我看矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用華中科技大學(xué)文華學(xué)院城市建設(shè)工程學(xué)部環(huán)境工程1班劉叢目錄摘要3實(shí)際應(yīng)用舉例4論文總結(jié)15參考文獻(xiàn)16摘要：隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中廣泛而深入的應(yīng)用是當(dāng)前經(jīng)濟(jì)學(xué)最為深刻的因素之一，馬克思曾說(shuō)過(guò)：“一門學(xué)科只有成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)時(shí)，才真正達(dá)到了完善的地步”。下面通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明矩陣在經(jīng)濟(jì)生活中、人口流動(dòng)、電阻電路、密碼學(xué)、文獻(xiàn)管理的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：矩陣、人口流動(dòng)、電阻電路、密碼學(xué)、文獻(xiàn)管理:矩陣在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用1 .“活用”行列式定義定義：用符號(hào)小%J表示的n階行列式D指的是n!項(xiàng)代數(shù)和，這些項(xiàng)是一切可能的取自D不同行與不同列上的n個(gè)元素的乘積年2%網(wǎng)"7

2、&2%的符號(hào)為。由定義可以看出。n階行列式是由n!項(xiàng)組成的，且每一項(xiàng)為來(lái)自于D中不同行不同列的n個(gè)元素乘積實(shí)例1:某市打算在第“十一”五年規(guī)劃對(duì)三座污水處理廠進(jìn)行技術(shù)改造，以達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)要求。該市讓中標(biāo)的三個(gè)公司對(duì)每座污水處理廠技術(shù)改造費(fèi)用進(jìn)行報(bào)價(jià)承包，見(jiàn)下列表格（以1萬(wàn)元人民幣為單位）.在這期間每個(gè)公司只能對(duì)一座污水處理廠進(jìn)行技術(shù)改造，因此該市必須把三座污水處理廠指派給不同公司，為了使報(bào)價(jià)的總和最小，應(yīng)指定哪個(gè)公司承包哪一座污水處理廠？192416172015設(shè)這個(gè)問(wèn)題的效率矩陣為1921171,根據(jù)題目要求，相當(dāng)于從效率矩陣中選取來(lái)自不同行不同列的三個(gè)元素“和”中的最小者！從行列式

3、定義知道，這樣的三個(gè)元素之共有31=6（項(xiàng)），如下：19 24 16Dj= 17 國(guó) 1519 21 立 1942fM 7=56Dr=19i 24 1617 20 11519 怎 17 19415_21=5519 24)16 'D產(chǎn)叵20 1519 21 回7+17=519 24 回D產(chǎn)叵20 15119 回 17 I16+17+21=5419 四 16D尸17 20同©24+15+19=5819 24 國(guó)%= 17 回 15國(guó) 21 1715+20+19=55由上面分析可見(jiàn)報(bào)價(jià)數(shù)的范圍是從最小值54萬(wàn)元到最大值58萬(wàn)元。由得到最小報(bào)價(jià)總數(shù)54萬(wàn)元，因此，該城市應(yīng)選定即公司I

4、浮水處理廠C公到u冷泰處翌廠A公司HI浮水於理廠B2 .“借用”特征值和特征向量定義：“設(shè)A是F中的一個(gè)數(shù).如果存在V中的零向量窘,使得“行工簿，那么A就叫做的特征值，而叫做的屬于本征值A(chǔ)的一個(gè)特征向量。實(shí)例2:發(fā)展與環(huán)境問(wèn)題已成為21世紀(jì)各國(guó)政府關(guān)注和重點(diǎn)，為了定量分析污染與工業(yè)發(fā)展水平的關(guān)系，有人提由了以下的工業(yè)增長(zhǎng)模型：設(shè)是某地區(qū)目前的污染水平（以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測(cè)量單位）":是目前的工業(yè)發(fā)展水平（以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測(cè)量單位）.若干年后（例如5年后）的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為和町和力，它們之間的關(guān)系為力=2%42%試分析若干年后的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平。對(duì)于

