我的高三數(shù)學(xué)家教輔導(dǎo)資料——三角函數(shù)

1、第8頁共9頁2011北京卷已知函數(shù)f(x)=4cosxsin,十石廠1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間一6，4I上的取大值和取小值【解答】因為f(x)=4cosxsin3+6p1=4cosx2sinx+2cosx1=-'J3sin2x+2cos2x1=3sin2x+cos2x=2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期為兀.一，兀-兀兀，兀12兀(2)因為6<x<4,所以6<2x+6<y.于是，當(dāng)2x+6=2F,即x=6B,f(x)取得最大值2;當(dāng)2x+：=6即x=,f(x)取得最小值一1.2011湖南卷在ABC中，角A,B,C所對的邊分別

2、為a,b,c,且滿足csinA=acosC.(1)求角C的大?。?2)求43sinAcosM+4的最大值，并求取得最大值時角A,B的大小.【解答】(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.因為0<A<ti,所以sinA>0.從而sinC=cosC.一一一一一，兀又cosCw。，所以tanC=1,則C=一4,.371(2)由(1)知,B=4-A,于gsinA-cosB+44V3sinA-cos(亡A)=V3sinA+cosA=2sina+,2sinA+6 ,取最大值2.因為0<A<3-5,所以。<A+11：5從而當(dāng)A=,即A=4661262綜上所述

3、，/3sinA-cos|B+4和最大值為2,此時A=；,B=52r.2011江蘇卷在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若sinjA+6尸2cosA,求A的值；1(2)若cosA=-,b=3c,求SinC的值.3本題主要考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式、解三角形，考查運算求解能力.【解答】(1)由題設(shè)知sinAcos6+cosAsin6=2cosA.從而sinA=*3cosA,所以cosAw0,tanA=43,因為0VAv兀，所以A=".3(2)由cosA=1,b=3c及a2=b2+c2-2bccosA,得a2=b2-c2.故ABC是直角三角形，且B=2,1所以s

4、inC=cosA=-3.2011天津卷已知函數(shù)f(x)=tan?x+4j(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)設(shè)正(0,4)若f改)=2cos2%求a的大小.【解答】(1)由Zx+nj+k&kCZ,得xw；+岑，kCZ.所以f(x)的定義域為ACRxwj+/,kCZ>兀f(x)的最小正周期為2.(匚、%、.產(chǎn)兀、.sina+4(2)由f2尸2cos2”，4Iftan4尸2cos2a,£-=2(cosasina),cosa+4j擊aTutZBsina+cosoc_.整理得=2(cosa+sina)(cosasina).cosasina因為a”，41,所以sina+c

5、osa*0,因止匕(cosasina)2=1,即sin2a=2.由代0,4"彳導(dǎo)2aC(0,2i,所以2a=：,即a=日2011安徽卷在ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊長，a=V3,b=<2,1+2cos(B+C)=0,求邊BC上的高.本題考查兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的邊與角之間的對應(yīng)大小關(guān)系，考查綜合運算求解能力.【解答】由1+2cos(B+C)=0和B+C=兀一A,得12cosA=0,A13.3cosA=2,sinA=亍.再由正弦定理，得bsinA2sinB=三a2,.一一.,兀.由b<a知B

6、<A,所以B不是最大角，B<2,從而cosB=小-sin2B=坐.由上述結(jié)果知c231sinC=sin(A+B)=2<2+2.設(shè)邊BC上的高為h,則有,3+1h=bsinC=F-.2011全國卷4ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,asinA+csinC-WasinC=bsinB.求B；(2)若A=75°,b=2,求a,c.【解答】由正弦定理得a2+c2-V2ac=b2.由余弦定理得b2=a2+c22accosB.故cosB=*,因此B=45°.(2)sinA=sin(30平45)=sin30cos45°+cos30sin45,2+,6

