論求解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)

1、論求解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在研究一元函數(shù)時(shí)，我們從研究數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的概念。對于多元函數(shù)我們同樣要研究其變化率。為了研究多元函數(shù)的變化率我們又引入了新的研究方法：求偏導(dǎo)。 下面我們來討論二元函數(shù)在某點(diǎn)處求偏導(dǎo)的基本方法和簡便方法。一般二元顯函數(shù)求解方法。例 1：求函數(shù)z=x2+3xy+y 2在點(diǎn)( 1 ， 2)處的偏導(dǎo)數(shù)。解：把 y 看成常量。得：?z?x =2x+3y?z把 x 看作常量得：?y =3x+2y?z將( 1 ， 2)代入上面的結(jié)果，就得：?x =2*1+3*2=8?z?y =3*1+2*2=7對于這種比較簡單的函數(shù)我們只要把一個(gè)未知數(shù)看成常量，然后按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公

2、式就可以很輕松的求出。但有的函數(shù)用一般的方法卻很難求出。例如 2： f(x,y)= x2+(y-1)arcsinxy ,求 f x(2,1)如果該題運(yùn)用例一的方法，將比較復(fù)雜，可采用下面的簡便方法。g(x)=f(x,1)= x2fx(2,1)=g(2)=4該種方法即：將可以看成常量的變量的坐標(biāo)代入原函數(shù)，再求導(dǎo)。其本質(zhì)還是例1 的方法但卻大大減少了計(jì)算量。小結(jié) ( 1) ： 求函數(shù) f(x,y) 在點(diǎn) ( a,b) 處的偏導(dǎo)數(shù)fx(a,b)及fy(a,b)的方法是：1) 先求出偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)式，然后將(a,b)代入計(jì)算即可。2) 先求出 g(x)=f(x,b) 和 h(y)=f(a,y), 再求

3、出g (b),h (a)便得到f x(a,b) 和fy(a,b)。3) 若函數(shù) f(x,y)是分段函數(shù)則一般采用定義來做。復(fù)合具體函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解?z基本法則：?x?z = ?u?u ?x+ ?zv?v ?x?z?z?u?z?v?y =?u?y+ ?v?y其本質(zhì)與一元函數(shù)的求導(dǎo)法則是一樣的，只不過是將暫時(shí)不求的變量看成常量而已。例 1 ： z=f(x,y)=(x+y) xy,求 f x( 1 ， 1) ， fy( 1 ， 0) ；法一：設(shè)u=x+y,v=xy, 則 z=uv 函數(shù)的復(fù)合關(guān)系為：z是 u,v的函數(shù)，u,v 分別是 x,y 的函數(shù) .?z ?z ?u ?z ?v則： ?x = ?u

4、?x + ?v ?x=xy(x+y) xy-1 +y(x+y) xyln(x+y)=y(x+y) xy (x y) +ln(x+y)xf x(x,y)= y(x+y) xy (x y) +ln(x+y)所以： f x(1,1)=1+2ln2由于 f(x,y) 的表達(dá)式中的x,y依次輪換，即x換 y成，同時(shí)將換y成x，表達(dá)式不變，這叫做函數(shù)f(x,y) 對自變量x,y 交換具有 輪換對稱性 。具有輪換對稱性的函數(shù)，只要在fx 的表達(dá)式中將x,y 調(diào)換即得到 f y。即： fy( x,y) = y(x+y) xy (xxy) +ln(x+y)所以 f y( 1 ， 0) =0在做題的時(shí)候請同學(xué)們注

5、意輪換對稱性這樣可以節(jié)省一半的計(jì)算量。法二： 由于和一元函數(shù)的求導(dǎo)的實(shí)質(zhì)是一樣的。我們可以不引入中間變量，對某一自變量求導(dǎo)時(shí)，只要把其他自變量看成常數(shù)即可。如：Lnz=xyln(x+y)上式兩邊求導(dǎo)得：1 ?zxz ?x =yln(x+y)+ (x y) ?zx從而： ?x =z yln(x+y)+ (x y) 所以： f x(1,1)=1+2ln2有函數(shù)的對稱輪換性得：f y( 1 ， 0) =0例三：我們也可以利用全微分的不變性來解題。?z ?z設(shè)z=eusin(v), 而u=xy,v=x+y 。 求 ?x + ?y 在 ( 1 ， 1 ) 處的值。dz=d(eusin(v)= eusin

6、(v)du+ eucos(v)dvdu=d(xy)=ydx+xdydv=d(x+y)=dx+dy代入后合并同類項(xiàng)得：dz=(eusin(v)y+ eucos(v)dx+( eusin(v)x+eucos(v)dy將點(diǎn)( 1， 1 )代入得：?z ?z ?x + ?y =2e(sin2+cos2).注意：利用全微分解題思路清晰，不易出錯(cuò)。是一種比較好的方法。小結(jié)( 2) ：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1) 搞清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)前明確哪些變量是自變量，哪些是中間變量。2) 求導(dǎo)時(shí)注意是哪個(gè)函數(shù)對哪個(gè)變量求導(dǎo)。3) 對某個(gè)自變量求偏導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意必須經(jīng)過所有的中間變量歸結(jié)到自變量。復(fù)合抽象二元

7、函數(shù)求導(dǎo)的方法例：設(shè)：f 可微，且w=f(x,xy,xyz), 求：wx , y , z .這里有三個(gè)中間變量，三個(gè)自變量的函數(shù)，令： u=xy,v=xyz. 則：w fx fu f ?vx =x x+ u?x + v ?xwf即： x = x +y u +yz vwff同理：y =x u +xz vwf z =xy vfwa) 注：題中x 和 x 的區(qū)別。f右邊的 x 是在函數(shù)f(x,xy,xyz) 中把 u,v 看作常量時(shí)，對x求w偏導(dǎo)。而左邊的x 是函數(shù) w=f(x,xy,xyz) 中把 y,z 看作常量，對 x 求偏導(dǎo)。二者意義區(qū)別很大。b) 但歸根結(jié)底它的本質(zhì)仍是二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。

8、 只要我們理解了二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)這類題將是最簡單的。二元隱函數(shù)的求偏導(dǎo)。y dy例： 方程 ln x2 y2 =arctan x ,求 dx解： 方法 1 ： 用公式， 設(shè)方程F( x,y) =0 確定函數(shù)y=y(x)y則： F( x,y) = ln x2 y2- arctan x 則：dy x y dx= x y方法二：方程兩邊對x 求導(dǎo)(注意：y=y(x) )得：dy x ydx= x yxyzo例二：方程組 x2 y2 z2 a2 (注： x2 為 x 的平方)法一： 題中有 3 個(gè)自變量，明確了 x=x(z),y=x(z), 既 z是自變量。我們可以利用公式求但比較繁。我們可以采用下面的方法：法二：對方程組兩邊對求z 導(dǎo)得：dx dy 1 0dz dz zxddzx 2yddyz 2z 0dx y z dy z x求得此解得：dz = x y ， dz = x y小結(jié)三：求隱函數(shù)的偏導(dǎo)時(shí)，我們一般有兩種方法選擇：1) 公式法2) 對函數(shù)兩邊直接求導(dǎo)。(但必須明確誰是誰的函數(shù))。 然后按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求。(注意選取函數(shù)時(shí)雅可比行列式不能等于0) 。我們一般采取法2。這里我們只是簡單的闡述了二元函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)的一些方法，至于其高階偏導(dǎo)