中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之輔助線添加技巧舉例

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之輔助線添加技巧舉例GE GROUP SyStem OffiCe room GEIHUA16H-GEIHUA GEIHeASQN- 中 考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)之 輔助線 添加技 巧舉例三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或 延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或兒個三角形中，再運(yùn)用三角形 三邊的不等關(guān)系證明，如：例旦知如圖I-IlDyE為AA?C內(nèi)兩點(diǎn)人求證:A±ACNBD±DE±C氐證明：(法一)將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,在ZXAMN 中，AM+AN > MD+DE+N

2、E; (1)在ABDM 中，MB+MD>BD;(2)在ACEN 中，CN+NE>CE;(3)由(1) + (2) + (3)得：AM+AN÷MB+MD÷CN÷NE>MD+DE+NE+BD + CEAB+AC>BD+DE + EC(法二：)如圖1-2,延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,在ZABF和ZGFC和AGDE中有：AB+AF> BD÷DG+GF?(三角形兩邊之和大于第三邊)(1)(2)(3)GF+FC>GE + CE (同上)DG÷GE>DE (同上)由(1) + (2) + (3)得:AB&

3、#247;AF÷GF÷FC + DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD÷DE + ECo二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：如匚如圖2-1：一旦知衛(wèi)為庇內(nèi)的任二點(diǎn)求證匹;>ZBAQ直接處于外分析：因?yàn)閆BDC與ZBAC不在同一個三角形中，沒有 的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使ZBDC 在外角的位置，ZBAC處于在內(nèi)角的位置； 證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E,這時ZB

4、DC是AEDC的 角,AZBDC> ZDEC,同理ZDEO ZBAC, A ZBDO ZBAC證法二：連接AD,并延長交Be于FV ZBDF是AABD的外角AZBDF> ZBAD,同理，ZCDF>ZCAD/. ZBDF+ZCDF> ZBAD+ ZCAD即：ZBDO ZBACo段,注意:伽三角形外角定理回丕等羞系吐-通黨將木角昨某三角形 上,小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線構(gòu)造全等三角形，如： 例如匚如圖衛(wèi)二”一已知型為麼L的史線Z且ZI =Z3 = Z4,求證：BE+CF>EFo 分析：要證BE+C

5、F>EF ,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE, CF, EF移 到同一個三角形中，而由已知ZI = Z2, Z3=Z4,可在角的兩邊截取相等的線 段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN, FN, EF移到同一個三角形中。證明：在DA上截取DN=DB,連接NE, NF,則DN=DC, 在ADBE和ADME中：DN =帥（輔助線的作法）T Zl = Z2（己知）ED = ED（公共邊）DBEDNE (SAS)BE=NE （全等三角形對應(yīng)邊相等） 同理可得：CF=NF在AEFN中EN+FN>EF （三角形兩邊之和大于第三邊）.BE+CF>EFo注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]

6、在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如匚如圖47.l1jABC的中線,_且乙1三/2,Z2L=Z4,-求證:BE±cfhef證明：延長ED至M,使DM=DE,連接CM, MFo 在ABDE 和ZXCDM 中，BD = CD仲點(diǎn)的定義）T Zl = ZCD（X4頂角相等）ED = MzX輔助線的作法）BDECDM （SAS）XV Z1 = Z2, Z3 = Z4 （已知）Zl+Z2+Z3+Z4=180o （平角的定義）Z3+Z2=90o ,即：ZEDF=90° Z

7、FDM= ZEDF =90o在ZXEDF 和 ZXMDF 中ED = M D（輔助線的作法）計(jì) ZEWFDM （己證）DF = DF（公共邊） ZXEDF 竺 ZMDF（SAS）AEF=MF （全等三角形對應(yīng)邊相等）.在ACMF中，CF+CM>MF （三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF注：上題也可加倍FD,證法同上。注意:當(dāng)涉及到有以線段蟲點(diǎn)為端點(diǎn)的線段肘,可通過延長加借此線段,構(gòu)造全等 三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1： AD為ZXABC的中線，求證：AB+AC>2ADo分析：要證 AB÷A

