指數(shù)模型及其Python應用

1、第 7 章 指數(shù)模型及其 Python 應用【本章精粹】本章針對均值方差模型所存在的缺點， 介紹單指數(shù)模型， 并討論指數(shù)模型 環(huán)境下 是如何分散風險的，最后討論指數(shù)模型的證券特征線的 估計及其 Python 應用。7.1 單指數(shù)模型在馬柯維茨的均值 -方差模型的討論中，各資產(chǎn)間的協(xié)方差我們可以作任何假定，它們可以是由資產(chǎn)間存在的任意數(shù)量和種類的關系產(chǎn)生，而且在計算風險時所用的公式.一 2(g) =XTVX中，我們必須對需要花費大量時所選擇的資產(chǎn)間的協(xié)方差進行估計。如果資產(chǎn)數(shù)目太大，我 們就必須進行大量的協(xié)方差估計，使得在計算任一給定投資組合的方差時，在nE(rp) =7 XiE(rE(rp)

2、=7 XiE(r ；P =7 Xi2 2亠二 二 XjXkAkGG公式中，如果投資者考慮的是由i 二i 丄 i 二 kgk 農(nóng)n 種資產(chǎn)構成的組合，那么在求解有效資產(chǎn)組合時，需要掌握三個方面的根本數(shù)據(jù)：(1) 每一資產(chǎn)的平均收益率E(ri)，共需n個；(2) 每一資產(chǎn)收益方差 _2，共需 n 個；(3) 每一對資產(chǎn)之間的相關系數(shù) 久，共需 n*(n-1)/2 個?？傆嬓枰?2n+n*( n-1)/2 個根底性數(shù)據(jù)。對于每天追蹤30? 50 種股票的投資機構來說，那么,每天需要處理 495? 1325 個數(shù)據(jù)；對于每天追蹤 150? 250 種股票的投資機構來說，每天需 要處理11475 ? 3

3、1625 個數(shù)據(jù)；顯然，這對各種投資者來說都是一件非常耗時的事情。使得確定投資組合的如何使投資組合理論和方法有效實用、 簡便易行、真正為金融財務工作者效勞，就成了金融 財務經(jīng)濟學家極為關心的問題。單指數(shù)模型能幫助我們克服這一困難，方差計算過程變得簡單。 在股票市場中，我們發(fā)現(xiàn)，當市場投資組合( 如股票市場指數(shù) ) 的收益率顯著上升或下降時，幾乎所有股票的收益率都隨之上升或下降。雖然可能有一些股票的收益率比另一些股票的收益率上升或下降得要快，但總的來說都是呈相同趨勢變化。 這意味著，市場投資組合收益率的變化能充分反映各種資產(chǎn)的共同變化趨勢。因此對各個資產(chǎn)收益率之間的協(xié)方差的計算，可以用每一資產(chǎn)收

4、益率與市場投資組合收益率之間的協(xié)方差代替。單指數(shù)模型就是在假rM 具有關定資產(chǎn)的收益率只受市場投資組合即單指數(shù)收益率的影響下確定投資組合的權重。設資產(chǎn)的收益率具有簡單的線性結構，即其收益率r 和市場投資組合收益率系式假定市場中有 n 種資產(chǎn)，那么按上述結構，第 i 種資產(chǎn)的收益率滿足it Mt 0 ,'=1,2,n ； t=1,2,N其中： ?，加為待估參數(shù)， e 為殘差。 在單指數(shù)模型的討論中，假定影響各個資產(chǎn)收益率的因素有兩類： 第一類為宏觀因素。例如通貨膨脹率、主要利率的變化、就業(yè)率等，在任何情況下，這 些因素的影響都是相當大的， 幾乎所有企業(yè)、所有公司都不同程度地受到它們的影響

5、，會引 起資產(chǎn)價格總體水平的變化， 再通過市場的推動， 會影響到市場投資組合收益率水平， 進而 影響到各資產(chǎn) 的收益率。因此宏觀因素影響整個市場的收益率。第二類為微觀因素。例如一種新產(chǎn)品的推出或老產(chǎn)品的淘汰、局部地區(qū)或一個公司主要領導的變化，它們都只對個別企業(yè)或公司產(chǎn)生影響而不會影響到市場投資組合的收益率，從而使個別資產(chǎn)的收益率偏離市場特征線，出現(xiàn)殘差。所以微觀因素僅影響個別資產(chǎn)的收益率。其他類型的因素在單指數(shù)模型中不予考慮。例如行業(yè)因素，某些事件對某一行業(yè)內雖然這類因素的所有企業(yè)產(chǎn)生影響，但卻缺乏以影響到整個經(jīng)濟形勢或市場投資的收益率。也能引起殘差，但我們假定殘差只由微觀因素所致。從而我們有

