線和圓相交.3.已知曲線的極坐標(biāo)方程是以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求|的最小值解：曲線的極坐標(biāo)方程可化為,其直角坐標(biāo)方程為，即. 直線的方程為.所以，圓心到直線的距離 所以，的最小值為. 4.已知

14、曲線的極坐標(biāo)方程是，設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（）將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.解析：（1）曲線的極坐標(biāo)方程可化為： 又.所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為：.（2）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程得：令 得 即點(diǎn)的坐標(biāo)為又曲線為圓，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則5.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知圓的參數(shù)方程(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,則直線與圓的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.【解析】由題設(shè)知，在直角坐標(biāo)系下，直線的方程為，圓的方程為.，又解方程組，得或.故所求交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn)三 直線與圓錐曲線的參數(shù)方程1.

15、二次曲線(是參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析題中二次曲線的普通方程為1左焦點(diǎn)為(4,0)2. 在平面直角坐標(biāo)系中，求過(guò)橢圓（為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線（為參數(shù)）平行的直線的普通方程同步練習(xí)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A B C D2下列在曲線上的點(diǎn)是（ ）A B C D 3將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D 4化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程為（ ）A B C D 5點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ）A B C D 6極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）A一條射線和一個(gè)圓 B兩條直線 C一條直線和一個(gè)圓 D一個(gè)圓二、填空題1直線的斜率為_(kāi)。2參數(shù)方程的普通方程為_(kāi)。3

16、已知直線與直線相交于點(diǎn)，又點(diǎn)，則_。4直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)。5直線的極坐標(biāo)方程為_(kāi)。三、解答題1已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2求直線和直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，及點(diǎn)與的距離。3在橢圓上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線的距離的最小值。一、選擇題1直線的參數(shù)方程為，上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)是，則點(diǎn)與之間的距離是（ ）A B C D 2參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線3直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A B C D 4圓的圓心坐標(biāo)是（ ）A B C D 5與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為（ ）A B C D 6直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（

17、 ）A B C D 二、填空題1曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為_(kāi)。2直線過(guò)定點(diǎn)_。3點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)。4曲線的極坐標(biāo)方程為，則曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)。5設(shè)則圓的參數(shù)方程為_(kāi)。三、解答題1參數(shù)方程表示什么曲線？2 點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離。3已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),傾斜角，（1）寫出直線的參數(shù)方程。（2）設(shè)與圓相交與兩點(diǎn)，求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積。同步練習(xí)鞏固訓(xùn)練參考答案一、選擇題 1D 2B 轉(zhuǎn)化為普通方程：，當(dāng)時(shí)，3C 轉(zhuǎn)化為普通方程：，但是4C5C 都是極坐標(biāo)6C 則或二、填空題1 2 3 將代入得，則，而，得4 直線為，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)的一半為，得弦長(zhǎng)為5