8、C>2AD,由圖想到：AB+BD>AD, AC + CD>AD,所以有 AB÷AC +BD+CD>AD÷AD = 2AD,左邊比要證結(jié)論多BD +ACD,故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。/02VBXd ；* EC證明：延長AD至E,使DE二AD,連接BE,則AE = 2ADTAD為ZXABC的中線（已知）ABD=CD （中線定義）在AACD和AEBD中ACDEBD （SAS）ABE=CA （全等三角形對應(yīng)邊相等）T在AABE中有：AB÷BE>AE （三角形兩邊之和大于第

9、三邊）AB+AC >2 AD o（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形） 練習(xí)：已知AABC, AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作 等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF = 2ADo 六、截長補(bǔ)短法作輔助線。M1用兩例如：已知如圖6-1：在厶ABC中,AB>AC, Z1 = Z2, P為AD上任一點(diǎn)。求證：分析：要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角 邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故 邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得 AB-AC=BN, 再連接 PN,則 PC=PN, 乂在ZiPNB 中，PBPN<

10、BN,即：AB-AC>PB-PCo證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN , 在AAPN和ZXAPC中'AN = AC（輔助線的作法）丁 Zl = Z2（已知）AP = AP（公共邊）APNAPC （SAS）APC=PN （全等三角形對應(yīng)邊相等）在ABPN中，有PB-PN<BN （三角形兩邊之差小于第三邊） BP - PC < AB-AC證明：（補(bǔ)短法）延長AC至M,使AM=AB,連接PM,在AABP和AAMP中AB = AM（輔助線的作法）* zi = Z2（已知）AP = AP（公共邊） ABP AMP （SAS）APB=PM （全等三角形對應(yīng)邊相等）又在

11、ZPCM中有：CM>PM-PC（角形兩邊之差小于第三迦.AB-AC>PB-PCo七、延長已知邊構(gòu)造三角形: 例如：如圖7-1：已知AC=BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求證：AD=BC 分析：欲證AD=BC,先證分別含有AD, BC的三角形全等,有兒種方案：AADC與BCD, ZiAOD與ABOC, ABD與ABAC,但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的 相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DA, CB,它們的延長交于E點(diǎn),義）TAD丄AC BC丄BD （已知） ZCAE=ZDBE =90°（垂直的定在ADBE與ACAE

12、中ZE = ZE（公共角）T DBE=ZCAE（已證）BD=AC（已知）WA DBECAE （AAS）ED=EC EB = EA （全等三角形對應(yīng)邊相等）AED-EA=EC-EB即:AD=BCO（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1： AB/7CD, ADBC求證：AB=CDO分析:圖為四邊形,我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識,必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解 決。、證明：連接AC （或BD）ABCD AD BC（已知）Z1 = Z2, Z3=Z4 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在AABC與ZXCDA中Z1

13、= Z2（B® IAC = CA（公共邊）Z3 = Z4（已證） ABCCDA （ASA）AB=CD （全等三角形對應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如 L如圖 9-1人在-RtAA?C 史,.J=AC2 ZBAG=90°,一,Zr=Z2,CE 丄ED的延長于E o求證：BD=2CE2CE,同時長。分析:要證BD = 2CE,想到要構(gòu)造線段證明：分別延長BA，CE交于點(diǎn)F。TBE丄CF（己知）CE與ZABC的平分線垂直，想到要將其延 ZBEF=ZBEC = 90° （垂直的定義）在ABEF與ABEC中，Zl = ,2（己知）T）BE=B

14、E（公共邊）ZBEF=ZBEe（己證）BEFBEC （ASA） ACE=FE=-CF （全等三角形對應(yīng)邊相等）2V ZBAC=90o BE 丄 CF （已知）ZBAC= ZCAF = 90o Zl + ZBDA=90o Zl + ZBFC=90o /.ZBDA=ZBFc在AABD與AACF中ABDACF （AAS） ABD=CF （全等三角形對應(yīng)邊相等）BD = 2CE 十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如已知L如圖Io-LLAC、_BD相交壬Q點(diǎn),且ABm）CnAe=BD-求證JZA=Zpo分析：要證ZA= ZD,可證它們所在的三角形AABO和ADCO全等，而只有AB=DC 和對頂角兩個條件