5、這個(gè)問(wèn)題，將（1）寫(xiě)成矩陣形式，就是j 町'j 3 的 I力R 2 2八%”0=A%即（2）式可寫(xiě)成設(shè)當(dāng)前的曲=（1.1R則江產(chǎn)由此可預(yù)測(cè)若干年后的污染水平與工業(yè)-12)發(fā)展水平為原來(lái)的4倍二：人口流動(dòng)問(wèn)題（矩陣高次事的應(yīng)用）設(shè)某中小城市及郊區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有30萬(wàn)人從事農(nóng)、工、商工作，假定這個(gè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會(huì)調(diào)查表明：在這30萬(wàn)就業(yè)人員中，目前約有15萬(wàn)人從事農(nóng)業(yè)，9萬(wàn)人從事工業(yè)，6萬(wàn)人經(jīng)商；在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有20瞰為務(wù)工，10瞰為經(jīng)商；在務(wù)工人員中，每年約有20%a為務(wù)農(nóng)，io%a為經(jīng)商；在經(jīng)商人員中，每年約有io%a為務(wù)農(nóng)，io%a為務(wù)工?，F(xiàn)欲預(yù)測(cè)一、二年后從事各業(yè)人

6、員的人數(shù)，以及經(jīng)過(guò)多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)之發(fā)展趨勢(shì)?，F(xiàn)做如下解答：若用三維向量(xi,yi,Zi)T表示第i年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，則已知(x0,y0,z0)T=(15,9,6)To而欲求(Xi,yi,Zi)T,(x2,y2,Z2)T并考察在n-8時(shí)(Xn,yn,zn)T的發(fā)展趨勢(shì)。依題意，一年后，從事農(nóng)、工、商的人員總數(shù)應(yīng)為XXi=0.7xo+0.2yo+0.1Z0(Yi=0.2x0+0.7y0+0.1Z0I乙=0.1x0+0.1y0+0.8Z0即x。V。z Z0jx0=A yg 1Z0 J0.70.20.10.20.70.10.10.10.8以(x0,y0,z0)T=(15,9,

7、6)T代入上式，即得r112.9'Y1=9.9ZJ7.2,即一年后從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為12.9 萬(wàn)、9.9 萬(wàn)、7.2萬(wàn)人以及2Y21乙,x1=A y 1鼠Z1 /f x0=A2 y 0Z0 J11.7310.23、8.04即兩年后從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為8.04萬(wàn)人。11.73 萬(wàn)、10.23 萬(wàn)、進(jìn)而推得nynZn JXn-1 "=A yn-1LZn-1 )=An yz0j即n年之后從事各業(yè)人員的人數(shù)完全由An決定。三：電阻電路的計(jì)算如圖所示的電路中，已知R=2Q,R=4Q,R=12Q,R=4Q,R=12Q,R=4Q,R=2Q,設(shè)電壓源Us=10V,求i3,u4,u7

8、.a*IC現(xiàn)求解如下:設(shè)各個(gè)網(wǎng)孔的回路電流分別為ia,i b和i c,由物理學(xué)定律,任何回路中諸元件上電壓之和等于0.據(jù)圖可列由各回路的電壓方程為(Ri+R+R)i a-R3i b=us-R3i a+(R3+R+R)i b-RJ c=0-R5i b+(R5+R+R)i c=0可寫(xiě)成矩陣形式為:1+R+R-R30i-R3R3+R+R-R50-R5R+R+R把參數(shù)代入，列萬(wàn)程如下：18-120iVa11-12 28 -12 i 、0 -12 18 i簡(jiǎn)寫(xiě)成其中 I=( i a,i b,i c)To1 0 f 0 0.9259U= 0 1 0 0.55560 0 1 0.3704意味著r i aI

