分式方程的應(yīng)用

1、 數(shù)學(xué) 學(xué)科導(dǎo)學(xué)案（第 次課）教師: 學(xué)生: 年級: 八 日期: 星期: 時段: 課 題分式方程的應(yīng)用 學(xué)情分析教學(xué)目標(biāo)與 考點(diǎn)分析1、 能夠根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確列分式方程解決問題；2、 會將有關(guān)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成分式方程來解決，感悟分式方程是反映現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系的 一種模型；3、 培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和靈活運(yùn)用所學(xué)知識點(diǎn)解決問題的能力。 教學(xué)重點(diǎn)用分式方程解決實(shí)際問題； 教學(xué)方法講練結(jié)合法、歸納總結(jié)法學(xué)習(xí)內(nèi)容與過程1、 解分式方程應(yīng)用題的步驟分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題，它與學(xué)習(xí)一元一次方程時列方程解應(yīng)用題的基本思路和方法是一樣的，不同的是，表示關(guān)系的代數(shù)式是分式而已。一般地，列分式

2、方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟：1審清題意；2設(shè)未知數(shù)；3根據(jù)題意找等量關(guān)系，列出分式方程；4解分式方程，并驗(yàn)根；5檢驗(yàn)分式方程的根是否符合題意，并根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果寫出答案2、 常見的實(shí)際問題中等量關(guān)系1.工程問題1工作量工作效率×工作時間，；2完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和總工作量1基礎(chǔ)型問題：1、一臺甲型拖拉機(jī)4天耕完一塊地的一半，加一天乙型拖拉機(jī)，兩臺合耕，1天耕完這塊地的另一半。乙型拖拉機(jī)單獨(dú)耕這塊地需要幾天？2、某 市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長3000米的污水輸送管道，為了盡量減少施工對城市交通造成的影響，實(shí)際施工時每天的工效比原計(jì)劃增加25%，結(jié)果提前30天完成了任務(wù)，實(shí)際每天鋪

3、設(shè)多長管道？例：某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)共5500元求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請說明理由分析：這是一道聯(lián)系實(shí)際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量對于工期，一般情況下把整個工作量看成1，設(shè)出甲、乙、丙各隊(duì)完成這項(xiàng)工程所需時間分別為天，天，天，可列出分式方程組練習(xí)：某鎮(zhèn)道路改造工程，由甲、乙兩工程隊(duì)合作20天可完成甲工程隊(duì)單獨(dú)施工比乙工程隊(duì)單獨(dú)施工多用3

4、0天完成此項(xiàng)工程（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？（2）若甲工程隊(duì)獨(dú)做a天后，再由甲、乙兩工程隊(duì)合作_天(用含a的代數(shù)式表示)可完成此 項(xiàng)工程；（3） 如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)1萬元，乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)2.5萬元，甲工程隊(duì)至少要單獨(dú)施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工完成剩下的工程，才能使施工費(fèi)不超過64萬元？拓展：某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)工程費(fèi)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共5500元求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天

5、？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請說明理由思路點(diǎn)撥：這是一道聯(lián)系實(shí)際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量對于工期，一般情況下把整個工作量看成1，設(shè)出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時間分別為天，天，天，可列出分式方程組解析：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，依題意，得×××，得×，得，即z 30，×，得，即x 10，×，得，即y 15經(jīng)檢驗(yàn)，x 10，y 15，z 30是原方程組的解設(shè)甲隊(duì)做一天廠家需付元，乙隊(duì)做一天廠家需付元，丙隊(duì)做一天廠家需付元，根據(jù)題意

6、，得由可知完成此工程不超過工期只有兩個隊(duì)：甲隊(duì)和乙隊(duì)此工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成需花錢元；此工程由乙隊(duì)單獨(dú)完成需花錢元.所以，由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少總結(jié)升華：在求解時，把，分別看成一個整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解舉一反三：【變式1】 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成；若由乙隊(duì)去做，要超過規(guī)定日期三天完成現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做兩天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天？【答案】工程規(guī)定日期就是甲單獨(dú)完成工程所需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)就是(x3)天.設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依題意，得，解得即規(guī)定日期是

7、6天【變式2】今年某大學(xué)在招生錄取時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，2640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位教師向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時輸完.問這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績？【答案】設(shè)教師乙每分鐘能輸入x名學(xué)生的成績，則教師甲每分鐘能輸入2x名學(xué)生的成績，依題意，得：， 解得 x11 經(jīng)檢驗(yàn)，x11是原方程的解，且當(dāng)x11時，2x22，符合題意即教師甲每分鐘能輸入22名學(xué)生的成績，教師乙每分鐘能輸入11名學(xué)生的成績2.營銷問題1商品利潤商品售價一商品成本價；2；3商品銷售額商品銷售價×商品銷售量；4商

