(完整版)高等數(shù)學(xué)測(cè)試題及詳細(xì)解答復(fù)習(xí)用好

1、高等數(shù)學(xué)單元測(cè)試及詳細(xì)解答陸航學(xué)院數(shù)理教研室編第一單元函數(shù)與極限1第一單元 函數(shù)與極限測(cè)試題詳細(xì)解答 5第二單元導(dǎo)數(shù)與微分10第二單元導(dǎo)數(shù)與微分測(cè)試題詳細(xì)解答 12第三單元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 16第三單元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答 19第四單元 不定積分24第四單元 不定積分測(cè)試題詳細(xì)解答 26第五單元 定積分31第五單元 定積分測(cè)試題詳細(xì)解答 33第六單元 定積分的應(yīng)用 37第六單元 定積分的應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答 40第九單元 重積分42第九單元 重積分測(cè)試題詳細(xì)解答 46第十章曲線積分與曲面積分 50第十單元 曲線積分與曲面積分測(cè)試題詳細(xì)解答 54第十二單元 微分方程60第十二

2、單元 微分方程單元測(cè)試題詳細(xì)解答 63第一單元函數(shù)與極限一、填空題第125頁1、x 已知“sin)1 cosx ,貝U f(cosx)2、lim (x x(1 x )3、x 0時(shí)，tanx sinx是x的 階無窮小。4、lim xk sin 1 0 成立的 k 為。x 0 x5、lim exarctanx。xex1x0 .6、f(x)e,x0在x0處連續(xù)，則b。xb,x0ln(3x 1)7、 lim °x 0 6x8、設(shè)f(x)的定義域是0,1,則f (ln x)的定義域是 9、函數(shù)y 1 ln(x 2)的反函數(shù)為 10、設(shè)a是非零常數(shù)，則lim (左色)x 。x x a111、已知

3、當(dāng)x 0時(shí)，(1 ax2)3 1與cosx 1是等價(jià)無窮小，則常數(shù) a 3x 12、函數(shù)f(x) arcsin的te義域是 。1 x13、lim 7x2 Jx2 2。 n14、設(shè) lim (x 2a)x 8 ,則 a 。 x x a15、 lim (VnVn 1)(yn 2 而)=n二、選擇題1、設(shè)f(x), g(x)是 l,l上的偶函數(shù)，h(x)是l,l上的奇函數(shù)，則 中所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。(A)f(x)g(x)； (B) f (x) h(x)； (C) f (x)g(x) h(x)； (D) f (x)g(x)h(x)。一1 x , .3.2、(x)，(x) 1 3/x ,則當(dāng) x 1

4、時(shí)有1 x(A) 是比高階的無窮小;(B) 是比低階的無窮小;(C) 與是同階無窮?。?D) 3、函數(shù)f (x)1 x 131 x 1kx 0(x1)在x 0處連續(xù)，則kx 032(C) 1;(D) 0。(A) j (B)一;234、數(shù)列極限 lim nln( n 1) ln n (A) 1;(B)1;(C);(D)不存在但非5、 f(x)sin x x x01 xcos-0是f (x)的x(A)連續(xù)點(diǎn)；(B)可去間斷點(diǎn)；(C)跳躍間斷點(diǎn);(D)振蕩間斷點(diǎn)。6、以下各項(xiàng)中f(x)和g(x)相同的是(2(A) f (x) lg x , g(x) 2lg x ;(B)f(x)2x, g(x) Vx

5、 ;(C) f (x) 3 x4x3，g(x)x3/x1 ;(D)f (x),、2,2g(x) sec x tan x。sin x7、 lim 一 x 0 | x |(A)1;(B)-1 ；(C)0；(D)不存在。18、xm0(1 x)x(A)1;(B)-1 ；(D)9、f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是limX x0f(x)存在的(A)充分必要條件；(B )充分條件;(C)必要條件；(D)既不充分也不必要條件10、lim x( . x2 1 x)x(A)1；(B)2;(C)(D)0。11、設(shè)an，bn，Cn均為非負(fù)數(shù)歹U,lim an n0, lim bnn1,lim Cn,則必有()n(