9、= i b =< i cjb=0Us只cJ0)Al=bus已知Us=10,解矩陣方程得這就是問(wèn)題的解Jf0.9259)0.5556-0.3704，任何穩(wěn)態(tài)電路問(wèn)題都可以用線性代數(shù)方程描述。直流電路構(gòu)成的是實(shí)系數(shù)方程，它的解為實(shí)數(shù)；而交流電路構(gòu)成的是復(fù)系數(shù)方程，它的解為負(fù)數(shù)。所以用矩陣方程和計(jì)算機(jī)軟件就顯得更為重要。由此題我們看由矩陣在表示數(shù)方面有簡(jiǎn)潔直觀、表現(xiàn)力強(qiáng)的特點(diǎn)，是理論與實(shí)際結(jié)合的一個(gè)很好的觸點(diǎn)。四：矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用在密碼學(xué)中，原來(lái)的消息為明文，經(jīng)過(guò)偽裝的明文則變成了密文。有明文變成密文的過(guò)程稱為加密。由密文變成明文的過(guò)程稱為譯密。改變明文的方法稱為密碼。密碼在軍事上和商業(yè)上

10、是一種保密通信技術(shù)。矩陣在保密通信中發(fā)揮了重要作用。例如，如圖所示，當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，對(duì)Rn中的所有X,等式A-1AX=X說(shuō)明，A-1把向量AX變回到XA1確定的線性變換稱為由A確定的線性變換的逆變換。這使一些有心人想到可用可逆矩陣及其逆矩陣對(duì)需發(fā)送的秘密消息加密和譯密。假設(shè)我們要送生的消息“ACCOMPLISHTHETASK.。首先把每個(gè)字母A,B,C,Z映射到數(shù)1,2,3，26.例如，數(shù)1表示A,數(shù)11表示K;另外，用0表示空格，27表示句號(hào)等。于是數(shù)集：1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,5,0,20,19,11,27：表示消息“ACCOMPLISHTHETASK這個(gè)消息（按

11、列）寫(xiě)成4X5矩陣1131981M=31685193120011J59202027,密碼的發(fā)送者和接收者都知道的密碼矩陣是1-1-11、A=30-343-22-1-112-2其逆矩陣（譯碼矩陣）是91-17A-1=1/251-15-19-13-13,-21-13-15加密后的消息通過(guò)通信渠道，以乘積AM的形式輸由，接收者收到的矩陣1-1-1111319813-22-13120011-112-215J9202027C = AM =0 -3 4 13 16 8 5 1910-63123-2543913710478-122221-6-40-229-51-43-14之后接收者通過(guò)計(jì)算乘積A-1C來(lái)譯由

12、消息，即相繼變換矩陣C的第1歹U,第2歹U,的元素就會(huì)變回到原來(lái)的信息。上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用，將高等代數(shù)與密碼學(xué)緊密結(jié)合起來(lái)。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)破譯密碼，進(jìn)而運(yùn)用到軍事等方面?？梢?jiàn)矩陣的作用是何其強(qiáng)大。五：矩陣在文獻(xiàn)管理中的應(yīng)用假如數(shù)據(jù)庫(kù)中包括了n個(gè)文件，而搜索所用的關(guān)鍵詞有m個(gè)，如果關(guān)鍵詞按字母順序排列，我們就可以把數(shù)據(jù)庫(kù)表示為mxn的矩陣A其中每個(gè)關(guān)鍵詞占矩陣的一行，每個(gè)文件用矩陣的列表示。A的第j列的第一個(gè)元素是一個(gè)數(shù)，它表示第一個(gè)關(guān)鍵詞由現(xiàn)的相對(duì)頻率；第二個(gè)元素表示第二個(gè)關(guān)鍵詞由現(xiàn)的相對(duì)頻率；，依次類推。用于搜索的關(guān)鍵詞清單用Rm空間的列向量x表示。如果關(guān)鍵詞清單中第i個(gè)關(guān)鍵詞在