8、品的銷售利潤(銷售價一成本價)×銷售量例：某校辦工廠將總價值為2000元的甲種原料與總價值為4800元的乙種原料混合后，其平均價比原甲種原料每0.5kg少3元，比乙種原料每0.5kg多1元，問混合后的單價每0.5kg是多少元？總結(jié)升華：營銷類應(yīng)用性問題，涉及進(jìn)貨價、售貨價、利潤率、單價、混合價、贏利、虧損等概念，要結(jié)合實(shí)際問題對它們表述的意義有所了解同時，要掌握好基本公式，巧妙建立關(guān)系式隨著市場經(jīng)濟(jì)體制的建立，這類問題具有較強(qiáng)的時代氣息，因而成為中考常考的熱點(diǎn)問題練習(xí)：1、A、B兩位采購員同去一家飼料公司購買同一種飼料兩次，兩次飼料的價格有變化，但兩位采購員的購貨方式不同其中，采購員

9、A每次購買1000千克，采購員B每次用去800元，而不管購買飼料多少，問選用誰的購貨方式合算？2、某校辦工廠將總價值為2000元的甲種原料與總價值為4800元的乙種原料混合后，其平均價比原甲種原料0.5kg少3元，比乙種原料0.5kg多1元，問混合后的單價0.5kg是多少元？分析：市場經(jīng)濟(jì)中，常遇到營銷類應(yīng)用性問題，與價格有關(guān)的是：單價、總價、平均價等，要了解它們的意義，建立它們之間的關(guān)系式3.行程問題1路程速度×時間，；2在航行問題中，其中數(shù)量關(guān)系是： 順?biāo)俣褥o水速度水流速度，逆水速度靜水速度水流速度；3航空問題類似于航行問題例：甲、乙兩地相距828km，一列普通快車與一列直達(dá)快

10、車都由甲地開往乙地，直達(dá)快車的平均速度是普通快車平均速度的1.5倍直達(dá)快車比普通快車晚出發(fā)2h，比普通快車早4h到達(dá)乙地，求兩車的平均速度分析：這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時間，基本關(guān)系是路程= 速度×時間，應(yīng)根據(jù)題意，找出追擊問題總的等量關(guān)系，即普通快車走完路程所用的時間與直達(dá)快車由甲地到乙地所用時間相等練習(xí)：甲、乙兩地相距828km，一列普通快車與一列直達(dá)快車都由甲地開往乙地，直達(dá)快車的平均速度是普通快車平均速度的1.5倍直達(dá)快車比普通快車晚出發(fā)2h，比普通快車早4h到達(dá)乙地，求兩車的平均速度思路點(diǎn)撥：這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時

11、間，基本關(guān)系是路程速度×時間，應(yīng)根據(jù)題意，找出追擊問題中的等量關(guān)系解析：設(shè)普通快車的平均速度為kmh，則直達(dá)快車的平均速度為1.5kmh，依題意，得：，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，且符合題意當(dāng)時，即普通快車的平均速度為46kmh，直達(dá)快車的平均速度為69kmh總結(jié)升華：列分式方程與列整式方程一樣，注意找出應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系，設(shè)好未知數(shù)，列出方程不同之處是：所列方程是分式方程，最后進(jìn)行檢驗(yàn)，既要檢驗(yàn)其是否為所列方程的解，還要檢驗(yàn)是否符合題意，即滿足實(shí)際意義舉一反三：【變式1】 一隊(duì)學(xué)生去校外參觀他們出發(fā)30分鐘時，學(xué)校要把一個緊急通知傳給帶隊(duì)老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕

12、隊(duì)伍若騎車的速度是隊(duì)伍行進(jìn)速度的2倍，這名學(xué)生追上隊(duì)伍時離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊(duì)伍用了多少時間？【答案】設(shè)步行速度為x千米時，騎車速度為2x千米時，依題意，得：方程兩邊都乘以2x，去分母，得30-15x，所以，x15檢驗(yàn)：當(dāng)x15時，2x2×150，所以x15是原分式方程的根，并且符合題意，騎車追上隊(duì)伍所用的時間為30分鐘【變式2】農(nóng)機(jī)廠職工到距工廠15千米的生產(chǎn)隊(duì)檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車先走，40分鐘后，其余的人乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度【答案】設(shè)自行車的速度為x千米/小時，那么汽車的速度為3x千米/小時，

