03_01_簡諧近似與簡正坐標(biāo)ppt課件

1、03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶體的熱學(xué)性質(zhì):熱容量熱容量杜隆珀替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律杜隆珀替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律 (能量均分定律能量均分定律)摩爾熱容量摩爾熱容量()VTECT3ENkT總的內(nèi)能總的內(nèi)能晶體中的格點(diǎn)：原子平衡位置晶體中的格點(diǎn)：原子平衡位置晶格振動(dòng)：原子在格點(diǎn)附近的振動(dòng)晶格振動(dòng)：原子在格點(diǎn)附近的振動(dòng)本章的主要物理思想和學(xué)習(xí)內(nèi)容本章的主要物理思想和學(xué)習(xí)內(nèi)容33NkR 與溫度無關(guān)與溫度無關(guān) 實(shí)驗(yàn)表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降實(shí)驗(yàn)表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降第三章 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)

2、性質(zhì)原子的振動(dòng)原子的振動(dòng) 晶格振動(dòng)在晶體中形成了各種模式的波晶格振動(dòng)在晶體中形成了各種模式的波 簡諧近似下簡諧近似下 系統(tǒng)哈密頓量是相互獨(dú)立簡諧振動(dòng)哈密頓量之和系統(tǒng)哈密頓量是相互獨(dú)立簡諧振動(dòng)哈密頓量之和 這些諧振子的能量量子，稱為聲子這些諧振子的能量量子，稱為聲子 晶格振動(dòng)的總體可看作是聲子的系綜晶格振動(dòng)的總體可看作是聲子的系綜 用一系列獨(dú)立的簡諧振子用一系列獨(dú)立的簡諧振子 來描述這些獨(dú)立而又分立的振動(dòng)模式來描述這些獨(dú)立而又分立的振動(dòng)模式 這些模式是相互獨(dú)立的，模式所取的能量值是分立的這些模式是相互獨(dú)立的，模式所取的能量值是分立的03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 一維晶

3、格熱振動(dòng)，色散關(guān)系，周期性邊界條件一維晶格熱振動(dòng)，色散關(guān)系，周期性邊界條件 三維晶格熱振動(dòng)的特點(diǎn)和一般規(guī)律三維晶格熱振動(dòng)的特點(diǎn)和一般規(guī)律 晶格熱振動(dòng)的量子化，聲子晶格熱振動(dòng)的量子化，聲子 聲子統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)，晶格熱振動(dòng)能聲子統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)，晶格熱振動(dòng)能 晶格比熱的晶格比熱的Einstein模型模型 晶格比熱的晶格比熱的Debye模型模型 晶格熱傳導(dǎo)晶格熱傳導(dǎo)基本內(nèi)容基本內(nèi)容學(xué)習(xí)要點(diǎn)學(xué)習(xí)要點(diǎn)掌握格波的概念和色散關(guān)系掌握格波的概念和色散關(guān)系正確理解聲子的概念及其統(tǒng)計(jì)分布正確理解聲子的概念及其統(tǒng)計(jì)分布掌握態(tài)密度的求法掌握態(tài)密度的求法熟練掌握固體比熱的計(jì)算方法熟練掌握固體比熱的計(jì)算方法掌握聲子的碰撞過程及

4、其對(duì)固體熱導(dǎo)的影響掌握聲子的碰撞過程及其對(duì)固體熱導(dǎo)的影響03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)03_01 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 03_02 一維單原子鏈一維單原子鏈 03_03 一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 03_04 三維晶格振動(dòng)三維晶格振動(dòng)03_05 離子晶體的長光學(xué)波離子晶體的長光學(xué)波03_06 確定晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法確定晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法03_07 局域振動(dòng)局域振動(dòng)03_08 晶格熱容量的量子理論晶格熱容量的量子理論03_09 晶格振動(dòng)模式密度晶格振動(dòng)模式密度03_10 晶格的狀態(tài)方程和熱膨脹晶格的狀態(tài)方程和熱膨脹03_1

5、1 晶格的熱傳導(dǎo)晶格的熱傳導(dǎo)03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)03_01 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) -簡諧近似簡諧近似-簡正坐標(biāo)簡正坐標(biāo)-簡正振動(dòng)簡正振動(dòng)-振動(dòng)模振動(dòng)模03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)03_01 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) )(tn研究對(duì)象研究對(duì)象 由由N個(gè)質(zhì)量為個(gè)質(zhì)量為m的原子組成的晶體的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量偏離平衡位置的位移矢量原子的位置原子的位置( )nnnRRt (1, 2, 3)niinR第第n個(gè)原子的平衡位置個(gè)原子的平衡位置3個(gè)方向上的分量個(gè)方向上的分量原子位移宗量原子位移宗量( )