6、A) anbn對(duì)任意n成立;(B)bnCn對(duì)任意n成立;(C)極限lim anCn不存在； n(D)極限lim bnCn不存在。 n12、當(dāng) x1時(shí),x2 1函數(shù)x-1ex 1177的極限()(A)等于2 ;三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限(C)為；(D)不存在但不為(1) limn2 sin(2), cscxlimx 0cot x(3) limx1 x(ex1);(4)lim 2x-x 2x 13x(5) lim28cos x 2cosx 1x cosxlimx 0J1 xsin x Jcosxxtan xlimnn(n 1)(8)ln(1 3 2 x)arctan3/4 x23、試確定a,b之

7、值，使limxax4、利用極限存在準(zhǔn)則求極限123(1) limn設(shè)x1xn5、討論函數(shù)f(x)x.n lim n n.a(n1,2,)，證明lim xn存在，并求此極限值。 nx二的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。 n6、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，且a f (x) b ,證明在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使f()、填空題1、c .22sin x 。f(x)2、3、高階。4、5、6、7、8、9、第一單元函數(shù)與極限測(cè)試題詳細(xì)解答xf(sin-) 12-22x f (cos x)-2.(4 3x)lim2x x(1 x2)(12 x2sin -) 2 2sin2c2c 22 cos x 2sin

8、x。- 2_-9x 24 x 16lim3x x xtan x sin x lim lxm00。tan x(1 cosx)lim (1 cosx) 0x 0'tanx,1 ，sin 一為有界函數(shù),xlimx10、e2a11、alim(1x 0sin x是x的高階無窮小。所以要使lim xk x 0ex arctanx 0Pm f（x）河依f(0) b, b0 6x根據(jù)題意2。x ey原式= lim (1x由(1ax12)3cosx 1可得 a.1sin 一 x(limx0,b) b3x lim x 06xln(x2),2,只要limx 00,arctan xlimx 0f(x)0,即

9、k 0。!im(e1) 2,”)a1 ax2)3limln x(ya x 2a2a x a1 1ax31 2ax31 2 一 x21)ln(x2ae 。2與 cosx所以ln( x2),ey2）的反函數(shù)為2。以及12、由反三角函數(shù)的定義域要求可得13、14、15、解不等式組可得limnlim nln2二、選擇題1、選（D）F( x)2、lim x 1(13、(A)4、(B)5、6、選（C ）2x2 xlimn2 (x2 2)2x20。(x2 2f （x）的定義域?yàn)閤 2a x lim()x x a3a ln 8 alim nlimnlim (1 x1 , c ln 833ax a 3ax _)

10、 3a x a aln2312(1；1). n/2 1n令 F(x) f (x)g(x)h(x),由lim nx2x23a e2)(_x2 22x2 2x2 2)n 1) 2"*）"陵）是l,l上的偶函數(shù),。刈是l,l上的奇函數(shù),f ( x)g( x)h( x) f(x)g(x)h(x) F(x)。1 x1x) - (1 x)3limx 0limxf(0在（A）中f(x)nln( nf(x)lxm1lim(1 x)(1(1x)1 31 (1 x)1x1叭31 x1) In nf(0 )limx1xlim -2x 0 1x31 ln(1 -)nln x2的定義域?yàn)閒(0) 0

11、x 0,而 g(x) 21nx 的定義域?yàn)?x 0, f (x) g(x)故不正確在(B)f(x) x的值域?yàn)?2),g(x) Jx2的值域?yàn)閤 0,故錯(cuò)在(C)中f(x) 1的定義域?yàn)镽 g(x)2sec x tan x的定義域?yàn)閤 R, xf(x)g(x),故錯(cuò)7、選(D)limx 0sin xsin xlim |x|limsin x|x|sin xlim1x 0 xlimx 0sin x -不存在|x|8、選(D)lxm0(11 x)x1im1 (x 0(x) x1)9、選(C)由函數(shù)極限的局部有界性定理知,limx Xof(x)存在，則必有xo的某而f (x)在x0的某一去心鄰域有界不