15、，差一個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等， 由AB=DC, AC=BD,若連接BC,則AABC和ADCB全等，所以，證得ZA=ZDC證明：連接BC,在AABC和ADCB中 AB = DC（已知）T 、AC=DB（已知）BC = CBi公共邊）ABCDCB （SSS） ZA= ZD （全等三角形對應(yīng)邊相等）十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 11-1： AB=DC, ZA=ZD 求證：ZABC=ZDCB<> 分析：由AB=DC, ZA=ZD,想到如取AD的中點(diǎn)N,連接NB, NC,再由SAS公理 有厶ABNDCN,故 BN=CN, ZABN=ZDCNo 下面只 W

16、iiEZNBC= ZNCB,再取 BC 的中點(diǎn)M,連接MN,則由SSS公理有 NBMNCM,所以ZNBC=ZNCBo問題得 證。證明：取AD, BC的中點(diǎn)N、M,連接NB，NM,AN=DN, BM=CM,在ZABN 和 ADCN 中T.ABNDCN （SAS） ZABN= ZDCNNB=NC （全等三角形對應(yīng)邊、角相等）在ANBM與ANCM中NB=NC（LL 證）, BM=CM（輔助線的作法）NM=NM （公共邊） NMBNCM, （SSS） AZNBC=ZNCB （全等三角形對應(yīng)角相等） ZNBC+ZABN = ZNCB+ ZDCN 即 ZABC= ZDCBO巧求三角形中線段的比值例 1.如

17、圖 1, ABC 中，BD： DC=I: 3, AE： ED=2： 3,求 AF： FCO解：過點(diǎn)D作DG/AC,交BF于點(diǎn)G所以 DG： FC=BD: BC因?yàn)?BD： DC = I: 3 所以 BD： BC=I: 4A即 DG： FC=I: 4, FC = 4DG7* 因?yàn)?DG： AF=DE: AE 又因?yàn)?AE： ED = 2: 3所以 DG： AF = 3： 2所以 AF： FC= 3: 4DG=1: 6例 2 一如圖 2lBC=CDaAF=匹,求 BlkFD解：過點(diǎn)C作CG/DE交AB于點(diǎn)G,則有EF： GC=AF: AC L因?yàn)锳F = FC所以 AF： AC = I: 2因?yàn)?

18、CG： DE=BC: BD又因?yàn)锽C=CDEF = -CJC即 EF： GC=I: 2,2所以 BC： BD=1： 2CG： DE=1： 2即DE =2GCA2gc-IgC=IGC因?yàn)?FD = ED-EF=22 所以 EF： FD= B汽 22小結(jié):以上兩例史,J助線都隹在了“旦知”條件中出現(xiàn)的兩條匚知I線段旳交點(diǎn)處,且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧 f _ Ya V Ca Q Y L 1 * 亠P 亠 y- 亠 L 亠 L Y Y 亠 n4 一 L一 亠亠 亠 亠 m ieH 一 * 嚴(yán)* 亠 妙!例 3如圖 3, BD： DC=I: 3, AE： EB

19、=2: 3,求 AF： FDo解：過點(diǎn)B作BG/AD,交CE延長線于點(diǎn)G。所以 DF： BG=CD: CB因?yàn)?BD： DC = I: 3 所以 CD： CB = 3： 4即 DF： BG=3： 4,df=2bg4因?yàn)?AF： BG=AE: EB 又因?yàn)锳E： EB = 2： 3所以 AF： BG=2： 3所以AF： DF=和-5G=8； 94例 4.如圖 4, BD： DC=I: 3, AF=FD,求EF： FCO解：過點(diǎn)D作DG/CE,交AB于點(diǎn)G所以 EF： DG=AF: AD因?yàn)锳F = FD所以 AF： AD=I: 2即 EF： DG=I: 2因?yàn)?DG： CE=BD:BC,又因?yàn)?