6、itN個(gè)原子的位移矢量個(gè)原子的位移矢量)3, 43, 2, 1(NiinRn03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)NjijijiNiiiitemsHighVVVV31,023100)(21)( 體系的勢能函數(shù)在平衡位置展開體系的勢能函數(shù)在平衡位置展開取取00V平衡位置平衡位置0)(0iV 不計(jì)高階項(xiàng)不計(jì)高階項(xiàng)系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的勢能函數(shù)230,11()2Niji jijVV -簡諧近似簡諧近似03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的哈密頓量NjijijiNiiiVmH31,02312)(2121系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的勢能函數(shù)NjijijiVV

7、31,02)(21系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)NiiimT31221解決方法：設(shè)法找到一個(gè)正交變換，將解決方法：設(shè)法找到一個(gè)正交變換，將3N個(gè)原子位移坐個(gè)原子位移坐標(biāo)標(biāo) 變換到變換到3N個(gè)簡正坐標(biāo)個(gè)簡正坐標(biāo))3, 2 , 1(),(Niti含有坐標(biāo)的交叉項(xiàng)含有坐標(biāo)的交叉項(xiàng))3, 2 , 1(),(NjtQjNjjQHH31)(多體化簡為單體多體化簡為單體如何找到如何找到 之間的變換關(guān)系？之間的變換關(guān)系？( ) ( )ijtQ t03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)引入簡正坐標(biāo)引入簡正坐標(biāo)NQQQQ3321, 原子的坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)通過正交變換聯(lián)系起來原子的坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)通過正

8、交變換聯(lián)系起來NjjijiiQam31系統(tǒng)的哈系統(tǒng)的哈密頓量密頓量拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)33222111122NNiiiiiLTVQQ正則動(dòng)量正則動(dòng)量iiiQQLpNjijijiNiiiVmH31,02312)(212133332222221111111222NNNNiiiiiiiiiiiiHQQQQHQ03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的哈密頓量NiiiNiiQpH31223122121正則方程正則方程iiHpQ 3N個(gè)獨(dú)立無關(guān)的方程個(gè)獨(dú)立無關(guān)的方程20,1, 2, 3,3iiiQQiNiiiQQLp正則動(dòng)量正則動(dòng)量03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶

9、格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 3N個(gè)獨(dú)立無關(guān)的方程個(gè)獨(dú)立無關(guān)的方程20,1, 2, 3,3iiiQQiN簡正坐標(biāo)方程解簡正坐標(biāo)方程解sin()iiQAt簡正振動(dòng)簡正振動(dòng) 所有原子參與的振動(dòng)，振動(dòng)頻率相同所有原子參與的振動(dòng)，振動(dòng)頻率相同振動(dòng)模振動(dòng)模 簡正坐標(biāo)代表所有原子共同參與的一個(gè)振動(dòng)簡正坐標(biāo)代表所有原子共同參與的一個(gè)振動(dòng)只考察某一個(gè)只考察某一個(gè)Qj振動(dòng)時(shí)，有振動(dòng)時(shí)，有sin()ijijiaAtm03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)系統(tǒng)能量本征值計(jì)算系統(tǒng)能量本征值計(jì)算(量子力學(xué)處理）量子力學(xué)處理）任一簡正坐標(biāo)任一簡正坐標(biāo))()(2122222iiiiiiQQQQ經(jīng)典系統(tǒng)的哈密頓量經(jīng)典系統(tǒng)的哈密頓量NiiiNiiQpH31223122121-正則動(dòng)量算符正則動(dòng)量算符iiQip系統(tǒng)薛定諤方程系統(tǒng)薛定諤方程),(),()2121(31313122312NNNiiiNiiQQEQQQp03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)任一個(gè)簡正坐標(biāo)任一個(gè)簡正坐標(biāo))()(2122222iiiiiiQQQQ 諧振子方程諧振子方程能量本征值能量本征值iiin)21(本征態(tài)函數(shù)本征態(tài)函數(shù))()2exp()(2iiniinHQ/iiQ)(inH 厄密多項(xiàng)式厄密多項(xiàng)式03_01_簡諧近似和簡正坐標(biāo)