12、一定有l(wèi)im f (x)存在，例如x Xolim sin1, x 0 x心鄰域使 f(x)有界,11 sin 1 有界，x但在x 0點(diǎn)極限不存在10、選(C)limx(.x2 1xx)lim x x(.x21 x)( 一 x2 1 x)limxxx2 1 x11、因?yàn)橛袛?shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列“當(dāng)況，不可能得出“對(duì)任意 n成立”的性質(zhì)。(O 也明顯不對(duì)，因?yàn)椤盁o窮小無窮大”是未定型，極限可能存在也可能不存在。n充分大時(shí)”的情12、選(D)limx 1ex 11lim (x 1)e72x 12 x lim x 1 xlimx 1(x11)ex-'當(dāng)x 1時(shí)函數(shù)沒有極限, 三、計(jì)算

13、解答1、計(jì)算下列極限：也不是(1)解：lim 2n sin xr n2lim 2n ncscx cot x(2)解：hmx2n 11sin x2x。cosx sin xx1 cosx limx 0 xsin xlim x x1(3)解：lim x(ex 1)x(4)解：iim(2x_)3xx 2x 1lim (1 2)3xx 2x 1lim (1 x1 12 2n3 °lim 1x1 x 1 311 3?) 2 lim1-7)21x1x x 22(5)解:28 cos x 2cosx 1lim2x _ 2 cos x cosx 13(2 cos x 1)( 4 cosx 1) lim

14、 x _ (2cosx 1)(cosx 1)2。1 xsin x cosxxtanx(.1 xsin x cosx)4cosx 1 limx _ cosx 131 xsin x . cosx(6)斛：limx 0 xtanxlimx 0xsinx 12x2cosxlimxsin x2x2limx 01 cosx2x2(7)解：limx 12 2 3n(n-1)lim(1xlim (1x(1n)3 2_xTx2(8)解:ln(1 3 2 x)limx 111 n arctanV4 x22/2/2x 1x 1 ax (a b)x b3、斛： lim ( ax b) lim x x 1xx 1lim

15、x(1 a)x2 (a b)x (1 b)x 113。2,111114、(1) . 12 3 n n 11 12 3732而 lim , 1 1 lim 1 x n 1x(2)先證有界(數(shù)學(xué)歸納法)n 1 時(shí)，x2ax1設(shè)n k時(shí)，xkXkaxka2數(shù)列Xn有下界,再證4單調(diào)減,Xn 1xnXn 0xn則有5、解:xnXnXn即Xn單調(diào)減,先求極限得 f(X)lim Xn存在, n(舍)或A a2x n lim Fn n設(shè)limnlimnXnXnA,lim f (x)X 0limX 0f(X)f(0)f(X)的連續(xù)區(qū)間為,0)(0,0為跳躍間斷點(diǎn).o6、解:令 F(x) f(X)F(x)在a,

16、 b上連續(xù)而 F(a) f (a)F(b) f(b)由零點(diǎn)定理,即f()，亦即f(第二單元導(dǎo)數(shù)與微分二、單項(xiàng)選擇11、設(shè)曲線y 和y x2在它們交點(diǎn)處兩切線的夾角為，則tan =()。x(A)1；(B) 1；(C)2;(D)3。k .3、函數(shù) f(x)e x，且 f(Ne，則 k()。1，、八(A)1;(B)1;(C) ;(D) 2。24、已知f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且 lim f(1 x) f2,則曲線y f (x)在(1,2)處切線的方程x 0 2x(A) y 4x 6；(b) y 4x 2；(C) y x 3；(d) y x 1。22 ,、5、設(shè)f (x x) f (x) f(x)可導(dǎo)，

