C08 組合變形及連接部分的計(jì)算1

1、組合變形及連接部分的計(jì)算第 8 章8.1 概述在工程實(shí)際中, 構(gòu)件在荷載作用下往往發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形。 若其中有一種變形是主要的, 其余變形所引起的應(yīng)力(或變形)很小, 則構(gòu)件可按主要的基本變形進(jìn)行計(jì)算。 若幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力(或變形)屬于同一數(shù)量級(jí), 則構(gòu)件的變形稱為組合變形。 Fqgh煙囪除自重引起的軸向壓縮外, 還有水平風(fēng)力引起的彎曲; 機(jī)械中的齒輪傳動(dòng)軸在外力作用下, 將同時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形及在水平平面和垂直平面內(nèi)的彎曲變形。 廠房中吊車立柱除受軸向壓力F1外, 還受到偏心壓力F2的作用, 立柱將同時(shí)發(fā)生軸向壓縮和彎曲變形; 8.1 概述對(duì)于組合變形下的構(gòu)件, 在線彈性范圍內(nèi)、

2、小變形條件下, 可按構(gòu)件的原始形狀和尺寸進(jìn)行計(jì)算。 先將荷載簡(jiǎn)化為符合基本變形外力作用條件的外力系, 分別計(jì)算構(gòu)件在每一種基本變形下的內(nèi)力、應(yīng)力或變形。 然后, 利用疊加原理, 綜合考慮各基本變形的組合情況, 以確定構(gòu)件的危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)的位置及危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài), 并據(jù)此進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。 若構(gòu)件的組合變形超出了線彈性范圍, 或雖在線彈性范圍內(nèi)但變形較大, 則不能按其初始形狀或尺寸進(jìn)行計(jì)算, 必須考慮各基本變形之間的相互影響, 而不能應(yīng)用疊加原理。 處理組合變形的基本方法一、將組合變形分解為基本變形將外力簡(jiǎn)化或分解, 使之每個(gè)力(或力偶)對(duì)應(yīng)一種基本變形 三、利用疊加原理將基本變形下的應(yīng)力和變形疊

3、加二、分別計(jì)算在每一種基本變形下構(gòu)件的的應(yīng)力和變形 8.1 概述=+ + += =+ +8.1 概述在工程實(shí)際中, 經(jīng)常需要將構(gòu)件相互連接。例如橋梁桁架結(jié)點(diǎn)處的鉚釘(或高強(qiáng)度螺栓)連接、機(jī)械中的軸與齒輪間的鍵連接, 以及木結(jié)構(gòu)中的榫齒連接等等。鉚釘、螺栓、鍵等起連接作用的部件, 統(tǒng)稱為連接件。連接件(或構(gòu)件連接處)的變形往往是比較復(fù)雜的, 而其本身的尺寸都比較小。在工程設(shè)計(jì)中, 通常按照連接的破壞可能性, 采用既能反映受力的基本特征, 又能簡(jiǎn)化計(jì)算的假設(shè), 計(jì)算其名義應(yīng)力, 然后根據(jù)直接試驗(yàn)的結(jié)果, 確定其相應(yīng)的許用應(yīng)力, 來(lái)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。這種簡(jiǎn)化計(jì)算的方法, 稱為工程實(shí)用計(jì)算法。8.1 兩相

4、互垂直平面內(nèi)的彎曲對(duì)于橫截面具有對(duì)稱軸的梁, 當(dāng)橫向外力或外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí), 梁發(fā)生對(duì)稱彎曲。梁變形后的軸線是一條位于外力所在平面內(nèi)的平面曲線, 也稱為平面彎曲。雙對(duì)稱截面梁在水平縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)承受橫向外力F1的作用, 梁在(水平縱對(duì)稱面)Oxz平面內(nèi)發(fā)生對(duì)稱彎曲。同時(shí)在鉛直縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)承受橫向外力F2的作用, 這時(shí)梁在鉛垂縱對(duì)稱面(Oxy平面)內(nèi)也發(fā)生對(duì)稱彎曲。aF1F2yzOxOzymm在梁的任意橫截面m-m上, 由F1和F2引起的彎矩值為1yMFxzymmxaF1F2yzxMyMz2()zMF xa橫截面m-m上任一點(diǎn)C(y, z)處由彎矩My和Mz引起的正應(yīng)力分別為yy