13、搜索列中由現(xiàn)，則x的第i個(gè)元素就賦值1,否則就賦值0。為了進(jìn)行搜索，只要把AT乘以xo下面我們來(lái)看一個(gè)例子：假如，數(shù)據(jù)庫(kù)包含有一下書(shū)名：B1-應(yīng)用線性代數(shù)，B2-初等線性代數(shù)，B3-初等線性代數(shù)及其應(yīng)用，B4-線性代數(shù)及其應(yīng)用，B5-線性代數(shù)及應(yīng)用，B6-矩陣代數(shù)及應(yīng)用，B7-矩陣?yán)碚摗６阉鞯?個(gè)關(guān)鍵詞組成的集按以下的拼音字母次序排列；初等，代數(shù)，矩陣，理論，線性，應(yīng)用因?yàn)檫@些關(guān)鍵詞在書(shū)名中做多由現(xiàn)1次，所以其相對(duì)頻率數(shù)不是0就是1。當(dāng)?shù)趇個(gè)關(guān)鍵詞由現(xiàn)在第j本書(shū)名上時(shí)，元素A(i,j)就等于1,否則就等于0。這樣我們的數(shù)據(jù)庫(kù)矩陣就可用下表表示：假如讀者輸入的關(guān)鍵詞是“應(yīng)用，線性，代數(shù)”，則數(shù)

14、據(jù)庫(kù)關(guān)鍵詞書(shū)B(niǎo)1B2B3B4B5B6B7初等0110000代數(shù)1111110矩陣0000011理論0000001線性1111100應(yīng)用1011110矩陣和搜索向量為0 11 1A= 0 00 010000111100001100001111110 11 11 1 y=A Tx= 0 1 0 1 0 0搜索結(jié)果可以表示為兩者的乘積：y=ATx,于是可得y的各個(gè)分量就表示各書(shū)與搜索向量匹配程度。因?yàn)閥二y3=y4=y5=3,說(shuō)明四本書(shū)B(niǎo)1,B3,B4,B5必然包含所有三個(gè)關(guān)鍵詞。這四本書(shū)就被認(rèn)為具有最高的匹配度，因而在搜索的結(jié)果中會(huì)把這幾本書(shū)排在最前面。本例把線性變換的概念進(jìn)一步擴(kuò)展，它不一定是在

15、具體的幾何空間內(nèi)進(jìn)行的變量變換，在本例中是從“關(guān)鍵詞”到“文獻(xiàn)目錄”的變換?，F(xiàn)代搜索中往往包括幾百萬(wàn)個(gè)文件和成千的關(guān)鍵詞，但由于矩陣和向量的稀疏性，節(jié)省計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間和搜索時(shí)間?！菊撐目偨Y(jié)】經(jīng)過(guò)不斷努力，一篇小論文終于新鮮由爐。這段時(shí)間，我去圖書(shū)館查閱資料，仔細(xì)觀摩范文，研究參考文獻(xiàn)。這次論文的編寫(xiě)不僅加深了我們對(duì)矩陣的了解，明確了它的重要性，還使我認(rèn)識(shí)到生活中有很多應(yīng)用都涉及到了矩陣知識(shí)。感謝李創(chuàng)舉老師一個(gè)學(xué)期以來(lái)辛勤的工作，你認(rèn)真的工作態(tài)度，仔細(xì)的講解，讓我們對(duì)自動(dòng)控制原理這門非常難的課有了最基本的了解。也許這篇論文顯得有些淺顯，用語(yǔ)也并不專業(yè)，但它鍛煉了我的思維方式，開(kāi)闊了我的視野,也使得我們對(duì)矩陣學(xué)習(xí)有了更新的了解。總之，感謝李老師的教導(dǎo)，我一定會(huì)更加努力，不僅僅是在自動(dòng)控制原理的學(xué)習(xí)上，也在整個(gè)大學(xué)生活中努力做到更好，使自己成為