17、則 lim -=x 0x(A)0；(B) 2f(x)； (C)2f (x);(D) 2f(x) f(x)。6、函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，且f (x) f (x)2,則f(x)=。(A) nf(x)n1； (B) n!f(x)n1； (C) (n 1) f (x)n1 ； (D) (n 1)!f(x)2。7、若 f(x) x2,則 lim f (x0 2 x)f(x=()x 0x(A) 2x0;(B) x0；(C) 4x0；(D) 4x。8、設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處存在f (x0)和f (x0),則f (x0)f (x0)是導(dǎo)數(shù)f (x0)存在的()(A)必要非充分條件；(B)充分非必要條件；

18、(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件。9、設(shè) f(x) x(x 1)(x 2) (x 99)則 f(0)()(A) 99;(B)99 ;(C) 99!;(D)99。10、若 f(u)可導(dǎo)，且 y f( x2),則有 dy ()2222、.(A) xf ( x )dx ； (b) 2xf ( x )dx ； (C) 2 f ( x )dx； (D) 2xf ( x )dx。11、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f'(0) 0,則存在 0,使得()(A) f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加;(B) f(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)減少;(C)對(duì)任意的x (Q )有£3f(0); (D)對(duì)任意的

19、x (,0)有f(x) f(0)。21x Sin 一12、設(shè) f(x)xax bx 0 ., 一0在x 0處可導(dǎo)，則(x 0(A) a 1,b 0 ；(B) a 0,b為任意常數(shù);(C) a 0, b 0 ；三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題sin21(1) y e x,求 dy ；(C) a 1,b為任意常數(shù)。(2)lntt3d2y dx2(3) x arctanydx2(50)(4) y sin xcosx，求 y ；(5)y (六;求y ；(6) f (x) x(x 1)(x 2) (x 2005),求 f(0); f (x) (x a) (x),(x)在x a處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求f (a)

20、、f (a)；-，一，一， 八-,d(8)設(shè)f(x)在x 1處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f(1) 2 ,求limf (cosx 1)。x 1 dx2、試確定常數(shù)a,b之值，使函數(shù)f(x)b(1 sin x) a 2 xaxe 10處處可導(dǎo)。0500米空中時(shí),f (x)。3、證明曲線x2 y2 a與xy b ( a,b為常數(shù))在交點(diǎn)處切線相互垂直。4、一氣球從距離觀察員 500米處離地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當(dāng)此氣球上升到問觀察員視角的傾角增加率為多少。5、若函數(shù) f (x)對(duì)任意實(shí)數(shù) ?2有 f (x1 x2) f (x1) f (x2),且 f (0) 1 ,證明 f (x)6、求曲線

21、y x3 3x2 5上過點(diǎn)(1, 3)處的切線方程和法線方程。第二單元導(dǎo)數(shù)與微分測(cè)試題詳細(xì)解答、選擇題1、選（D）1由y X2y x5、選（D）-2- 2lim f (X X)f (X)X 0Xf2(x)2f(x) f (x)i ,9父點(diǎn)為(1,1) , ki(-) |x 11 , k2(x2) |x 1 2Xtan |tan( 21) I I 2 I 31k1k23、選(c) f (x) etan X ktank 1 x sec2x1由 f() e得 e k 2 e k -42f (1 x) f(1) f ( 1 x) f( 1)4、選(A)由 hm limX 0 2xX 02xlim0 f

22、( 1 X) f( 1) ( ：)f ( 1) ( f 2 f ( 1) 4X 0x22切線方程為：y 2 4(x 1)即y 4x 66、選(B) f (x) f(x)22f (X) f (x) 2f3(x)f (x) 2f3(x)2 3f 2(x) f (x) 2 3f 4(x)設(shè) f (n)(x) n! fn 1(x),則 f(n 1)(x) (n 1)! f n(x) f (x) (n 1)! fn 2(x)f (n)(x) n!fn1(x)7、選(C) lim f(X0 2 X)一f lim 2 f(X0 2 X)f 2f (x0) X 0xX 02 x2、又 f (x) (x ) 2