6、如下假設，對資產(chǎn)i,j=1,2,n 有cov(e,ej =0, (i 知)(7-165)(7-2)E(e)=ocov (e,為) =0式( 7-1 )說明在任一時期殘差可能為正，也可能為負，但期望值為零。式( 7-2 )說明資產(chǎn)殘差與市場投資組合收益率不相關， 即它與市場投資組合是多頭或空頭(銷售方 )無關，不因為市場投資組合為多頭 (購入方 )而成正值，也不因為市場投資組合為 空頭而為負值。(7-3)由單指數(shù)模型結構假設 G ?訂就(化和以上各項假設有E( rjF 十貝 E( M)由 r f r 飛, 和式 (7-3)可得r =E (r+ 鳥帀一一 E (m ) =E (r) + b m+e

7、即：r =E (rJ m e這是指數(shù)模型的另一種假設，即任意資產(chǎn)的收益率由期望收益率和非期望收益率組成。在下(7-4)一章的套利定價理論假設中，我們要將這里的m 替換成 F。二 2( r) Er -E ( ri) 2 =E 'i( rM E( M) e2 ( e)cov (r,rj) =E : r -E (r)j -Eg ):二 E (訂m -E (m) e :m -E (m) : ej)-'i -jJ(rM ) cov(rMr =Er -E (r) rM -E( M)二 E M E( M) e M -E( M)=忙 2( M)同時我們還假定(7-7):_cov(r ,rM )

8、從而一 2/ 、-( rM )式( 7-3 )給出了資產(chǎn) i 的特征方程，式( 7-7 )說明特征方程中的系數(shù)即模型結構中的系數(shù)恰好為資產(chǎn) i 的風險系數(shù)。式( 7-4 )給出了資產(chǎn) i 收益率的方差，它刻畫出了資產(chǎn) i 的風險，式 ( 7-4)右邊的第一項稱為資產(chǎn)投資的系統(tǒng)風險?？梢钥醋魇桥c整個市場組 合有關的風險。它是由市場投資組合中各資產(chǎn)的風險共同作用產(chǎn)生的，是所有資產(chǎn)無法防止的風險。式 ( 7-4 )右邊第二項稱為殘差方差或非系統(tǒng)風險， 可以看作是由微觀因素所 帶來的風險， 它僅影響到個別資產(chǎn)，是可以通過投資組合而消去的風險。因此式(7-4 )屮幾) =險 2佈)心 )說明：資產(chǎn)總體風

9、險 =系統(tǒng)風險 +非系統(tǒng)風險另外，系統(tǒng)風險本身是兩項之積， 第一項為哪一項資產(chǎn)的因子，它表示資產(chǎn)收益率隨市場投資組合的變動而受影響的程度，第二項是市場投資組合收益率的方差， 表示市場投資組合收益率的變化幅度。第二項非系統(tǒng)風險， 即殘差方差，表示資產(chǎn)收益率由于偏離了特征線而引 起的那部分方差的大小。 在單指數(shù)模型的假設下， 資產(chǎn)收益率的總體方差來自兩局部： 一部即非系統(tǒng)風險分是特征線的變動即系統(tǒng)風險，另一局部是各點偏離特征線的程度下面考慮在單指數(shù)模型下投資組合的結構。設滿足單指數(shù)模型的 n種資產(chǎn)的投資組合，那么投資組合仍有單指數(shù)結構:nnnp =E Xi=XXiC i +臣 x Bi _1i 1

10、nnE pXiE i=無 Xig +!乞 Xi Bi |Em+Z XiE ei 1i _1二丿i _1簡與為：Rp -ppRm ' e p:P =COV (n=S X COVi -1r P,M)/ ;2 (M )二 COV a XVijM /；n(r ,M)/CT2 (M )=遲 XiBi -12 rm丿(7-和式7-1 ,式7-2，有'In|m +1 瓦 xe2丿yn='、Xi 卜 i ct2 ( r m) +瓦 Xj2CF2e)72 2匸(p) - : '|Z xa + 臣 xE在單指數(shù)模型下，式7-8說明投資組合仍具有同類的單指數(shù)結構，的-:因子為各資產(chǎn)因

11、子的加權平均，而式7-10 說明投資組合的方差 似，仍由兩局部構成，第一項為哪一項由市場投資組合方差反映的系統(tǒng)性風險，產(chǎn)非系統(tǒng)風險的加權平均以X2為權重。Xi通過以上討論，在單指數(shù)模型下，馬柯維茨組合投資模型為nncov (e e)(7-1式7-9說明投資組 合風險與單種資合中各資第二項反映的是組minvy2 (p)=(瓦 X E) 2<j2 (帀)+ 瓦 XA2 (es) =0 (i = j)J Xi =11S.t* 一F、n n n(7-1xq +.?X A |E( rM ) 丿根據(jù)上面的公式可知，利用單指數(shù)模型進行資產(chǎn)組合，所需要的估計量如下1n個市場風險敏感測度I：n個獨立的風險