5、MzI OzymmzymmxaF1F2yzxMyMzC(y, z)zzMyI 由疊加原理, 在F1和F2同時(shí)作用下, 截面m-m上C點(diǎn)處的正應(yīng)力為yzyzMMzyIIOzymmzymmxaF1F2yzxMyMzC(y, z)具體計(jì)算中, 先不考慮彎矩My, Mz和坐標(biāo)y, z的正負(fù)號(hào), 以其絕對(duì)值代入, 然后根據(jù)梁在F1和F2分別作用下的變形情況, 來(lái)判斷兩項(xiàng)應(yīng)力的正負(fù)號(hào)。yzyzMMzyII由于中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均為零, 令y0, z0代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo), 則由上式可得中性軸方程為000yzyzMMzyII中性軸是一條通過(guò)橫截面形心的直線。j是合成彎矩M與y軸之間的夾角。000yz

6、yzMMzyII00tantanzyyyzzM IIzyM IIj這一條通過(guò)橫截面形心的直線與y軸的夾角為一般情況下, 由于截面的IyIz, 因而中性軸與合成彎矩M所在的平面并不相互垂直。 因?yàn)榻孛娴膿隙却怪庇谥行暂S, 所以撓曲線將不在合成彎矩所在的平面內(nèi)。這種彎曲也稱為斜彎曲。 隱由于一般情況下, 梁各橫截面上的合成彎矩M所在平面的方位一般并不相同, 所以, 雖然每一截面的撓度都發(fā)生在該截面的合成彎矩所在平面內(nèi), 梁的撓曲線一般仍是一條空間曲線。于是, 梁的撓曲線方程仍應(yīng)分別按兩垂直平面內(nèi)的彎曲來(lái)計(jì)算, 不能直接用合成彎矩進(jìn)行計(jì)算。 zzMyI對(duì)于圓形、正方形等截面, IyIz, 有j, 因

7、而, 正應(yīng)力也可用合成彎矩M按平面彎曲正應(yīng)力公式進(jìn)行計(jì)算。 隱zyO在確定中性軸的位置后, 作平行于中性軸的兩直線, 分別與橫截面周邊相切于D1, D2兩點(diǎn), 該兩點(diǎn)即分別為橫截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力為最大的點(diǎn)。 D2D1中性軸工程中常用的矩形、工字形等截面梁, 其橫截面都有兩個(gè)相互垂直的對(duì)稱軸, 且截面的周邊具有棱角, 故橫截面上的最大正應(yīng)力必發(fā)生在截面的棱角處。由于危險(xiǎn)點(diǎn)處是單軸應(yīng)力狀態(tài), 可將最大正應(yīng)力與材料的許用正應(yīng)力相比較來(lái)建立強(qiáng)度條件, 進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。 yzyzMMzyII對(duì)于一般實(shí)體截面粱, 橫截面上的切應(yīng)力數(shù)值較小, 在強(qiáng)度計(jì)算中可不必考慮。 例: 兩端鉸支矩形截面梁, 其尺寸h8

8、0mm , b40mm, 120 MPa, 校核梁的強(qiáng)度。解:(1)確定危險(xiǎn)截面:2kN mByM1kN mBzMxABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyzyhbMy2 kNmMz1 kNm(2)校核強(qiáng)度:zBzyByWMWMmax6622hbMbhMBzBy3293292 1064080101 10680401093.75 MPa max, 安全。xABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyMy2 kNmMz2 kNmh80mm , b40mm, 120 MPa8.3 拉伸(壓縮)與彎曲8.3.1 橫向力與軸向力共同作用等直桿受橫向力和軸向力共同作用時(shí),

