收斂數(shù)列的性質(zhì)

1、.§2 收斂數(shù)列的性質(zhì). 教學(xué)目的與要求1.理解掌握收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號性、保不等式性，并會利用這些性質(zhì)證明相關(guān)命題.2.掌握數(shù)列極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會利用其求數(shù)列極限.3掌握數(shù)列極限迫斂性定理 、數(shù)列與其子列的收斂關(guān)系，會利用其討論數(shù)列的收斂性.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):重點(diǎn):收斂數(shù)列的性質(zhì). 難點(diǎn): 收斂數(shù)列的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用. 講授內(nèi)容收斂數(shù)列有如下一些重要性質(zhì)：定理22(唯一性) 若數(shù)列收斂，則它只有一個(gè)極限證設(shè)是的一個(gè)極限我們證明：對任何數(shù)不是的極限事實(shí)上，若取，則按定義，在U(之外至多只有中有限個(gè)項(xiàng)，從而在U()內(nèi)至多只有中有限個(gè)項(xiàng)；所以不是的極限這就證明了收

2、斂數(shù)列只能有一個(gè)極限 一個(gè)收斂數(shù)列一般含有無窮多個(gè)數(shù)，而它的極限只是一個(gè)數(shù)我們單憑這一個(gè)數(shù)就能精確地估計(jì)出幾乎全體項(xiàng)的大小以下收斂數(shù)列的一些性質(zhì)，大都基于這一事實(shí) 定理23(有界性) 若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)有證 設(shè)取，存在正數(shù)N，對一切>N有 即 記 則對一切正整數(shù)都有注 有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件例如數(shù)列有界，但它并不收斂定理2.4 (保號性) 若(或<0)，則對任何 (或，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有(或)證 設(shè)取(>)，則存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，這就證得結(jié)果對于的情形，也可類似地證明 注 在應(yīng)用保號性時(shí)，經(jīng)常取. 定理2.5(保不

3、等式性) 設(shè)與均為收斂數(shù)列若存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則 證 設(shè)分別存在正數(shù)時(shí)，有， （）當(dāng)時(shí)有. ()取，則當(dāng)時(shí)，按假設(shè)及不等式(1)和(2)有由此得到由任意性推得，即請學(xué)生思考：如果把定理2.5中的條件換成嚴(yán)格不等式，那么能否把結(jié)論換成，并給出理由 .例1 設(shè)證明：若則 （3）證 由定理2.5可得若，則由，任給，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，從而即故有若，則有.任給，由，存在正數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)有從而(3)式得證 定理 (迫斂性) 設(shè)收斂數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)有， (4)則數(shù)列收斂，且 證 任給，由，分別存在正數(shù)與，使得當(dāng)>時(shí)有， (5)當(dāng)時(shí)有 (6)取，則當(dāng)時(shí),不等式(4)、(

4、5)、(6)同時(shí)成立，即有從而有，這就證得所要的結(jié)果 定理26不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個(gè)求極限的工具 例2 求數(shù)列的極限 解 記，這里，則有由上式得 ，從而有. (7)數(shù)列是收斂于1的，因?qū)θ谓o的，取，則當(dāng)時(shí)有于是，不等式(7)的左右兩邊的極限皆為1，故由迫斂 性證得 在求數(shù)列極限時(shí)，常需要使用極限的四則運(yùn)算法則定理27(四則運(yùn)算法則) 若與為收斂數(shù)列，則，也都是收斂數(shù)列，且有，特別當(dāng)為常數(shù)時(shí)有若再假設(shè)及，則也是收斂數(shù)列，且有.證 由于及，因此我們只須證明關(guān)于和、積與倒數(shù)運(yùn)算的結(jié)論即可. 設(shè)則對任給的分別存在正數(shù)與，使得當(dāng)當(dāng)取則當(dāng)時(shí)上述兩不等式同時(shí)成立，從而有12 （8

5、）由收斂數(shù)列的有界性定理，存在正數(shù)，對一切有.于是，當(dāng)時(shí)由（8）式可得.由的任意性，得. 3由于根據(jù)收斂數(shù)列的保號性，存在正數(shù)，則當(dāng)時(shí)有.取則當(dāng)時(shí)有由的任意性，這就證得. 例3 求，其中， 解 以同乘分子分母后，所求極限式化為.當(dāng)時(shí)有.于是，當(dāng)時(shí)，上式除了分子分母的第一項(xiàng)分別為與外，期于各項(xiàng)的極限皆為0，故此時(shí)所求的極限等于；當(dāng)時(shí)，由于，故此時(shí)所求的極限等于0綜上所述，得到 例4 求其中.解 若則顯然有;若,則由得若,則例5求解 由及例1得最后，我們給出數(shù)列的子列概念和關(guān)于子列的一個(gè)重要定理定義1 設(shè)為數(shù)列，為正整數(shù)集的無限子集，且則數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)子列,簡記為.注1 由定義1可見，的子列的

6、各項(xiàng)都選自，且保持這些項(xiàng)在中的先后次序中的第項(xiàng)是中的第項(xiàng)，故總有實(shí)際上本身也是正整數(shù)列的子列 例如，子列由數(shù)列的所有偶數(shù)項(xiàng)所組成，而子列則由的所有奇數(shù)項(xiàng)所組成又本身也是的一個(gè)子列，此時(shí)，注2 數(shù)列本身以及去掉有限項(xiàng)后得到的子列，稱為的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為的非平凡子列例如和都是的非平凡子列由上節(jié)例可知：數(shù)列與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限定理28 數(shù)列收斂的充要條件是：的任何非平凡子列都收斂 證 必要性 設(shè)，是的任一子列任給，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有由于，故當(dāng)時(shí)更有，從而也有，這就證明了收斂(且與有相同的極限) 充分性 考慮的非平凡子列，與按假設(shè)，它們都收斂由于既是，又是的子列，故由剛才證明的必要性， （9）又既是又是的子列，同樣可得 （10）(9)式與(10)式給出所以由上節(jié)例7可知收斂 由定理28的證明可見，若數(shù)列的任何非平凡子列都收斂，則所有這些子列與必收斂于同一個(gè)極限于是，若數(shù)列有一個(gè)子列發(fā)散，或有兩個(gè)子列收斂而極限不相等，則數(shù)列一定發(fā)散例如數(shù)列，其偶數(shù)項(xiàng)組成的子列收斂于1，而奇數(shù)項(xiàng)組成的子列收斂于1，從而發(fā)散.再如數(shù)列，它的奇數(shù)項(xiàng)組成的子列即為，由于這個(gè)