20、BD： CD = I: 3,所以 BD： BC = I: 4即 DG： CE=I: 4, CE = 4DGADG-DG=-DG因?yàn)?FC = CE-EF=22-DGi所以 EF： FC= 2練習(xí):L. 5L BP=PC, AE： ED=IM5求處:一 FB。2：如圖 虹ADLDB=IL3 JEC=吐丄,求BFL匹。答案：1、1： 10；2. 9： 1二由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平 分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相 等。對于有角平分線

21、的輔助線的作法，一般有兩種。 從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線； 利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考 慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。試與們能與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等兒何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)按一定的規(guī)律去嘗試。下掌握相關(guān)的兒何規(guī)律，在解決兒何問題中大膽地去猜想, 面就兒何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。A如圖 1-1, ZAOC=ZBOC,如取 OE二0F,并連接DE、DF,則有 OED仝Z0FD,從而為我們證明

22、線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1如圖1-2, ABCD, BE平分ZBCD, CE平分ZBCD,點(diǎn)E在AD上，求證：BC二AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利 用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線 段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長 的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相 等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某 條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF二AB,再證明CF二CD,從而達(dá)到

23、證明的 目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自己證明。此題的 證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2已知：如圖 1-3, AB二2AC, ZBAD=ZCAD, DA=DB,求證 DC丄AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造A的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。爪例3 已知：如圖1-4,在ZXABC中，ZC二2平分ZBAC,求證：AB-AC-CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在 中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線D 圖1一4和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。 試試看可否把短的延長來證

24、明呢？練習(xí)1. 已知在AABC 中，AD 平分ZBAC, ZB=2ZC,求證：AB+BD=AC2. 己知：在AABC 中，ZCAB=2ZB, AE 平分ZCAB 交 BC 于 E, AB=2AC, 求證：AE=2CE3. 己知：在AABC中，AB>AC, AD為ZBAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。 求證：BM-CM>AB-AC4. 已知：D是ZXABC的ZBAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DCo 求證：BD+CD>AB+ACo（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊葩離相等的性D=B質(zhì)來證明問題。例1 如圖 2

25、-1,己知 AB>AD, ZBAC=ZFAC, CCo求證：ZADC+ZB二 180?分析：可由C向ZBAD的兩邊作垂線。近而證ZADC與ZB之和為平角。例2 如圖 2-2，在ZABC 中，ZA二90?, AB=AC, ZABD=ZCBDo求證：BC=AB+AD分析：過D作DE丄BC于E,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出問全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分 題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。于占例3已知如圖2-3, ABC的角平分線BM、CN相交PO求證：ZBAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP,證AP平分ZBAe即可,B、AC的距離相等。練習(xí)：1. 如圖 2-4ZAOP=ZBO

26、P=I5?, PC/0A,如果 PC二4,則 PD二()到A丄OA,A 4 B 3 C 22.已知在ZABC中，ZC二90?, AD 平分ZCAB, CD=1.5,DB二2. 5.求 AC。A3.己知：如圖2-5,ZBAC=ZCAD, AB>AD, CE丄AQzX氏b/圖2-5AE= 2 (AB+AD).求證：ZD+ZB=180?o4. 已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，ZFAE=ZDAEo 求證：AF=AD+CF5. 己知：如圖 2-7,在 RtABC 中，ZACB二90?, CD丄AB,垂足為 D, AE 平分ZCAB交CD于F,過F作FH/AB交

27、BC于H。求證CF=BHO(三) ：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等 腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中 位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線 段，則延長該線段與角的另一邊相交)。D, H可證。例 1.己知：如圖 3-1, ZBAD=ZDAC, AB>AC, CD丄AD 于 是BC中點(diǎn)。求證：DH=I (AB-AC)分析：延長CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題例2已知：如圖3-2, AB=AC, ZBAe二90?, AD為ZABC的平分線，CE

28、丄BE.求證：BD=2CEo分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與 另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ZXABC中，AD、AE分 別ZBAe的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD,交 AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=MEo分析：由AD、AE是ZBAC內(nèi)外角平分線，可得EA丄AF,從而有BF/AE,所以 想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4,在ZXABC中，AD平分ZBAC, AD=AB, CM丄AD交AD延 長線于M。求證：AM二(AB+AC)分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換，作A

29、ABD關(guān)于AD的對稱AAED,然后只需證DM= yEC,另 外由求證的結(jié)果AM= y (AB+AC),即2AM=AB+A C,也可嘗試作AACM關(guān)于CM的對稱AFCM,然 后只需證DF=CF即可。練習(xí):1. 已知：在AABC中，AB=5, AC=3, D是BC中點(diǎn)，AE是ZBAC的平分 線，且CE丄AE于E,連接DE,求DE。2 已知BE、BF分別是AABC的ZABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF丄BF于F, AE±BE于E,連接EF分別交AB、AC于M、N,求證MN=IBC（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三 角