9、桿將發(fā)生彎曲與拉伸(壓縮)組合變形。Fqgh對(duì)于彎曲剛度EI較大的桿, 由軸向力引起的彎矩M(Ft)可以略去不計(jì)。ACBl/2l/2FFtFtwCMC(Ft)FtwC8.3 拉伸(壓縮)與彎曲ACBl/2l/2FFtFtttFAmaxbzMWbtbtbt8.3 拉伸(壓縮)與彎曲設(shè)一矩形截面桿, 一端固定, 一端自由, 作用于自由端的集中力位于桿的縱向?qū)ΨQ面Oxy內(nèi), 并與桿的軸線成一夾角j。將外力F沿軸x和y軸方向分解, 得到兩個(gè)分力: cossinxyFFFFjj其中, 分力Fx為軸向外力, 在此力的單獨(dú)作用下, 桿將產(chǎn)生軸向拉伸, 此時(shí), 任一橫截面上的軸力FN = Fx。因此, 桿橫截

10、面上各點(diǎn)將產(chǎn)生數(shù)值相等的拉應(yīng)力, 其值為 NFA 正應(yīng)力在橫截面上均勻分布, 如圖c所示。 分力Fy為垂直于桿軸線的橫向外力, 在此力的單獨(dú)作用下, 桿將在Oxy平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲, 任一橫截面的彎矩為 ()yMF lx此時(shí)在橫截面上任一點(diǎn)K的彎曲應(yīng)力為 zMyI 沿截面高度方向的變化規(guī)律, 如圖d所示。 這是一個(gè)彎曲與拉伸組合變形的桿件。設(shè)在外力作用下桿件的變形很小, 這時(shí)可應(yīng)用疊加原理, 將拉伸正應(yīng)力與彎曲正應(yīng)力按代數(shù)值疊加后, 得到橫截面上的總應(yīng)力為 NzFMyAI設(shè)橫截面上、下邊緣處的最大彎曲應(yīng)力大于(或小于)拉伸正應(yīng)力, 則總應(yīng)力沿截面高度方向的變化規(guī)律如圖e(或f)所示。 NzFM

11、yAI+=或Nmaxt maxzFMAW+=或由于在固定端處橫截面上的彎矩最大, 因此, 該截面為危險(xiǎn)截面。從圖e可知, 構(gòu)件的危險(xiǎn)點(diǎn)位于危險(xiǎn)截面的上邊緣或下邊緣處。在下邊緣處由于和均為拉應(yīng)力, 故總應(yīng)力為兩者之和, 由此得最大拉應(yīng)力為 Nmaxc maxzFMAW+=或在上邊緣, 由于為拉應(yīng)力, 而為壓應(yīng)力, 故總應(yīng)力為兩者之差, 由此得最大壓應(yīng)力為 上兩式中的Mmax為危險(xiǎn)截面處的彎矩; Wz為抗彎截面系數(shù)。 Nmaxc maxczFMAW+=或得到了危險(xiǎn)點(diǎn)處的總應(yīng)力后, 即可根據(jù)材料的許用應(yīng)力建立強(qiáng)度條件： Nmaxt maxtzFMAW式中t和c分別為材料拉伸和壓縮時(shí)的許用應(yīng)力。 一般

12、情況下, 對(duì)于抗拉與抗壓能力不相等的材料, 如鑄鐵和混凝土等, 需用以上兩式分別校核構(gòu)件的強(qiáng)度; 對(duì)于抗拉與抗壓能力相等的材料, 如低碳鋼, 則只需校核構(gòu)件應(yīng)力絕對(duì)值最大處的強(qiáng)度即可。 按疊加原理計(jì)算拉伸(壓縮)與彎曲組合變形桿橫截面上的正應(yīng)力時(shí), 略去了軸向拉(壓)力由于彎曲撓度而引起的附加彎矩。對(duì)于彎曲剛度EI較小的桿件, 在壓縮與彎曲組合變形下, 軸向壓力引起的附加彎矩較大, 且其轉(zhuǎn)向與橫向力引起的彎矩同向, 因此不能按桿的原始形狀來(lái)計(jì)算, 疊加原理也不再適用。例: 懸臂吊車如圖所示, 橫梁用25a號(hào)工字鋼制成, 梁長(zhǎng)l = 4 m, 斜桿與橫梁的夾角a30, 電葫蘆重Q14 kN, 起

