關(guān)于級(jí)數(shù)斂散性的判別

1、專題七 關(guān)于級(jí)數(shù)斂散性的判別無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要組成部分,是研究“無(wú)窮項(xiàng)相加”的理論,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具.如今,無(wú)窮級(jí)數(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域,成為數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用中不可缺少的有力工具.同時(shí)它也是碩士研究生入學(xué)考試的重要考核內(nèi)容.但是,由于判定級(jí)數(shù)斂散性的方法和理論太多,學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)很難把握,這里就對(duì)斂散性的判定就一些問(wèn)題進(jìn)行解疑,以期對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助.在18世紀(jì)，甚至到今天，無(wú)窮級(jí)數(shù)一直被認(rèn)為是微積分的一個(gè)不可缺少的部分除了用于微積分之外，級(jí)數(shù)的主要應(yīng)用之一在于計(jì)算一些特殊的量，如和,以及對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)值.無(wú)窮級(jí)數(shù)也是進(jìn)一步研究函數(shù)的有力

2、工具：一方面能借助級(jí)數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù),微分方程的解就常用級(jí)數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級(jí)數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等。隨著研究領(lǐng)域的逐漸擴(kuò)展，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用無(wú)窮級(jí)數(shù)所取得的成功變得越來(lái)越多級(jí)數(shù)是一門非?；钴S的學(xué)科, 這方面的研究工作近年來(lái)顯得十分活躍,全世界出現(xiàn)的文獻(xiàn)數(shù)量越來(lái)越多,各種國(guó)際會(huì)議文集更是不少.21世紀(jì)的級(jí)數(shù)將發(fā)展成什么樣子?這是難以預(yù)測(cè)和估計(jì)的問(wèn)題:猜想今后二三十年里,級(jí)數(shù)將會(huì)緊緊地伴隨著計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)同時(shí)迅速地向前發(fā)展.將會(huì)扮演各種“解題機(jī)”的重要組成部分.另一方面,級(jí)數(shù)的理論進(jìn)展將會(huì)深深地受益于別的數(shù)學(xué)分支,猜想代數(shù)學(xué)的一些

3、分支、拓?fù)鋵W(xué)的一些方法、概率論方法以及非標(biāo)準(zhǔn)分析方法等都會(huì)給級(jí)數(shù)研究提供有效的新工具,同時(shí)也會(huì)與級(jí)數(shù)結(jié)合起來(lái),創(chuàng)造出對(duì)其他學(xué)科有用的新方法,級(jí)數(shù)的發(fā)展還會(huì)受到各門應(yīng)用學(xué)科的需要而形成種種帶有實(shí)際色彩的新方向.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是數(shù)的加法從有限代數(shù)和到無(wú)限和的自然推廣由于無(wú)限次相加，許多有限次相加的性質(zhì)便在計(jì)算無(wú)限和時(shí)發(fā)生了改變首先，有限次相加的結(jié)果總是客觀存在的，而無(wú)限次相加則可能根本不存在有意義的結(jié)果。這就是說(shuō)，一個(gè)級(jí)數(shù)可能是收斂或發(fā)散的因而，判斷級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題常常被看作級(jí)數(shù)的首要問(wèn)題。級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題是級(jí)數(shù)理論的基本問(wèn)題,是當(dāng)今“數(shù)學(xué)分析”的重要內(nèi)容.判別數(shù)值級(jí)數(shù)的收斂或發(fā)散,是無(wú)窮級(jí)數(shù)的重點(diǎn)人們已

4、經(jīng)創(chuàng)造了很多判別級(jí)數(shù)斂散性的方法，究竟用哪種方法較好呢？一般說(shuō)來(lái)，使用起來(lái)較簡(jiǎn)便的方法，很可能適應(yīng)的范圍較小，而適應(yīng)范圍較大的方法，又往往比較繁難對(duì)于判別一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，可以從下面的思路來(lái)考慮使用某種比較恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?1)首先，考慮當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，一般項(xiàng)是否趨于零如果不趨于零，便可判斷級(jí)數(shù)發(fā)散如果趨于零，則考慮其它方法(2)考察級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列的斂散性是否容易確定，如能確定，則級(jí)數(shù)的斂散性自然也明確了但往往部分和數(shù)列的通項(xiàng)就很難寫出來(lái)，自然就難以判定其是否有極限了，這時(shí)就應(yīng)考慮其它方法(3)如果級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以先考慮使用達(dá)朗貝爾判別法或柯西判別法是否有效如果無(wú)效，再考慮用比較判別法

