橢圓中常考的十六條焦點(diǎn)性質(zhì)及其證明.

1、橢圓中常考的十六條焦點(diǎn)性質(zhì)及其證明（一）橢圓中， PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的外角， 則焦點(diǎn)在直線 PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn) .證明：延長 F2H 至 M ，交 PF1 于 M PT 平分 MPF2 ，又 F2H PT， | PM | | PF2|又 | PF1 | | PF2 | 2a ， | PM | | PF1 | 2a | F1M | 2 | OH | |OH | a . H 軌跡是以長軸為直徑的圓，除長軸端點(diǎn).（二）橢圓中，橢圓焦點(diǎn)三角形中 , 以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切 .證明：如圖，設(shè)以焦半徑 MF 2 為

2、直徑的圓的半徑為 r1，圓心為 O1，由橢圓定義知 |MF1| |MF2 | |AB| |MF1| | AB|MF2|11|OO1| |MF1 |(| AB | | MF2 |) a r122 O、 O1 相內(nèi)切（三）設(shè) A 1、A 2 為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則PF1 F2 在邊 PF2（或 PF1 ）上的旁切圓， 必與 A 1A 2 所在的直線切于 A 2（或 A 1）.證明：設(shè)旁切圓切x 軸于 A' ，切 PF2 于 M ， F1P 于 N，則|PN | |PM |，|MF2| |MA'|，|F1N | |F1A'|，|PF1 |PM | |F1F2|MF2 |PF1

3、 |PF2 | F2A'| |F1F2 |F2A'|2a2c2| F2 A ' | F2 A ' |ac| F2 A2 | A'與 A2重合 .22（四）橢圓 x2y21（ a b o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1 ( a,0) , A2 ( a,0) ，ab與 y 軸平行的直線交橢圓于P1 、P2 時(shí)，A 1P1 與 A 2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是x2y21.a2b2證明：設(shè)交點(diǎn)S( x0 , y0 ) ， P1(m, n) ， P2 (m, n) KPAKA SK P AK P S，111222ny0m a x0anny0y0n2y02ny0m a m a x0a

4、 x0aa2m2x02a 2m ax0a又 m2n2n2m2n2b2a2b21b21a2a2m2a2y02b2x02y021，即軌跡方程為x2y21 x02a2a 2a 2b2a2b222（五） 若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓 xy1上，則過 P0 的橢圓的切線方a2b2程是 x0 xy0 y1 .a2b2證明：對 x 求導(dǎo)可得：2x2yy '0 y'x0b2，a2b2y0 a2切線方程為y y0x0b 2222xx0b2x2 2，y0a2 ( x x0 ) 即 y0 yay0 a0b即 y0 ya2xx0b2x02b2y02 a2a2 b2 ， xx02a（六）若兩

5、條切線，切yy01b2P0 (x0 , y0 ) 在橢圓 x2y21 外 ，則過 P0 作橢圓的a2b2點(diǎn)為P1 、 P2 ， 則切點(diǎn) 弦 P1P2 的直線方程 是x0 xy0 y1 .a 2b2證 明 ： 設(shè) P1 (x1, y1 )， P2 ( x2 , y2 ) ， 則 過 點(diǎn) P1、 P2 切 線 分 別 為l1 : x1 xy1 y1,l2 : x2 xy2 y1a 2b2a2b2 P0 在 l 1、 l2 上 x1x0y1 y01， x2 x0y2 y01a 2b2a2b2過 P1， P2 方程 x0 x yy01a2b2（七） AB 是橢圓 x2y21的不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的

6、弦，a2b2M 為 AB 的中點(diǎn)，則kOMkABb2a2 .證明：設(shè) A( xA , y A ), B (xB , yB )則 M ( xA2xB , yAyB )2K OMK AByAyByAyByA2yB 2xxxxx2x2AABBAB又 xA2yA21xB2yB2xA2xB 2yA2yB 2a2b2a 2b2a2b2 kOMkABb2a2（八）若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓x2y21內(nèi)，則被 P0 所平分的中點(diǎn)弦a22b的方程是x0 x y0 y x02y0 2a2b2a22 .b證法 1：由上題的結(jié)論得：kABkOPb2kABb2yb2 x，aa2x0002a2 y00弦 A

7、B 方程為 yyb2 x0(xx )yy0xx0y02x020y0 a20b2a2b2a2若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓x2y21內(nèi)，則過 P0 的弦中點(diǎn)的軌跡方22x2y2ab程是x0 xy0 ya2b2a22 .b證法 2：設(shè)弦交橢圓于P1 (x1 , y1 ) ， P2 ( x2 , y2 ) 中點(diǎn) S(m, n) .x12y121x22y22k PP(x1x2 )b2mb2kP Sn y0a 2b2a2b 2(y1y2 )a2na 2m x01 20 m2b2mx0 b2n2a 2ny0a2m2n2x0 m y0 na2b2a2b2即x2y2x0 xy0 y2b2a2b2 .