13、重量Q220 kN, 材料的許用應(yīng)力100 MPa。試校核橫梁的強(qiáng)度。 ABCD2m2maFFABFAyFAxFTFBxFBy解: (1) 外力計(jì)算 取橫梁AB為研究對(duì)象, 其受力圖如圖所示。梁上載荷為FQ1+ Q224 kN, 右端斜桿的拉力FT可分解為FBx、FBy兩個(gè)分力。橫梁在橫向力F和FAy、FBy作用下產(chǎn)生彎曲; 同時(shí)在FAx和FBx作用下產(chǎn)生軸向壓縮。這是一個(gè)彎曲與壓縮組合的構(gòu)件。 ABCD2m2maFFABFAyFAxFTFBxFBy當(dāng)載荷移動(dòng)到梁的中點(diǎn)時(shí), 可近似地認(rèn)為梁處于危險(xiǎn)狀態(tài)。此時(shí) 作彎矩圖, 在梁中點(diǎn)截面上的彎矩最大, 其值為 FAyFBy12 kNFAxFBx20

14、.8 kN(2) 內(nèi)力和應(yīng)力計(jì)算 M24 kNmMmax24 kNm從型鋼表上查得25a號(hào)工字鋼的截面面積和抗彎截面系數(shù)分別為： 24226348.5cm48.5 10 m402 cm402 10 mZAW所以最大彎曲應(yīng)力為 6maxmax62400059.7 10 Pa59.7 MPa402 10BZMW其分布如圖所示, 梁危險(xiǎn)截面的上邊緣處受最大壓應(yīng)力、下邊緣處受最大拉應(yīng)力作用。 橫梁所受的軸向壓力為 FNFAx20.8 kN則危險(xiǎn)截面上的壓應(yīng)力為 N6208000.004854.29 10 Pa4.29 MPacFA 均勻分布于橫截面上, 如圖所示。 故梁中點(diǎn)橫截面上、下邊緣處的總正應(yīng)力

15、分別為 Nmaxcmax4.2959.764.0 MPaZFMAW Nmaxtmax4.2959.755.4 MPaZFMAW +=(3) 強(qiáng)度校核 cmax64 MPa +=由于工字鋼的抗拉與抗壓能力相同, 故只校核正應(yīng)力絕對(duì)值最大處的強(qiáng)度即可, 即 由計(jì)算可知, 此懸臂吊車的橫梁是安全的 例: 一折桿由兩根無(wú)縫鋼管焊接而成,已知兩根鋼管的外徑都是140mm ,壁厚都是10 mm 。試求折桿危險(xiǎn)截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。解:(1)首先求支反力由靜力平衡方程可求得 FAFA1FBFA10 FAFB5 kN 由于折桿本身和它所受的力都是左右對(duì)稱的, 故只需分析它的一半即可。(2)用截面法分

16、析內(nèi)力取AC桿研究由圖示尺寸可求得3tan4a將FA沿AC的軸線和垂直AC軸線的方向分解為3 kN ,4 kNAxAyFFFAx產(chǎn)生軸向壓縮FAy產(chǎn)生彎曲FAFA1FB任 一 橫截面x上的內(nèi)力軸力 FNFAx彎矩 M(x)FAyx剪力 FSFAy (忽略)危險(xiǎn)截面為m-m截面, 其內(nèi)力軸力 FNFAx3 kN彎矩 MFAy28 kNm(3) AC桿危險(xiǎn)截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力g點(diǎn)為最大壓應(yīng)力點(diǎn), f點(diǎn)為最大拉應(yīng)力點(diǎn)。t maxNc maxFMAW 222242()(0.140.12 )40.8 10m44ADd444484()(0.140.12 )868 10m6464IDd863868

17、 10124 10m/20.14/2IWDt max46c max663000800040.8 10124 1063.8 1063.8PaMPa65.265.2 10 8.3 拉伸(壓縮)與彎曲8.3.2 偏心拉伸(壓縮)作用在直桿上的外力, 當(dāng)其作用線與桿的軸線平行但不重合時(shí), 將引起偏心拉伸或偏心壓縮。圖示等直桿的橫截面具有兩個(gè)對(duì)稱軸, 承受偏心距為e的拉力F作用。MFO1zyeezsincosyFFMFeFzMFeFyaa把作用在桿端截面上A點(diǎn)處的拉力F向截面形心O1點(diǎn)簡(jiǎn)化, 得到軸向拉力F和力偶矩Fe, 矢量與z軸成a角。A(yF, zF)aeaMezMey再將力偶矩Fe分解為Mey和