5、或者其他的判別法這是因?yàn)檫_(dá)朗貝爾判別法與柯西判別法使用起來(lái)一般比較簡(jiǎn)便，而比較判別法適應(yīng)的范圍卻很大(4)如果級(jí)數(shù)是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，應(yīng)首先考慮它是否絕對(duì)收斂當(dāng)不絕對(duì)收斂時(shí)，可以看看它是不是能用萊布尼茲判別法判定其收斂性的交錯(cuò)級(jí)數(shù)問(wèn)題1：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法常見(jiàn)的包括哪些？答：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的三種常見(jiàn)的判別法：無(wú)窮級(jí)數(shù)包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),而正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一種.關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷,各類教材通常講的方法大體一致,不外乎是比較判別法及其推論,達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法. 定理1(比較判別法) 兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和,且,則若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂;若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)也發(fā)散.推論1.1 (比較判別法的極

6、限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),若,則級(jí)數(shù)和的斂散性相同.定理2(達(dá)朗貝爾判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù)若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)收斂.若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)發(fā)散.推論2.1(達(dá)朗貝爾判別法的極限形式) 若為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且,則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.定理3(柯西判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù),若對(duì)一切,成立不等式則級(jí)數(shù)收斂;若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)發(fā)散. 推論3.1(柯西判別法的極限形式) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.問(wèn)題2：在何種情況下使用比較判別法比較方便？使用時(shí)需要注意些什么？ 請(qǐng)舉例說(shuō)明？答：從比較判別法的內(nèi)容中我們可以得出

7、以下幾點(diǎn)啟示: 比較判別法只適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷; 比較判別法重在“比較”,是利用兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)來(lái)比較的;要求必須掌握等比級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)的斂散性,因?yàn)楸容^判別法的比較對(duì)象常常就是上述三種級(jí)數(shù). 要證明某一個(gè)級(jí)數(shù)收斂,需要找一個(gè)通項(xiàng)比大的收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù),即,也就是需要將所求的級(jí)數(shù)通項(xiàng)放大; 要證明某一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散,需要找一個(gè)通項(xiàng)比小的發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù),即;也就是需要將所求的級(jí)數(shù)通項(xiàng)縮小;因此,正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的關(guān)鍵就是:如何選取比較對(duì)象,放大或縮小所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng).（一）、當(dāng)所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)中出現(xiàn)關(guān)于的有理式時(shí),比較對(duì)象常常選取級(jí)數(shù)或調(diào)和級(jí)數(shù).例1 判別級(jí)數(shù)的斂散性.分析: 考慮通

8、項(xiàng):,原級(jí)數(shù)也接近于級(jí)數(shù),這是的收斂的級(jí)數(shù),那么原級(jí)數(shù)也一定收斂.若要判斷級(jí)數(shù)收斂,就把通項(xiàng)放大,放大為一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)通項(xiàng).解： 因?yàn)椋钟捎谑諗?則由比較判別法,原級(jí)數(shù)也收斂.例2 判別級(jí)數(shù)的斂散性.分析:考慮通項(xiàng):,原級(jí)數(shù)也接近于級(jí)數(shù),這是的收斂的級(jí)數(shù),那么原級(jí)數(shù)也一定收斂.解 因?yàn)?，又由于收?則由比較判別法,原級(jí)數(shù)也收斂.例3 判別級(jí)數(shù)的斂散性.分析: 考慮通項(xiàng):,原級(jí)數(shù)也接近于級(jí)數(shù),這是發(fā)散的調(diào)和級(jí)數(shù),于是原級(jí)數(shù)也發(fā)散.若要判斷級(jí)數(shù)發(fā)散,就把通項(xiàng)縮小,縮小為一個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)通項(xiàng).解 因?yàn)?，又由于是發(fā)散的,則由比較判別法,原級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. （二）、當(dāng)所求級(jí)數(shù)通項(xiàng)中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)

9、時(shí),利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋容^對(duì)象.主要用到下面兩個(gè)式子:當(dāng)時(shí),.例4 判別級(jí)數(shù)的斂散性.分析: 考慮當(dāng)時(shí), ,則,而是公比的收斂級(jí)數(shù),故原級(jí)數(shù)收斂.例5 判別級(jí)數(shù)的斂散性.分析: 由不等式有,而是收斂的級(jí)數(shù),故原級(jí)數(shù)也收斂.（三）、當(dāng)所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)放大,縮小不方便時(shí),可采用比較判別法的推論1.1.利用此推論時(shí)注意:把要求的級(jí)數(shù)當(dāng)作,另找一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(往往找調(diào)和級(jí)數(shù)、級(jí)數(shù)或等比級(jí)數(shù)),作為;重點(diǎn)考察極限結(jié)果應(yīng)在0,之間. 例6 判別級(jí)數(shù)的斂散性.分析: 考慮通項(xiàng):因此就把數(shù)作.解 由于,又是發(fā)散的,則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.例7 判別級(jí)數(shù)的斂散性.(前例5)分析: 在例5中已經(jīng)判斷了它的斂散性，若不熟悉前