23、x, 2f (X0) 4x08、選(C) f (X)在X0處可導(dǎo)的充分必要條件是f (X)在X0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)f (X0)和右導(dǎo)數(shù)f (X0)都存在且相等。9、選(D)f (x) (x 1)(x 2) (x 99) X(X 2) (x 99) x(x 1)(x 3) (x 99) x(x 1)(x 2) (x 98)10、11、12、f (0) (0另解：由定義,(1)99 99!由導(dǎo)數(shù)定義知f'(0) limx 01)(0 2) (0 99) ( 1)99 99!99!f(0)xm.f(x) f(0)lim (x 1)(x 2) (x 99) x 099!f(x2)(x2)()2f (

24、x2)dy2xf2、“x )dxf(x)xf(0)再由極限的保號(hào)性知0,當(dāng) x ()時(shí)“刈 f(0) 0,x從而當(dāng) x (,0)(x (0,)時(shí)，f (x)f(0) 0(0),因此C成立，應(yīng)選Co由函數(shù)f (x)在x 0處可導(dǎo)，知函數(shù)在 x0處連續(xù)21lim f (x) lim x sin x 0x 0x0, lim f (x) lim (ax b) x 0x 0b ,所以b 0。又f(0)linnf(x) f(0)lim21x sin x0, f (0)xaxa, x所以a 0。應(yīng)選C。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1)dysin _2 1e xd (sin -) xc . 11 ,2sin

25、 - cos-(1 )dx x12 sin2 -2 sin - e xdx x x(2)dydx3t21t3t3d2y dx29t2丁td2y dx2|t 1(3)兩邊對(duì)x求導(dǎo):(4)32y y2y 3 (y1)(?1)sin xcosx1sin2x 2cos2x sin(2x )2 cos(2x2)2sin(2x 2 -)設(shè) y(n)2n 1 sin(2x n ) 2則 y(n 1)2n cos(2x n )2nsin(2x (n 1)22(50)-49y 2 sin(2x50_49_-)2 sin2x(5)兩邊取對(duì)數(shù)：ln yxlnx ln(1 x)In xln(1 x) 11兩邊求導(dǎo)：一

26、yyy(xlnx1 x(6)利用定義：f (x)f (0)im0-x 0 xln(1f(0) f (x)(x) (x a)x) 1!m0(x(x)又 f (a) lim f (x)f-(a-)limx a x ax a1)(xf (a)(x)2)(x 3) (x 2005) 2005!(a)(x a) (x)(a)x a呵T-詈(x) (a) (a) 2 (a)注:因(x)在x a處是否二階可導(dǎo)不知，故只能用定義求。(8) limx 1d _ f (cos x 1) lim f (cos x 1)(dxx 1sin x 1)12、xlim f (cos . x 1) lim急 x11 f(1)

27、(i)12、易知當(dāng)x 0時(shí)，f(x)均可導(dǎo)，要使f (x)在 x0處可導(dǎo)f (0) f (0),且 f (x)在 x0處連續(xù)。即lim f (x)x 0limx 0f(x)f(0)lim f (x) b a 2x 0alim f (x) 0x 0lim(0)ax.elim 一x 0(1 sin x)lim3、證明：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x。, y0),則2x0axe 12 N。limx 0x0N0ax-a x對(duì)x2 y2 a兩邊求導(dǎo)：2x 2y曲線a在（Xo，yo）處切線斜率kiIxx°x。一 y°又由x曲線xyb在（Xo,y0）處切線斜率k2X0bx。又k1k2包（與y。x0兩切