18、Mez:Fe得到一個(gè)包含軸向拉力和兩個(gè)在縱對(duì)稱面內(nèi)的力偶的靜力等效力系。軸向拉力使桿發(fā)生軸向拉伸, 兩個(gè)力偶分別使桿在兩個(gè)縱對(duì)稱面內(nèi)發(fā)生純彎曲。當(dāng)桿的彎曲剛度較大時(shí), 同樣可按疊加原理求解。任一橫截面n-n上的任一點(diǎn)C(y, z)處, 對(duì)應(yīng)于軸力FNF和兩個(gè)彎矩MyMeyFzF, MzMezFzy的正應(yīng)力分別為NFFAA yFyyMzFzzII zFzzMyFyyII 在圖示情況下, 這三項(xiàng)應(yīng)力均為拉應(yīng)力, 由疊加原理, 即得C點(diǎn)處的正應(yīng)力為FFyzFzzFyyFAII式中, A為橫截面面積；Iy和Iz分別為橫截面對(duì)y軸和z軸的慣性矩。FFyzFzzFyyFAII慣性矩與慣性半徑間的關(guān)系為上式

19、可改寫為22,yyzzIA iIA i22(1)FFyzzzyyFAii22(1)FFyzzzyyFAii此式是一個(gè)平面方程, 這表明正應(yīng)力在橫截面上按線性規(guī)律變化, 而應(yīng)力平面與橫截面相交的直線(沿該直線0)就是中性軸。令y0, z0代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo), 代入上式, 即得中性軸方程為002210FFyzzyzyii可見(jiàn), 在偏心拉伸(壓縮)情況下, 中性軸是一條不通過(guò)截面形心的直線。22,yzyzFFiiaayz 002210FFyzzyzyii設(shè)ay和az是該直線在y, z兩軸上的截距。令z00, 相應(yīng)的y0即為ay, 而令y00, 相應(yīng)的z0則為az。由此求得因?yàn)锳點(diǎn)在第一象限內(nèi),

20、 yF, zF都是正值, 由此可見(jiàn), ay, az均為負(fù)值。即中性軸與外力作用點(diǎn)分別處于截面形心的相對(duì)兩側(cè)。對(duì)于周邊無(wú)棱角的截面, 可作兩條與中性軸平行的直線與橫截面的周邊相切, 兩切點(diǎn)D1和D2即為橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的危險(xiǎn)點(diǎn)。將危險(xiǎn)點(diǎn)D1和D2的坐標(biāo)分別代入即可求得最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值。22(1)FFyzzzyyFAii對(duì)于周邊具有棱角的截面, 其危險(xiǎn)點(diǎn)必定在截面的棱角處, 并可根據(jù)桿件的變形來(lái)確定。矩形截面桿受偏心拉力F作用時(shí), 若桿任一橫截面上的內(nèi)力分量為FNF, MyFzF, MzFzy, 則與各內(nèi)力分量相對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力變化規(guī)律分別如圖所示。由疊加原理, 即得桿在偏

21、心拉伸時(shí)橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律。最大拉應(yīng)力t max和最大壓應(yīng)力c max分別在截面的棱角D1和D2處。其值為t maxc maxFFyzFzFyFAWW此式對(duì)于箱形、工字形等具有棱角的截面都適用。當(dāng)外力的偏心距較小時(shí), 橫截面上就可能不出現(xiàn)壓應(yīng)力, 即中性軸不與橫截面相交。由于危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài), 在求得最大正應(yīng)力后, 就可根據(jù)材料的許用應(yīng)力來(lái)建立強(qiáng)度條件。例：小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應(yīng)力 t =30 MPa , 許用壓應(yīng)力 c =160 MPa。試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的最大許可壓力P。5050150150350PPz5050150150350PPyzz0z1

22、解：(1) 確定形心位置A=1510-3 m2z0 =7.5cmIy = 5310cm4計(jì)算截面對(duì)中性軸y的慣性矩350PPPnnFNMy(2) 分析立柱橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力5050150150yzz0z1nn立柱受力為偏心拉伸在 n-n 面上有軸力FN及彎矩My 。FN = PMy = (35+7.5)10-2 P = 42.5 10-2 P kN.mFN產(chǎn)生軸向拉伸。My產(chǎn)生平面彎曲。350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn由軸力FN產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為NMPa15FPA 350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn350PPPnnFNMy50501501