30、形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而 也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。2.已知：如圖，AB二2AC, ZI二Z2, DA二DB,3.已知CE、AD是AABC的角平分線,4.已知：如圖在AABC 中,ZA二90° , AB=AC,BC=AB-AD三由線段和差想到的輔助線 口訣:線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補(bǔ)短法:1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于 另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線

31、段 等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三 邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或兒個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、己知如圖IT： D、E為ZiABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AOBD+DE+CE.圖1一1證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,在 AAMN 中，AM+AN>MD+DE+NE: (1)在ABDM 中，NfB÷MD>BD; (2)在ZXCEN 中，CN+NE

32、>CE; (3)由(1) + (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CEABF和AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G,在厶GFC和AGDE中有：AB+AF>BD+DG+GF （三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FOGE+CE (同上)(2)DG+GE>DE (同上)(3)由(1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG于GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+ECo二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直

33、接證不出來時，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位 置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：己知D為AABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證:ZBDC>ZBAC。殛：因?yàn)閆BDC與ZBAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使ZBDC處于在外角的位置，ZBAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E,這時ZBDC是AEDC的外角， ZBDOZDEC,同理ZDEOZBAC, ZBDOZBAC證法二：連接AD,并廷長交BC于F,這時ZBDF是AABD的外角，A ZBDF>ZBAD,同理，ZCDF>

34、ZCAD, ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD,即：ZBDOZBACo注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角 位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,如：例如：如圖3-1：已知AD為AABC的中線,且2, Z3=Z4,求證:BE+CF>EF°殛I：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE, CF, EF移到同一個三角形中，而由己知Z1=Z2,Z3=Z4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN, FN, EF

35、移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN二DB,連接NE, NF,則DN二DC,在 ZXDBE 和 ANDE 中：-DN=DB （輔助線作法）Z1=Z2 （已知）ED=ED （公共邊）DBENDE （SAS）ABE=NE （全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在AEFN中EN+FN>EF （三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EFo注意：當(dāng)證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：己知如圖6-1：在ZXABC中，AB>AC, Z1=Z2, P為AD上任一點(diǎn)求證:AB-AOP

36、B-PCo分析|：要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C 的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB 上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再連接PN,貝IJ PC=PN,又在ZPNB中，PB- PN<BN,即：AB-AOPB-PCo證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在AAPN和AAPC中'AN二AC （輔助線作法）Z1=Z2 （己知）AP=AP （公共邊）APNAPC （SAS） , APC=PN （全等三角形對應(yīng)邊相等）在ABPN中，有PB-PN<BN （三角形兩邊之差小于第三邊）BP-P

37、C< AB-ACM證明：（補(bǔ)短法）延長AC至M，使AM二AB，連接PW在AABP和AAMP中'AB二AM （輔助線作法）ZI=Z2 （己知）AP=AP （公共邊） ABP ANT （SAS）APB=PM （全等三角形對應(yīng)邊相等）又I在APCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）AB-AC>PB-PC O例 1如圖，AC 平分ZBAD, CE丄AB,且ZB+ZD二 180°，求證：AE二AD+BE。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZBAD, CE丄E BAB=AC,求證：ZADC+ZB=180oD例3已知：如圖，等腰三角形ABC中,ZA=I

38、O8o , BD 平分 ZABCo求證：BC=AB+DC o例4如圖，已知RtABC中，ZACB=90o , AD是ZCAB的平分線，DM丄AB于丄M,且 AM二MB。求證：CD= 2 DBo1. 如圖，ABCD, AE、DE 分別平分ZBAD 各ZADE,求證：AD二AB+CD?？谠E：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線二在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三 角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等 腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角

39、形即如圖1, AD是AABC的中線，則SAAro=SA>= 2 SABC （因?yàn)锳ABD與ACD是 等底同高的）。例1.如圖2, ABC中，AD是中線，延長AD到E,使DE二AD, DF是ADCE的 中線。已知ABC的面積為2,求：CDF的面積。解：因?yàn)锳D是ABC的中線，所以Sacd=SaBC=I ×2=1,又因CD是ACE的 中線，故 S , CDE=S ACD= 1 ,因 DF 是 CDE 的中線，所以 Scdf=Scde=×1=o厶乙厶ACDF的面積為十。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD, E、F分別是BC、A