28、線相互垂直。4、設(shè)t分鐘后氣球上升了兩邊對(duì)t求導(dǎo)：sec2ddt72cos25500 m時(shí),500 m時(shí),%y。x米，則 tanddt5、證明：f顧°limh 01500dt 25 2 f (x h) f (x)f (x) f(h) f(x) f(0)f(x) f(0)f(x)6、解：由于y3x2k1 3x26x |x從而所求切線方程為又法線斜率為dx dt750x5qq140500725（弧度/分）f(x) f(h) f(x 0)him0 f(x)hf(h) f(0)6x ,于是所求切線斜率為3,3(x 1),即3x y 6 0k2k1所以所求法線方程為3(x 1)3y x 8 0

29、第三單元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、填空題1、lim xln x 。 x 02、函數(shù)f x 2x cosx在區(qū)間 單調(diào)增。3、函數(shù)f x 4 8x3 3x4的極大值是。4、曲線y x4 6x2 3x在區(qū)間 是凸的。5、函數(shù)f x cosx在x 0處的2m 1階泰勒多項(xiàng)式是 。6、曲線y xe 3x的拐點(diǎn)坐標(biāo)是 。7、若f x在含xo的a,b (其中a b)內(nèi)恒有二階負(fù)的導(dǎo)數(shù)，且 ，則f x0是f x在a,b上的 最大值。38、y x 2x 1在 ， 內(nèi)有 個(gè)零點(diǎn)。9、lim cot x( 一) 。x 0 sin x x一 .11、10、lim (-2 ) 。x 0 x xtan x211、曲線y

30、 e x的上凸區(qū)間是12、函數(shù)y ex x 1的單調(diào)增區(qū)間是二、單項(xiàng)選擇1、函數(shù)f(x)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且f (0) 0, f (0)1, f (0)f (x) x2x(A)不存在；(B) 0 ;(C) -1(D) -2。2、設(shè) f (x) (x 1)(2x 1), x(A)單調(diào)增凹的；(C)單調(diào)增凸的；，、1(,)，則在(一,1)內(nèi)曲線f(x)(2(B)單調(diào)減凹的；(D)單調(diào)減凸的。3、f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，xo (a,b), f (xo)f (x0) 0 ,則 f (x)在 x 刈 處(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C) 一定有拐點(diǎn)(x°,f (Xo) ;(D)可能取

31、得極值，也可能有拐點(diǎn)。4、設(shè)f (x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，則I ：在(a,b)內(nèi)f (x) 0與n ：在(a,b)上f (x) f (a)之間關(guān)系是()(A) i是n的充分但非必要條件；(b) i是n的必要但非充分條件；(c) I是n的充分必要條件；(D) I不是n的充分條件，也不是必要條件。5、設(shè) f (x)、g(x)在 a,b 連續(xù)可導(dǎo)，f (x)g(x) 0 ,且 f (x)g(x) f (x)g (x),則當(dāng) a x b 時(shí)，則有()(A) f(x)g(x) f(a)g(a)；。忠g g(x) g(a)6、方程x3 3x 1 0在區(qū)間(A)無實(shí)根；(C)有兩個(gè)實(shí)根；

32、(B) f (x)g(x) f(b)g(b)；gjx)g(a)of(x) f(a)內(nèi)()(B)有唯一實(shí)根；(D)有三個(gè)實(shí)根。7、已知f(x)在x 0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且f (0) 0, lim f(x)2 ,則在點(diǎn)x 0處f(x)()x 01 cosx(A)不可導(dǎo)；(B)可導(dǎo)，且f'(0) 0;(C)取得極大值；(D)取得極小值。8、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f'(0) 0, limf&l 1,則()X 0 |x|(A) f(0)是f(x)的極大值；(B) f(0)是f(x)的極小值；(C) (Qf(0)是曲線y f(x)的拐點(diǎn)； (D) f (0)不是f(x)的極