8、a（九）過橢圓x2y21(a 0,b 0)上任一點(diǎn) A( x0 , y0 ) 任意a2b 2作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C 兩點(diǎn)，則直線 BC 有定向且 kBCb2 xa20 （常數(shù)） .y0證明：設(shè)兩直線與橢圓交于點(diǎn)(x1, y1 )( x2 , y2 ) .x12y12x22y22x02y021a2b2a 2b2a2b2kABy1y0x1x0b2x1x0y1y0a2kACy2y0x2x0b2x2x0y2y0a2由題意得 y1y0x2x0b2， y2y0x1x0 b2x x0y2y0a2x2x0y y a 21102222展開 ( y1 y2y0 y2y0 y1y0 )a( x1 x2

9、x2 x0x1x0x0 )b( y1 y2y0 y1y0 y2y02 )a2( x1 x2x1 x0x2 x0x02 )b22a2 y0 (y1y2 ) 2b2 x0 ( x1x2 )得：y1y2b2 x0K BC （定值）xxa2 y210（十）橢圓 x2y21 (a b0) 的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，a2b2點(diǎn) P 為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)F1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為| PF1| PF2 |2b2； S F1PF2b2 tan。1cos2證明：設(shè) | PF1 |m ， | PF2 |n ，則 mn2a .由余弦定理m2n22mn cos4c24a24b2(m n)24b

10、2 ，2b2(1cos)mn| PF1 | PF2|2b 2.1cosSF1PF21 m n sin12b 2sinb2tan2c | yP |22 1 cos（十一）若 P 為橢圓 x2y21(ab0) 上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,F1, F2是焦點(diǎn) ,a 2b2PF1F2,PF2 F1，則 tantanac .22ac證明：設(shè)| PF1|m，| PF2 |n ， mn2a ， m n2aa| F1F2|2cc又 mnsinsin2sin2cos2cos2)| F1F2 |sin(2sin2cos2cos2coscossinsin21tantan22222coscossinsin21tanta

11、n22222由、得： tantanac2ac2（十二）橢圓x2y21（ a b 0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l ：a2b2(a2b2 )2yk( x x0 ) 對稱的充要條件是2x0222 .ab k分析：該問題等價(jià)于在橢圓上找兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)直線l1 ，斜率為1 ，其中垂線 l 為 yk (xx0 )則 x02< (a 2b2 )2。ka2b2 k2證明：設(shè) l1 方程為 y1 xm即 x mkky ，中點(diǎn)為 ( x , y )k得 (b2k 2a 2 ) y22mb2k 2 y b2 k2 m2a 2b20y1y22mb2k 2ymb2 k2a2b2 k2a2b 2k2xmkmy0ma2 k

12、yyk (xx )代入 ( x0 ,0) ，b2 k2a2x0mk(a2b2 )2m2k 2 (a2b2 )222k2x0(a2b2k2)2a b又 0m2a2k 2b2， x0( a2b2 )2k2a2b2k2注：還可以用點(diǎn)差法 .（十三） 已知橢圓x2y2x2y2（ 01），221（ a>b>0）和 22abab一直線順次與它們相交于A、B、C、D 四點(diǎn)，則 AB =|CD .證明：設(shè)直線方程為ykxm ,x2y2x2(kxm)2(1k2)x2 2kmm20a2b2a2b2222 xb2ykxmabbx2y21視作1的特殊情況 .a2b 2x1x212km弦中點(diǎn)坐標(biāo) xDb2與

13、無關(guān) .221k 2a2b2而 yD kxD m D ( xD , yD ) 與 無關(guān) .線段 AD , BC 中點(diǎn)重合|AB | |CD |.（十四）已知橢圓x2y21(a b0)，A、B 是橢圓上的a2b2兩點(diǎn)，線段 AB 的垂直平分線與x 軸相交于點(diǎn) P( x0,0),則a2b20a2b2.axa證明：設(shè) A 為 (x1 , y1 ) B 為 (x2 , y2 )x12x121(x1x2 )( x1x2 )( y1 y2 )( y1y2 )22abx22y221a2b 2a2b 2xDyDa2b2 ka2b2 PDyD1xDxDxoxDxoyD k2ka2222axDaababaxDax2y21(ab0), 兩焦點(diǎn)分別為（十五）已知橢圓方程為b2a2F1 , F2 , 設(shè)焦點(diǎn) PF1 F2 ， PF1F2,PF2 F1, 則橢圓的離心率 esin()。sinsin證明： 由正弦定理得：F 1F2PF2PF 1)sinsinsin(180o由等比定理得：F 1F2PF 1PF2sin()sinsinF1F22cPF 1PF22a而)sin()，sinsinsinsin(sincsin() esin。a