7、故 a = bx嘴=中=1 +8sinB 2c= bxsinC2*sin60sinBsin45a, b, c,已知 sinC+cosC=12011江西卷在ABC中，角A,B,C的對邊分別是.C一sin2.(1)求sinC的值；(2)若a2+b2=4(a+b)8,求邊c的值.+ 1 = 2sin2C,C一C【解答】由已知得sinC+sin-=1cosC,即sin-由$吟金0得2cosC+1=2sinC,即sin'cosC=：兩邊平方得：sinC=：4.CC1c/曰兀C兀目口7t帛,3/日八J7(2)由sincos£=2>0得4V3V2,即2vC7t,則由sinC=4得co

8、sC=一=由a2+b2=4(a+b)8得：(a-2)2+(b-2)2=0,則a=2,b=2.由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=8+2巾，所以c=寸7+1.2011遼寧卷4ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a.求b；a(2)若c2=b2+43a2,求B.【解答】(1)由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=V2sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=V2sinA.故sinB=皿sinA,所以b=也.(2)由余弦定理和c2=b2+V3a2,得cosB=世興3目由(1)知b2=2a2,故c2=(2+V3)a2.可得

9、cos2B=1,又cosB>0,故cosB=32,所以B=45°.cosA2cosC2011山東卷在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知cosB2cab,、sinC上(1)求一"X"的值；sinA(2)若cosB=%ABC的周長為5,求b的長.【解答】(1)由正弦定理，設(shè)a b c .=-=k.sinA sinB sinC2ca2ksinCksinA2sinCsinAsinBksinB所以原等式可化為cosA 2cosc 2sinC sinAcosBsinB即(cosA2cosC)sinB=(2sinCsinA)cosB,化簡可得sin(A+

10、B)=2sin(B+C),又因為A+B+C=tt,所以原等式可化為sinC=2sinA,sinCc因此一二=2.sinA(2)由正弦定理及snC=2得c=2a,sinA由余弦定理及cosB=1得4b2=a2+c22accosB=a2+4a24a2x14=4a2.所以b=2a.又a+b+c=5.從而a=1,因此b=2.2011浙江卷在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知sinA+sinC=psinB(pCR),且ac=1b245當(dāng)p=4，b=1時，求a,c的值；(2)若角B為銳角，求p的取值范圍.【解答】(1)由題設(shè)并利用正弦定理，得5a+c=4,1ac=4,a=1,解得<

11、1c=44(2)由余弦定理,1a=4c=1.b2=a2+c22accosB2=(a+c)2ac2accosB221212=pb2b2bcosB,即因為OvcosBvl,得p2Cp2=|+2cosB,g2),由題設(shè)知p>0,所以乎vpvV2.2011山東卷在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知求需的值；sinA1(2)若cosB=4，b=2,求ABC的面積S.cosA2cosc2cacosB【解答】由正弦定理,設(shè)snA=UB=st=k，2ca2ksinCksinA2sinCsinAksinBsinB'所以cosA2cosc2sinCsinAcosBsinB即(cos

12、A2cosC)sinB=(2sinCsinA)cosB,化簡可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=tt,所以原等式可化為sinC=2sinA,因此(2)由sinA sinCsinA=2 得 c= 2a.,人一、一O11一1由余弦7E理b2=a2+c22accosB及cosB=,b=2,得4=a2+4a24a2x-,4'解得a=1,從而c=2.又因為cosB=1,且0<B<Tt.4所以sinB=54-因此S=2acsinB=2><1x2x45=459 ；= f(0).求函數(shù) f(x)32011重慶卷設(shè)aCR,f(x)=cosx(asinxcosx)+cos2/-x滿足f一在1124m上的最大值和最小值.【解答】f(x)=asinxcosxcos2x+sin2x=2sin2xcos2x.由f13'廠f(0)得當(dāng)2+2=T，解得a=23.因此f(x)=3sin2xcos2x=2sin2x，；當(dāng)xC-時2x3e4'3_.，615耳32Jf(x)為增函數(shù)，當(dāng)xC一兀117tL4C兀一兀3U2x-6北，4