33、值點(diǎn)。9、設(shè)a,b為方程f(x) 0的二根，f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f'(x)在(2笛)內(nèi)( )(A)只有一實(shí)根；(B)至少有一實(shí)根；(Q沒有實(shí)根；(D)至少有2個(gè)實(shí)根。10、在區(qū)間1,1上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是()1(A) f(x) ;(B) f(x) |x|;x 22(C) f (x) 1 x ；(D) f (x) x 2x 1。11、函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)f'(x) 0是函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加的()(A)必要但非充分條件；(B)充分但非必要條件；(C)充分必要條件；(C)無關(guān)條件。12、設(shè)yf(x)是滿足

34、微分方程y" y' esinx 0的解，且f'(x0) 0,則f(x)在()(A) Xo的某個(gè)鄰域單調(diào)增加；(B) Xo的某個(gè)鄰域單調(diào)減少；(C) Xo處取得極小值;三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限(D) Xo處取得極大值。limx 1arccosx(2)ln cot x lim ;x 0 ln xx sin xe elim ;x 0 x ln(1 x)(4)11lim 2 1n(1 x 0 x xx)；x arctan xlim；;x 0x3(6)ln tan(ax) limx 0 ln tan(bx)2、證明以下不等式(1)、設(shè) b(2)、當(dāng) 0x 一時(shí)，有不等式ta

35、nx22sinx3x。3、已知ysinx,利用泰勒公式求(6) y(0)。4、試確定常數(shù)a與n的一組數(shù)，使得當(dāng)0 時(shí)，axn 與 ln(13x3為等價(jià)無窮小。5、設(shè)f(x)在a, b上可導(dǎo)，試證存在(ab3b a f (a) f (b)23f()6、作半徑為r的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時(shí)，其體積V最小，并求出該體積最小值。7、若f(x)在0,1上有三階導(dǎo)數(shù)，且 f (0)f(1) 0,設(shè)F(x)3 -x f(x),試證：在(0,1)內(nèi)至少存在一個(gè)，使 F"'( ) 0 o、填空題第三單元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答1、0 lim xln x x 0limx

36、0ln x-Tlim x-x 01xlim( x) 0x 02、f (x)sin x 0f(x)在(）上單調(diào)增3、20f (x)24x212x312x2(x2)4、5、6、7、8、令 f(x) 0為 0, x2 2當(dāng)x 2時(shí),極大值為(1,1) y(x) 0；當(dāng)f(2)204x3 12x 3,當(dāng)x 1時(shí)，y 0 .當(dāng)x曲線在（1,1）上是凸的1 1x2 x42!4!(1)m2時(shí)，f12x2(x)121,1)時(shí),y1 2m x (2m)!12(x1)(x1)x (1,）時(shí)，y 0/2 2 2 3x 3x 3x/.(-,-e ) y e 3xe e (1 3x), 3 33xy 3e (1而當(dāng)xf

37、 (x0)3x)3e3x3x /e (9x 6)9e 3x(x 二) 3當(dāng)x x0時(shí),1 y 3x2又 lim yx21c一時(shí)，y 0 ； 32 2拐點(diǎn)為（一，一 e3 3f"(x0)lim(x0)2 0,lim yxr 2,當(dāng)x 時(shí)y32)f (x) f (x。)x x0x x0lim山x % xx0!M 0 x x00, f （x）單調(diào)增加；當(dāng)xx0 時(shí)，f (x)0, f（x）單調(diào)減少）上單調(diào)增加）內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)。9、11一 原式 lim6x 0cosx(x sin x)一 2xsin xlim cosxlimx sin x3xlim1 cos x 12_ °3x 61