40、D的中點(diǎn)，BA> C D的延長線分別交EF的延長線G、HO求證：ZBGE=ZCHEO證明：連結(jié)BD,并取BD的中點(diǎn)為M,連結(jié)ME、MF,TME是ABCD的中位線，.ME"丄CD, ZMEF=ZCHE,=2TMF是ABD的中位線， MF/-AB, ZMFE=ZBGE,=2TAB二CD, ME=MF, A ZMEF=ZMFE,從而 ZBGE-ZCHEO（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3.圖4,已知ABC中，AB二5, AC二3，連BC上的中線AD二2,求Be的長。 解：延長 AD 到 E,使 DE二AD,則 AE二2AD二2 X2二4。在AACD和EBD中，VAD=ED, ZADe二

41、ZEDB, CD=BD, ACD EBD, AC=BE,從而 BE=AC=3 o在 ABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2,故 ZE二90° ,BD二sE2 + DS2 - J2 + 22 二価，故 BC二2BD二213。例4.如圖5,己知ABC中，AD是ZBAC的平分線，AD又是BC邊上的中圖5線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長AD到E,使DE=ADO仿例3可證： BED CAD,故 EB二AC, ZE-Z2,XZI=Z2,AZI=ZE,AB=EB,從而AB=AC,即AABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6,已知梯形ABCD中，ABD

42、C, AC丄BC, AD丄BD 求證：AC=BDo分別為Rt證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,則DE、CEABD, Rt ABC 斜邊 AB 上的中線，故 DE=CE=-AB,2= ZDCEoVAB/DC,ZCDE=Z1, ZDCE=Z2,Z1=Z2,在AADE和BCE中，VDE=CE, Z1=Z2, AE二BE,A ADE ABCE, AD=BC,從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BDO（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6.如圖7, ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90o , BD平分ZABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD,交BD的延長線于點(diǎn)EO求證：BD二2C

43、EO證明：延長BA, CE交于點(diǎn)F，在ABEF和ABEC中,VZI=Z2, BE二BE, ZBEF-ZBEC=90° , BEF BEC,EF=EC,從而 CF=2CE。又Zl+ZF=Z3+ZF=90o ,故Zl=Z3o在 ABD 和 AACF 中，VZI=Z3, AB=AC, ZBAD=ZCAF=90° , ABD ACF, BD=CF, .BD二2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得 到全等三角形。FO在厶例一：如圖 4-1： AD 為A

44、ABC 的中線，且Zl-Z2, Z3=Z4,求證：BE+CF>EFO證明：廷長ED至M,使DM二DE,連接Cx MBDE 和 ACDM 中，BD二CD （中點(diǎn)定義）Z1=Z5 （對頂角相等）ED=MD （輔助線作法）BDECDM （SAS）又VZI=Z2, Z3=Z4 （己知）Zl+Z2+Z3+Z4=180o （平角的定義） Z 3+Z 2=90°即：ZEDF=90° ZFDM二 ZEDF二90°在AEDF和ZXMDF中ED=MD （輔助線作法）ZEDF=ZFDM （已證）DF=DF （公共邊）EDFMDF （SAS）AEF=MF （全等三角形對應(yīng)邊相等）在

45、ACMF中，CF+CM>MF （三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍FD,證法同上。¾ 當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造 全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1： AD為ZXABC的中線，求證：AB+AC>2AD°分析：要證 AB+AO2AD,由圖想到：AB+BD>AD, AC+CD>AD,所以有 AB+AC÷BD÷CD>AD+AD=2AD,左邊比要證結(jié)論多BD+CD,故不能直接證出此題，而由2AD想到要 構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角

46、形中去證明：延長AD至E,使DE二AD,. AD為AABC的中線（已知）ABD=CD （中線定義）在AACD和ZEBD中BD=CD （己證）Z1=Z2 （對頂角相等）AD=ED （輔助線作法）ACDEBD （SAS）ABE=CA （全等三角形對應(yīng)邊相等）在AABE中有：AB+BE>AE （三角形兩邊之和大于第三邊）AB÷AC>2ADo練習(xí)：1如圖，AB=6, AC=8, D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。如圖，AB=CD,找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩

