FPGA環(huán)境下基于cordic運(yùn)算實(shí)現(xiàn)反正切運(yùn)算（VHDL）

1、CORDIC算法實(shí)現(xiàn)反正切運(yùn)算算法1. 前言CORDIC算法包括圓周系統(tǒng)、線性系統(tǒng)、雙曲系統(tǒng)三種旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，每種系統(tǒng)又分別具有旋轉(zhuǎn)模式和向量模式兩種運(yùn)算模式。其中，運(yùn)用最為廣泛的時(shí)圓周系統(tǒng)的兩種運(yùn)算模式，本文也立足與項(xiàng)目應(yīng)用，僅闡述圓周系統(tǒng)，其余系統(tǒng)可參看相關(guān)資料。2. 算法分析要充分理解圓周系統(tǒng)，我們需先引入其旋轉(zhuǎn)模式的概念，再以旋轉(zhuǎn)模式引申到向量的概念中去。CORDIC算法的旋轉(zhuǎn)模式運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是執(zhí)行一個(gè)平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),如圖1所示,就是從一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的過(guò)程.圖1.平面旋轉(zhuǎn)模式運(yùn)算示意圖如圖1中所示，原向量的坐標(biāo)表達(dá)式為 (1)其中，r為向量的長(zhǎng)度，由于本文的目的是討論角度的計(jì)算，

2、所以，都假定向量旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的長(zhǎng)度是固定不變的，這樣，我們可以專注于角度的變化。所以，目標(biāo)向量的坐標(biāo)表達(dá)式為 (2)即 用向量統(tǒng)一表示為 (3)公式1表示由向量到向量的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，即轉(zhuǎn)過(guò)的相角為，可以通過(guò)迭代運(yùn)算分多步執(zhí)行角度旋轉(zhuǎn),每一步完成旋轉(zhuǎn)的一部分.單步表述為: (4)其中表示下一步迭代需要執(zhí)行的運(yùn)算。根據(jù)公式2，必須確切知道每單步要旋轉(zhuǎn)的角度，具體計(jì)算方法闡述如下：為方便表示，并簡(jiǎn)化方程中的參量，方程(4)提取COS后變成 (5)規(guī)定每一步所調(diào)整的角度為 (6)即單次調(diào)整最大為當(dāng)n=0時(shí)調(diào)整，其后每次調(diào)整值逐步減小，如此多次調(diào)整后最終調(diào)整角度值即為目標(biāo)值，向量旋轉(zhuǎn)完畢。即，其中為角度調(diào)整的

3、方向，取值為-1，+1，每次的取值由上次調(diào)整完后的角度剩余量的符號(hào)決定，將仍舊需要調(diào)整的角度定義為。 (7)于是 (8)<0表示調(diào)整過(guò)度，需要回調(diào)，所以=-1，下一步要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，反之，=1，繼續(xù)按照逆時(shí)針調(diào)整。綜上所述，結(jié)合(5)、(6)式和(7)式以及旋轉(zhuǎn)模式下旋轉(zhuǎn)方向問(wèn)題，(5)式在工程實(shí)現(xiàn)時(shí)應(yīng)為 (9)公式（9）是可以工程實(shí)現(xiàn)的迭代公式，試想，通過(guò)n次迭代運(yùn)算后，向量由原來(lái)位置經(jīng)過(guò)了n次不同角度的旋轉(zhuǎn)，形成的新位置為 (10)由上式可以看出，對(duì)于給定次數(shù)的向量旋轉(zhuǎn)（n為有限次），所有的cos乘積趨近于固定值，為 (11)于是，令 (12)此K值與具體的迭代次數(shù)有關(guān)，對(duì)于所有的初始

4、向量（n=0）和旋轉(zhuǎn)角度而言，K時(shí)一個(gè)常數(shù)。而當(dāng)?shù)螖?shù)N趨向于無(wú)窮大時(shí)，K值收斂且K0.67253。通常定義K叫做聚焦常數(shù)，其倒數(shù)P1.64676，通常稱作旋轉(zhuǎn)增益，于是旋轉(zhuǎn)向量又寫(xiě)為 (13)在旋轉(zhuǎn)模式下，經(jīng)N次迭代運(yùn)算后，已趨近于0，即=1，CORDIC公式的輸出為， (14)公式(14)即為工程實(shí)現(xiàn)中的指導(dǎo)公式。在此種模式下，可以根據(jù)上式很方便的計(jì)算出一個(gè)給定角度的正弦、余弦和正切值。但在數(shù)字計(jì)算中，使用向量模式求取一個(gè)向量的角度更容易，我們此次的工程中需要求取的就是反正切的角度，這樣使用向量模式非常方便。向量模式的計(jì)算方法和旋轉(zhuǎn)模式很相似，區(qū)別在于向量模式的輸入只有一組坐標(biāo)值，求取此