10、面的不等式,而此題的通項(xiàng)又不易進(jìn)行放大、縮小,可用推論1.1.把作為,再找一個(gè),觀察到中,有對(duì)數(shù)函數(shù)出現(xiàn),考慮用第二重要極限,取.解 因?yàn)?又收斂,故原級(jí)數(shù)也收斂.注：比較判別法是據(jù)已知的收斂級(jí)數(shù)或發(fā)散級(jí)數(shù)作比較對(duì)象來(lái)判別其收斂性.當(dāng)用等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象時(shí),就得到了下面的達(dá)朗貝爾判別法及柯西判別法.在正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性審斂法中,達(dá)朗貝爾(DA Lambert)比式法和柯西(Cauchy)根式法是兩個(gè)既簡(jiǎn)單又有實(shí)用價(jià)值的常用判別法.這兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,都是用等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn),用比較判別法推證的,之所以方便,就是它們不像比較判別法那樣,要研究一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,必須以另一個(gè)已知斂散性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)

11、作為比較的對(duì)象;它們只依靠級(jí)數(shù)自己本身的項(xiàng)的性質(zhì)就可以做出判斷.問(wèn)題3：在何種情況下使用達(dá)朗貝爾判別法比較方便？達(dá)朗貝爾判別法適用范圍如何？ 請(qǐng)舉例說(shuō)明？答：首先看下面例題：例8 判別級(jí)數(shù)的收斂性.解 因?yàn)?所以,由達(dá)朗貝爾判別法知,級(jí)數(shù)收斂.注：在達(dá)朗貝爾判別法的應(yīng)用中，存在兩點(diǎn)不足: 當(dāng)時(shí),判別法失效,既有收斂的,也有發(fā)散的級(jí)數(shù).例9 級(jí)數(shù)是收斂級(jí)數(shù),此時(shí),即達(dá)朗貝爾判別法失效.例10 調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的,但,即達(dá)朗貝爾判別法也失效. 達(dá)朗貝爾判別法可能由于根本不存在而失效。例11 .解 因?yàn)?則有不存在,但是是收斂級(jí)數(shù).例12 .解 因?yàn)?則有不存在,但是是發(fā)散級(jí)數(shù).問(wèn)題4：如何使用柯西判

12、別法？柯西判別法適用范圍如何？ 請(qǐng)舉例說(shuō)明？答：首先看下面例題：例13 判別級(jí)數(shù)的收斂性.解 因?yàn)橥?xiàng)中有以對(duì)數(shù)為指數(shù)的因子,宜用柯西判別法. ,而,故,即有,由柯西判別法知,級(jí)數(shù)收斂.注：在柯西判別法的應(yīng)用中，存在兩點(diǎn)不足: 當(dāng)時(shí),判別法失效,既有收斂的,也有發(fā)散的級(jí)數(shù). (如前面的例9、例10) 柯西判別法可能由于根本不存在而失效.例14 .解 因?yàn)閯t有不存在,但是是收斂的.例15 .解 因?yàn)閯t有不存在,但是是發(fā)散的.問(wèn)題5：達(dá)朗貝爾判別法與柯西判別法有何關(guān)系？如何選擇方法？答：推論2.1、3.1的條件,由,可推出,說(shuō)明能用達(dá)朗貝爾判別法的推論鑒別收斂性的級(jí)數(shù),也能用柯西判別法的推論來(lái)判斷

13、,且柯西判別法比達(dá)朗貝爾判別法更有效.例如級(jí)數(shù)用柯西判別法的推論知它是收斂的,但用達(dá)朗貝爾判別法的推論就無(wú)法判別.由此可以看到達(dá)朗貝爾判別法與柯西判別法有相同的地方,而且它們之間有一定的聯(lián)系.因?yàn)?如果按有限值或無(wú)窮的意義存在的,那么也存在,如果達(dá)朗貝爾判別法有效,柯西判別法也有效,而且由于相同的理由達(dá)朗貝爾判別法的兩個(gè)例子也能作為柯西判別法失效的例子.但是它們之間也有不同的地方.如果達(dá)朗貝爾判別法失效,用柯西判別法卻有可能成功.認(rèn)真研究上面的例子,通過(guò)鑒別,得出:第一,若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)中含有n!因子,則用達(dá)朗貝爾比式審斂法判斷其斂散性比較方便.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)中含有n次方因子,則用柯西根