12、指標,_2 兮；3n個與市場指數(shù)無關的平均收益率41個市場組合平均收益率 e r m;51個市場組合風險指標 二2 皿?？傆嬓枰?n+2個根本數(shù)據(jù)。這樣，對于每天追蹤30? 50種股票的投資者，每天需要收集處理92? 152個數(shù)據(jù)；對于每天追蹤150? 250種股票的機構投資者來說，每天僅需要收集 處理452 ? 752個數(shù)據(jù)即可。這與馬柯維茨組合投資模型相比，該模型所需要估計的數(shù)值大為減少，它只需要估計各資產(chǎn)的二值、值、殘差方差 匚2?及市場投資組合的預期收益率e rm和方差:-'帀，這比估計各資產(chǎn)之間的協(xié)方差的工作量少一個數(shù)量級。但該模型的精 度不如馬柯維茨組合投資模型，它依賴于各

13、資產(chǎn)收益率的單指數(shù)結構假設的合理性。7.2指數(shù)模型與分散化由Ri 7 *RM V(R,RM為超額收益率，即 R =r - LRM "M _f)可知：'P fAM ' eP現(xiàn)在要說明的是隨著投資組合數(shù)量的增加，由非市場因素引起的投資組合風險變小了 素不變。以等權重投資組合為例，權重Xi =1/ n，那么零均值變量:nnnRp =遲 Xi R T/ n 遲 ri =1/ n 送 ct + 1/ n 遲 B i 1 匚Rm 1/ n， ei丄發(fā)現(xiàn)：將Rppi 2與上式比擬,而市場因n:-p =11 n1, ；2(ep) i 4投資組合對市場成分的敏感度：1/n i-1ep

14、=1/ n、ei；p = -P ； M 亠 (ep)其中韋；-2取決于ip和廠2，不受投資組合分散化的影響。<1 2 1 _22 (e)2 (e)5.丿n亍2(e)是公司特有成分方差的平均值，當n很大時，廠：仗戸)趨于0總之，隨著分散化程度的增加，投資組合的總方差會接近系統(tǒng)風險。7.3 指數(shù)模型的證券特征線估計的python應用給定ABC公司超額收益率的假設干歷史樣本，運用于ABC公司就可Ri W 丁 Li Rm e以得到如下的回歸方程:BC =ABC 'ABC AHS300 ' eABC還可以得到此回歸方程的擬合度RABC -ABC"-' HS300I

15、 : : -2_ 2 _ 2-ABC"HS300(eABC )式中:2 _2Bahs300公司ABC的系統(tǒng)風險;公司ABC的非系統(tǒng)風險(公司的特有風險)。 例：有表7-1的數(shù)據(jù)樣本。表7-1市場組合與證券1，2，3，4數(shù)據(jù)樣本日期市場組合證券1證券2證券3證券4rMtr1tr2tr3tr4t10.01234240.01198920.02357320.02005680.00609762-0.046799-0.037532-0.02174-0.010379-0.01069530.03502080.00560850.00911580.02535790.02127744-0.007361-0

16、.007861-0.00546-0.011015-0.0289885-0.008848-0.025115-0.064052-0.014343-0.07553860.00171870.0092060.0038835-0.0767040.006655670.02067770.07074770.08004270.05807270.10087288-0.005059-0.017223-0.005381-0.006563-0.0227459-0.026554-0.062731-0.080492-0.111322-0.08145100.00921670.01263660.00969940.0164237-

17、0.025275110.00400570.02145760.01722530.03030530.0152416對市場組合和證券1作回歸。先在目錄G:2glkxdata下建立tz7-1.xlsx數(shù)據(jù)文件后，取數(shù)的命令如下 import pan das as pdimport nu mpy as np#讀取數(shù)據(jù)并創(chuàng)立數(shù)據(jù)表，名稱為data。data二pd.DataFrame(pd.read_excel('F:2glkxdatatz7-1.xlsx')#查看數(shù)據(jù)表前5行的內容data.head()對表7-1中的r1t,rMt兩列的數(shù)據(jù)進行回歸分析，輸入如下代碼:import stat

18、smodels.api as smimport pan das as pdimport nu mpy as npx = n p.array(data'rMt')y = n p.array(data'r1t ')# model matrix with in terceptX = sm.add_c on sta nt(x)#least squares fitmodel = sm.OLS(y, X)fit = model.fit()print fit.summary()得到如下結果OLS Regressi on ResultsDep. Variable:y R-squ

19、ared:0.557Model:OLS Adj. R-squared:0.507Method:Least Squares F-statistie:11.30Date:Thu, 16 Feb 2021 Prob (F-statistic):0.00837Time:10:07:44 Log-Likelihood:26.294No. Observatio ns:11 AIC:-48.59Df Residuals:9 BIC:-47.79Df Model:1Covaria nee Type:non robustcoef std err t P>|t|95.0% Co nf. In t.eon st-0.00050.007-0.0640.950-0.0170.016x11.17040.3483.3610.0080.3831.958Omn ibus:0.763Durbi n-Watso n:32.191Prob(O mn ibus):0.683 Jarque-Bera (JB):0.195Skew:0.318 Prob(JB):0.907Kurtosis:2.849 Cond. No.47.1通過觀察上面的結果，可以看出模型的F值為11.30, P值為0.008，說明該模型整體上是顯著的。模型的可決系數(shù)R-squared= 0.557