5、向量的角度，只需要將此向量旋轉(zhuǎn)，使向量的Y坐標(biāo)趨近于0，即，使向量旋轉(zhuǎn)到與實(shí)軸重合，所轉(zhuǎn)過(guò)的角度即為此向量的角度。如圖2所示圖2.向量模式下旋轉(zhuǎn)求角度示意圖并且，在計(jì)算過(guò)程中，的取值需取決于調(diào)整過(guò)程中的符號(hào)，因?yàn)樵谙蛄磕Ｊ较乱{(diào)整的目標(biāo)位置為，故可根據(jù)的正負(fù)符號(hào)判斷向量轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是否已經(jīng)超過(guò)目標(biāo)值。當(dāng)?shù)\(yùn)算N次后，=1，實(shí)現(xiàn)指導(dǎo)公式變?yōu)椋?， (15)注意，此時(shí)的取值與旋轉(zhuǎn)模式下的區(qū)別。其原則仍是+1表示要正向（逆時(shí)針）調(diào)整，-1表示要逆向（順時(shí)針）調(diào)整。將Z值初始化為，經(jīng)迭代運(yùn)算，當(dāng)運(yùn)算持續(xù)到Y(jié)=0時(shí)，此時(shí) (16)，此即為我們需要的向量的反正切值，即為向量的角度。3. 代碼實(shí)現(xiàn)基于以上算

6、法原理，可實(shí)現(xiàn)計(jì)算的精確值，按照式（15），將Z賦初始值，由上一層模塊產(chǎn)生此反正切計(jì)算模塊的數(shù)據(jù)錄入使能load_dat_en，使能信號(hào)一個(gè)時(shí)鐘周期寬度，在此使能下錄入向量的坐標(biāo)值，在芯片化項(xiàng)目中，即，把IK、QK分別看做平面坐標(biāo)下向量的實(shí)部與虛部，進(jìn)而計(jì)算此坐標(biāo)的相角。IK、QK值與load_dat_en一起有效，并隨之產(chǎn)生本模塊內(nèi)部的運(yùn)算時(shí)序計(jì)數(shù)器，根據(jù)運(yùn)算精度要求，目前需要8次迭代運(yùn)算即可逼近目標(biāo)值，而不是一定要計(jì)算到，所以此時(shí)序計(jì)數(shù)器安排為110循環(huán)，在相應(yīng)位置執(zhí)行相應(yīng)操作，每個(gè)時(shí)鐘周期都計(jì)算當(dāng)前X、Y、Z的值，并在8此迭代都計(jì)算完畢后檢測(cè)所有步驟的Y值是否為0，有為0的即輸出對(duì)應(yīng)的Z

7、值作為相角值，如果沒(méi)有，則將第8次迭代結(jié)果作為最終結(jié)果輸出。輸出時(shí)產(chǎn)生一個(gè)數(shù)據(jù)輸出使能，一個(gè)時(shí)鐘周期寬度，告知上層調(diào)用模塊，可以讀取本模塊計(jì)算結(jié)果。在迭代運(yùn)算過(guò)程中，為方便計(jì)算，規(guī)定I/O口及模塊內(nèi)部的16bit數(shù)據(jù)在表征相角時(shí)涵蓋范圍是-180°+180°，用16bit中的低15bit表示0°180°，最高位表示符號(hào)位。這樣，可以得出相應(yīng)的一些關(guān)鍵角度所對(duì)應(yīng)的數(shù)值。角度數(shù)值90°X”4000”-90°X”C000”45°X”2000”26.565°X”12E4”14.036°X”09FB”7.125&#

8、176;X”0511”3.576°X”028B”1.79°X”0146”0.895°X”00A3”0.4476°X”0051”表1.角度與數(shù)值對(duì)應(yīng)實(shí)際計(jì)算時(shí)即按照表1中的角度進(jìn)行調(diào)制，此外，因?yàn)閍rctan函數(shù)本身定義域在-/2/2，為方便計(jì)算，可將二、三象限的向量分別映射到一、四象限進(jìn)行計(jì)算，具體方法是檢測(cè)輸入的實(shí)部、虛部值的符號(hào)來(lái)判斷象限，若在一、四象限，則可直接賦值計(jì)算，若在二象限，則將坐標(biāo)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)換/2，即將二象限角轉(zhuǎn)換至一象限，同樣道理，可轉(zhuǎn)換三象限角至四象限。如圖3所示。圖3.坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)換圖3所示為由原坐標(biāo)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)/2后的情形，此時(shí)，原來(lái)要求的減小了/2，現(xiàn)在只需求，將加/2即是所要求的。在程序中，不需要像敘述的這樣操作，只需計(jì)算的值，只是設(shè)置初始相角即可，如此，最終所得的角度值即為的準(zhǔn)