14、式判別法判斷其斂散性比較方便.第二,在實(shí)用上,達(dá)朗貝爾比式法比柯西根式法通常更簡(jiǎn)便些;但從理論上講, 達(dá)朗貝爾比式法不如柯西根式法好.這是因?yàn)?首先, 達(dá)朗貝爾比式法必須通過(guò)級(jí)數(shù)本身相鄰兩項(xiàng)的比值的極限值,來(lái)判定級(jí)數(shù)是否收斂,并且項(xiàng)不能為零;而柯西根式法只要根據(jù)級(jí)數(shù)本身一項(xiàng)的n次方根的極限值,就能對(duì)級(jí)數(shù)的斂散性作出判定,并且一般項(xiàng)可以為零.其次,可以證明:凡能用達(dá)朗貝爾比式法解決的問(wèn)題,用柯西根式法一定能解決;此結(jié)論對(duì)一般情況也是成立的.達(dá)朗貝爾判別法(或柯西根式法),只適用于和某個(gè)幾何級(jí)數(shù)收斂(或發(fā)散)速度相當(dāng)或收斂(或發(fā)散)得更快的級(jí)數(shù).對(duì)于那些比任何幾何級(jí)數(shù)收斂(或發(fā)散)得慢的級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō),

15、再用達(dá)朗貝爾比式法(或柯西根式法)去判別其斂散性,即再用幾何級(jí)數(shù)這把“尺子”作標(biāo)準(zhǔn)來(lái)“度量”它們的斂散性已“量”不準(zhǔn)了,為此,必須選用比幾何級(jí)數(shù)收斂(或發(fā)散)得更慢的正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn),即選用“精度更高的尺子”作標(biāo)準(zhǔn),以便更準(zhǔn)確地確定出某些級(jí)數(shù)的斂散性.一般情況下,在判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),若所求級(jí)數(shù)通項(xiàng)中出現(xiàn)對(duì)數(shù),三角函數(shù)的有理式等到形式時(shí),考慮用比較判別法及其推論,既省力又簡(jiǎn)單;若出現(xiàn)(指數(shù))、等形式時(shí),考慮用達(dá)朗貝爾判別法;若出現(xiàn)的次冪時(shí),考慮用柯西判別法,判別斂散性往往較好一些.判別級(jí)數(shù)的斂散性這一重要問(wèn)題,就一般級(jí)數(shù)而言,可用一般“數(shù)學(xué)分析”教材中通常介紹的幾個(gè)判別法來(lái)解決,特別

16、常用的就是達(dá)朗貝爾比式法和柯西根式法. 但有些級(jí)數(shù)用此二法不能判定其斂散性. 如判定的斂散性,用達(dá)朗貝爾判別法知.此時(shí)達(dá)朗貝爾判別法失效.對(duì)于此類級(jí)數(shù),若用達(dá)朗貝爾或柯西判別法判定其斂散性失效后,除可考慮用比較判別法等其它判別法判別外,我們還可用以下得出的判定法,判定這類級(jí)數(shù)的斂散性.問(wèn)題6：當(dāng)前面提到的判別法失效后還有什么方法嗎？ 并舉例說(shuō)明。答：達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法失效情況下，還有下面一些判別法：定理4 令.當(dāng)充分大時(shí),如果,則正項(xiàng)級(jí)數(shù)()收斂;當(dāng)充分大時(shí), ;則正項(xiàng)級(jí)數(shù)()發(fā)散.定理5 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),記.若則當(dāng)時(shí),正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.例16 判定級(jí)數(shù)的收斂性.解 因?yàn)樗?/p>

17、以,從而,即故原級(jí)數(shù)發(fā)散.例17 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,解 因?yàn)樗?從而原級(jí)數(shù)收斂.回顧一下正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法用起來(lái)較比較判別法方便，其原因是它只靠級(jí)數(shù)自身的特征來(lái)檢測(cè)，而比較判別法卻須去尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋容^對(duì)象然而，從達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法的證明可以看出，它們實(shí)質(zhì)上還是把所討論的級(jí)數(shù)同某一幾何級(jí)數(shù)作比較這兩種方法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，都會(huì)遇到失效的情況為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢?這實(shí)質(zhì)上是，把所有級(jí)數(shù)和收斂的幾何級(jí)數(shù)相比，它的項(xiàng)比幾何級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)值大，而和發(fā)散的幾何級(jí)數(shù)相比，它的項(xiàng)又比幾何級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)值小這也就是說(shuō)，要想檢驗(yàn)所論級(jí)數(shù)的斂散性，幾何級(jí)數(shù)這把“尺子”的精密度不夠