38、0、1tanx x一原式=lim 23x 0 x tan xlxm0tan x x3x2sec x 13x21lim3 x 0tan2 x2- x11、,2 2x2(-2-,- y' 2xe ,y”2(2x)2e2x令y"/2 .2、gx ( T,T)0t12、y" 0,上凸，其它區(qū)間y" 0,上凹,故應(yīng)填入(0,)函數(shù)y exx 1的定義區(qū)間為),在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo),且 y' e1,因?yàn)樵?0,)內(nèi)y' 0 ,所以函數(shù)y ex x1在(0,)上單調(diào)增加。二、選擇題1、選(C)limf limfOx 0 x x 0 2xf (x) dl

39、im12、選(B)1 ,、當(dāng)x (時(shí)，f (x)20,f (x) 4x 1 4(x;)10 x 號(hào)1)3、，、,，1 八、，f (x)在(一,1)上單調(diào)減且為凹的。2選(D ) f (x) x3 ,則 f'(0)f"(0)0 是 f(x)的拐點(diǎn)；設(shè)f (x)f'(0) f" (0) 0,而 x 0是 f(x)x4的極值點(diǎn)。4、選(c)由f (x)在(a,b)內(nèi)f (x) 0的充分必要條件是在(a,b)內(nèi) f (x)C (C為常數(shù))，又因?yàn)閒(x)在a,b內(nèi)連續(xù)，所以C f(a),即在(a,b)上f(x)f(a)。5、選(C)由 f (x)g(x) f(x)g

40、 (x) f (x)g(x) f (x)g (x) 0上 0上單調(diào)減少，x (a,b)g(x)g(x)f(x) f(a) g(x) f (b)6、選(D)令 f (x)32x 3x 1 ,則 f (x) 3x 3 3(x 1)(x 1)；1 時(shí),f (x)0, f(x)單調(diào)增加,(1,1)時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)減少(1,)時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)增加.而 f( 1) 3 , f (1)1Jim f(x),Jim f (x)f（x）在（,1）上有一實(shí)根，在1,1上有一實(shí)根，在（1,）上有一實(shí)根。7、選（D） 利用極限的保號(hào)性可以判定 f（x）的正負(fù)號(hào):lim f(x) 2

41、0 f(x) 0 (在x 0的某空心鄰域)； x 01 cosx1 cosx由1 cosx 0,有f(x) 0f(0),即f(x)在x 0取極小值。8、選（B）由極限的保號(hào)性:f'（x）單調(diào)增，又由 0（在x 0的某空心鄰域）|x|;由此f "（x） 0（在x 0的某空心鄰域），f'(0) 0, f'(x)在x 0由負(fù)變正,由極值第一充分條件，x 0是f （x）的極小點(diǎn)°9、選（B）由羅爾定理保證至少存在一點(diǎn)(a,b)使 f'()0。10、選（C）,A選項(xiàng)f（x）在x 0不連續(xù)，B選項(xiàng)f（x）在x0處不可導(dǎo)，D選項(xiàng)f （1） f（ 1）。3

42、, 11、選（8）,如丫 x 在（）單增，但f'（0） 0,故非必要條件。12、選（C）,由 f'（x。） 0有 y"（x0）sin x ey'（x。）0 ,所以f（x）在x0處取得極小值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算極限(1)解:limx 1arccosx,x 1(2)解:解:limx 1limx 01 12、arccosx 1 x212 x 1ln cotx limln x xlimx 1arccosx一 ( cotxcsc2 x)limx 0x sin xcosx sin1。x sin xe e2x ln(1 x)sin x x sin x.e (e 1)lim 3x 0x3x sin x3x1 cosxlim2x 0 3x(4)解:11叫x21n(1x)x ln(1 x)1上lim1-xx 0 2x解:x arctanx3xlim1 41 x3x2lim x 0 3x2(1x2)(6)解:limx 0ln tan(ax)ln tan(bx)limx 01tan(ax)2/sec (ax) a12sec (bx) b tan(bx)limx 0tan(bx)2/sec (ax) a2tan(ax) sec (bx) b2、limx 0bx sec2 (ax)2 ziax sec (bx) b證明：ab ba b