47、個三角形相等;(3) 從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等;(4) 若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： 延長中線構(gòu)造全等三角形； 利用翻折，構(gòu)造全等三角形； 引平行線構(gòu)造全等三角形； 作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題， 思維模式是全等變換中的“對折”.2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全 等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用 的思維模式是三角形全

48、等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定 理或逆定理.4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式 是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段 相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì) 加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn) 的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答（一）、倍長中線（線段）造全等1：（ “希望杯”試題）已知，如圖AABC中，AB二5, AC二3,則中線AD的取値范圍

49、是D CF與EF的大小3：如圖，ZXABC 中，BD=DC二AC,2：如圖，ZXABC中，E、F分別在AB、AC ±, DE丄聽D是中點(diǎn),試比較BE+C B中考應(yīng)用（09崇文二模）以A3C的兩邊M為腰分別向外作等腰RtWQ和等腰RIAACEf ZBAD = ZcAE = 90。,連接 W、N分別是龐、的中點(diǎn).探究：AM與D 疋的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（I）如圖當(dāng)ABC為直角三角形時，與的位置關(guān)系是線段如/與的數(shù)量關(guān)系是（2）將圖中的等腰RtAABD繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)礦（Ke90）后，如圖 所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.（二）、截長補(bǔ)短1. 如圖，AABC中

50、，AB=2AC, AD 平分ZBAC,且 AD二BD,求證：CD±AC（08海淀一模）（三）、平移變換1. AD為AABC的角平分線，直線MN丄AD于A. E為MN上一點(diǎn)，ZABC周長記為BD匕,AEBC周長記為匕.求證PR.2：如圖，在AABC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且BD=CE,求證：AB+AOAD+AE.（四）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在AABC中，ZB二60° , ABC的角平分線AD, CE相交于點(diǎn)0,求證：OE=OD2：（06鄭州市中考題）如圖，ABC中,G丄Be且平分BC, DE丄AB于E, DF丄AC于說明BE二CF的理由；（2）如果AB",

51、AC的長.中考應(yīng)用（06北京中考）如圖OP是乙MoN的平分線，請你利用該圖形畫一對以少 所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問 題：（1）如圖，在磁中，ZACB是直角，Zj5=60o , AD.少分別是ZBAa ZM 的平分線，AD. 6F相交于點(diǎn)尸。請你判斷并寫出屜'與之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在遊中，如果ZM仿不是直角，而（1）中的其它條件不變,請問,由。你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立,當(dāng)ZMDV繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE = CF時(如圖1),易證AE+CF = EF .當(dāng)ZMBV繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是 否

52、成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF, EF又有怎樣的數(shù)量關(guān) 系？請寫出你的猜想，不需證明.如圖，當(dāng)ZAPB=45°時，求AB及PD的長;(2)當(dāng)ZAPB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)ZAPB的大小(09崇文一模)在等邊MBC的兩邊AB、Ae所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N, D為MBC外一點(diǎn)，且ZMDN = 60°, ZBDC = 120°, BD二DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM. NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及MMN的周長Q與等邊A3C的周 長L的關(guān)系圖1圖2(I) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC ±,且D

53、M-DN時，BM> NC> MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時¥=(II) 如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC ±,且當(dāng)DMDN時，猜想(I)問的兩個結(jié) 論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明;(IlI)如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時,若AN",貝IJQ二 (用兀、L表示)六梯形的輔助線口訣：；形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂凇Ｆ揭蒲?，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的兒種輔助線的

54、作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn) 化為三角形、平 行四邊形。平移對角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線與腰中點(diǎn)連線。（一）.平移1、平移一腰:例1如圖所示，在直角梯形ABCD中，C, AD=15, AB=16, BC = 17.求 CD 的長.解：過點(diǎn)D作DEBC交AB于點(diǎn)E.ZA=90o , ABD乂 ABCD,所以四邊形BCDE是平行四邊形所以 DE=BC=17, CD=BE.在RtDAE中，由勾股定理，得Al_BEAE2=DE2-AD2,即 AE2 = 172-152 = 64.所以AE = 8.所以 BE=AB-AE = I6-8=8.即 CD=S.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=S,腰AD=4,求另一腰BC的取值 范圍。解：