13、依題意，得：解得x15經(jīng)檢驗(yàn)x15是這個方程的解當(dāng)x15時，3x45即自行車的速度是15千米/小時，汽車的速度為45千米/小時例：輪船在順?biāo)泻叫?0千米的時間與在逆水中航行20千米所用的時間相等，已知水流速度為2千米時，求船在靜水中的速度分析：此題的等量關(guān)系很明顯：順?biāo)叫?0千米的時間= 逆水中航行20千米的時間，即=設(shè)船在靜水中的速度為千米時，又知水流速度，于是順?biāo)叫兴俣取⒛嫠叫兴俣瓤捎梦粗獢?shù)表示，問題可解決練習(xí)1、輪船在順?biāo)泻叫?0千米的時間與在逆水中航行20千米所用的時間相等，已知水流速度為2千米時，求船在靜水中的速度【答案】設(shè)船在靜水中速度為千米時，則順?biāo)叫兴俣葹榍讜r，逆

14、水航行速度為千米時，依題意，得：，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根即船在靜水中的速度是10千米時練習(xí)2、輪船順流航行120km所用時間是逆流航行50km所用時間的2倍，如果水流速度為2km/h,求輪船在靜水中的速度。4、貨物運(yùn)輸應(yīng)用性問題例：一批貨物準(zhǔn)備運(yùn)往某地，有甲、乙、丙三輛卡車可雇用已知甲、乙、丙三輛車每次運(yùn)貨物量不變，且甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)這批貨物分別運(yùn)次、次能運(yùn)完；若甲、丙兩車合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時，甲車共運(yùn)了180t；若乙、丙兩車合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時，乙車共運(yùn)了270t問：（1）乙車每次所運(yùn)貨物量是甲車每次所運(yùn)貨物量的幾倍；（2）現(xiàn)甲、乙、丙合運(yùn)相同次數(shù)把這批貨物運(yùn)完時，貨主應(yīng)付車主

15、運(yùn)費(fèi)各多少元？(按每運(yùn)1t付運(yùn)費(fèi)20元計(jì)算)分析：解題思路應(yīng)先求出乙車與甲車每次運(yùn)貨量的比，再設(shè)出甲車每次運(yùn)貨量是丙車每次運(yùn)貨量的倍，列出分式方程課內(nèi)練習(xí)與訓(xùn)練1、改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計(jì)劃在荒坡上種960棵樹，由于青年志愿者的支援，每日比原計(jì)劃多種1/3，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，原計(jì)劃每天種多少棵數(shù)？2、某超市用5000元購進(jìn)一批新品種的蘋果進(jìn)行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥11000元資金購進(jìn)該品種蘋果，但這次的進(jìn)價比試銷時的進(jìn)價每千克多了0.5元，購進(jìn)蘋果數(shù)量是試銷時的2倍。 試銷時該品種蘋果的進(jìn)價是每千克多少元？ 如果超市將該品種蘋果按每千克7元的定價出售，當(dāng)大部分蘋果售出

16、后，余下的400千克按定價的七折售完，那么超市在這兩次蘋果銷售中共盈利多少元？3、輪船順?biāo)叫?0千米所需要的時間和逆水航行60千米所用的時間相同。已知水流的速度是3千米/時，求輪船在靜水中的速度。4、一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學(xué)生每人購買1枝，那么只能按零售價付款，需用120元，如果購買60枝，那么可以按批發(fā)價付款，同樣需要120元，（1） 這個八年級的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？（2） 若按批發(fā)價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學(xué)校八

17、年級學(xué)生有多少人？5、某廣告公司將一塊廣告牌任務(wù)交給師徒兩人，已知師傅單獨(dú)完成時間是徒弟單獨(dú)完成時間的，現(xiàn)由徒弟先做一天，師徒再合作2天完成。（1） 師、徒兩人單獨(dú)完成任務(wù)各需幾天？（2） 若完成后得到報酬540元，你若是部門經(jīng)理，按個人完成的工作量計(jì)算報酬，該如何分配？6、為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1 200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場現(xiàn)在甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息： 信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天； 信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍。根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？7、近幾年高速公路建設(shè)有較大的發(fā)展，有力地促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)建設(shè)欲修建的某高速公路要招標(biāo)現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊(duì)，若甲、乙兩隊(duì)合作，24天可以完成，費(fèi)用為120萬元；若甲單獨(dú)做20天后剩下的工程由乙做，還需40天才能完成，這樣所需費(fèi)用110萬元，問： （1）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天？ （2）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少萬元？8、周末某班組織登山活動，同學(xué)們分甲、乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂進(jìn)發(fā)設(shè)甲、乙兩組行進(jìn)同一路程所用時間之比為2：3（1）直接寫出甲、乙兩組行進(jìn)速度之比（2）當(dāng)甲