18、。p級(jí)數(shù)是比幾何級(jí)數(shù)更精密的一把“尺子”，而級(jí)數(shù)： 又比p級(jí)數(shù)更為精密，稱為對(duì)數(shù)尺子。仿照建立達(dá)朗貝爾判別法的辦法，將所論級(jí)數(shù)同一把比一把更精密的“尺子”相比較，建立了一個(gè)比一個(gè)適應(yīng)范圍更大但使用更加繁難的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法. 以級(jí)數(shù)作比較標(biāo)準(zhǔn),得到了拉貝判別法：定理6(拉貝判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù),若對(duì)一切,成立不等式則級(jí)數(shù)收斂;若對(duì)一切,成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散.推論6.1(拉貝判別法的極限形式) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且極限,則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.以上判別法都是基于把所要判斷的級(jí)數(shù)與某一收斂級(jí)數(shù)相比較而得到的,只有那些級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度比某一收斂級(jí)數(shù)收斂速

19、度快的級(jí)數(shù),這些判別法才有效.如果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂速度較慢,這些判別法就無(wú)能為力.但可以尋找通項(xiàng)收斂速度更慢的收斂級(jí)數(shù)作比較,獲得判別范圍更大的正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法,如高斯判別法,對(duì)數(shù)判別法等.還可建立比高斯判別法,對(duì)數(shù)判別法判別范圍更廣泛的判別法,這個(gè)過(guò)程是無(wú)限的.因?yàn)殛P(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的DUBois Raymond定理及Abel定理指出,不存在一種最精確的標(biāo)準(zhǔn)用以判別一切正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.每一種正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法都有局限性. 在具體問(wèn)題中,先考慮通項(xiàng)極限,若極限不存在,或雖存在但其值非零,則斷定級(jí)數(shù)發(fā)散無(wú)疑.若通項(xiàng)等于零,則可視通項(xiàng)的類型,選用達(dá)朗貝爾判別法或柯西判別法.若仍不能解決時(shí),再考慮用拉貝爾判別

20、法.拉貝爾判別法比前兩種方法更細(xì)更有效,這是因?yàn)檫_(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法都是以幾何級(jí)數(shù)為“標(biāo)準(zhǔn)”建立起來(lái)的,而拉貝爾判別法是以比幾何級(jí)數(shù)更精密的“尺子”級(jí)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)建立的.因此，比較判別法是檢測(cè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的根本方法從理論上說(shuō)，恰當(dāng)?shù)谋容^對(duì)象總是客觀存在的，因此，比較判別法適應(yīng)于一切正項(xiàng)級(jí)數(shù)。然而，恰當(dāng)?shù)谋容^對(duì)象要實(shí)際尋找出來(lái)很難因此，還是要建立象達(dá)朗貝爾判別法那樣實(shí)質(zhì)上已有固定比較對(duì)象且使用起來(lái)很方便的判別方法問(wèn)題7：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法有哪些？ 并舉例說(shuō)明。答：（一）首先給出下面定理：絕對(duì)收斂定理 如果級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂.如果級(jí)數(shù)收斂,則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;如果級(jí)數(shù)收斂,而發(fā)散,

21、則稱級(jí)數(shù)條件收斂.判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題:如果級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;如果級(jí)數(shù)發(fā)散,不能判定也發(fā)散,但如果用達(dá)朗貝爾判別法或柯西判別法判定發(fā)散,則可判定必發(fā)散.因?yàn)橛蒙蟽煞N方法判發(fā)散的依據(jù)是,當(dāng)時(shí),從而發(fā)散.（二）若所給級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，有下面的判別法：萊布尼茲判別法 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:;,則級(jí)數(shù)收斂.對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性的判別,應(yīng)先判別它是否絕對(duì)收斂,若不是絕對(duì)收斂,則用萊布尼茲判別法判定它(條件)收斂;用級(jí)數(shù)收斂的必要條件判定發(fā)散.另外,在用萊布尼茲判別法驗(yàn)證時(shí),用以下幾種方法:比值法:考察是否有;差值法:考察是否有;導(dǎo)數(shù)法:即建立一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)使,考察是否有.例18 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解 此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),其中,設(shè)，因?yàn)?從而,且,由萊布尼茲判別法知,級(jí)數(shù)收斂.例19 判別級(jí)數(shù)是否收斂,若收