23、50yzz0z1nn由彎矩My產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為0t max425 7.5MPa5310yyM zPI拉拉壓壓1c max425 12.5MPa (-)5310yyM zPI（3）疊加在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力tmaxtmaxt425 7.5155310PPP 45.1 KN350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉拉壓壓在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力c maxc maxc425 12.5| | 155310PPP 171.3 KNP 45.1 KN所以取350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉拉壓壓例: 一帶槽鋼板受力如圖, 已知鋼板寬度b8cm, 厚度d

24、1cm, 邊緣上半圓形槽的半徑rl cm, 已知拉力P80 kN, 鋼板許用應(yīng)力140 MPa。試對(duì)此鋼板進(jìn)行強(qiáng)度校核。 解: 由于鋼板在截面1-1處有一半圓槽, 因而外力P對(duì)此截面為偏心拉伸, 其偏心距之值為 10.5cm2222bbrre截面1-1處的軸力和彎矩分別為： N80kN80000 NFP80000 0.005400N mMPe軸力FN和彎矩M在半圓槽底部的a點(diǎn)處都引起拉應(yīng)力, 此處即為危險(xiǎn)點(diǎn)。最大拉應(yīng)力為 max2()()6tPPebrbr計(jì)算結(jié)果表明, 鋼板在截面1-1處的強(qiáng)度不夠。 6163.3 10 Pa163.3MPa140 MPa2800006 4000.01 (0.

25、080.01)0.01 (0.080.01)造成鋼板強(qiáng)度不夠的原因, 是由于偏心拉伸而引起的彎矩Pe, 使截面1-1的應(yīng)力顯著增加。為了保證鋼板具有足夠的強(qiáng)度, 在允許的條件下, 可在槽的對(duì)稱位置再開(kāi)一槽。這樣就避免了偏心拉伸, 而使鋼板變?yōu)檩S向拉伸了。此時(shí)截面1-1上的應(yīng)力為 雖然鋼板被兩個(gè)槽所削弱, 使橫截面面積減少了, 但由于避免了載荷的偏心, 因而使截面I-I的實(shí)際應(yīng)力比有一個(gè)槽時(shí)大為降低。但須注意, 開(kāi)槽時(shí)應(yīng)使截面變化緩和些, 以減小應(yīng)力集中。 80000133.3MPa140MPa(2 )0.01 (0.082 0.01)Pbr 8.3 拉伸(壓縮)與彎曲8.3.3 截面核心當(dāng)偏心

26、拉力F的偏心距較小時(shí), 桿橫截面上就可能不出現(xiàn)壓應(yīng)力。同理, 當(dāng)偏心壓力F的偏心距較小時(shí), 桿的橫截面上也可能不出現(xiàn)拉應(yīng)力。土建工程中常用的混凝土構(gòu)件和磚、石砌體, 其拉伸強(qiáng)度遠(yuǎn)低于壓縮強(qiáng)度, 在這類構(gòu)件的設(shè)計(jì)計(jì)算中, 往往認(rèn)為其拉伸強(qiáng)度為零。這就要求構(gòu)件在受偏心壓力作用時(shí), 其橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力。為此, 應(yīng)使中性軸不與橫截面相交。O1zyA(yF, zF)aeaMezMeyFe22,yzyzFFiiaayz 由上式可見(jiàn), 對(duì)于給定的截面, yF, zF值越小, ay, az值就越大, 即外力作用點(diǎn)離形心越近, 中性軸距形心就越遠(yuǎn)。當(dāng)外力作用點(diǎn)位于截面形心附近的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí), 就可以保證中性

27、軸不與橫截面相交, 這個(gè)區(qū)域稱為截面核心。22,yzyzFFiiaayz 當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí), 與此相對(duì)應(yīng)的中性軸就正好與截面的周邊相切。利用這一關(guān)系就可確定截面核心的邊界。將與截面周邊相切的任一直線看作是中性軸, 其在y, z兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為ay1和az1。由截距計(jì)算公式確定與該中性軸對(duì)應(yīng)的外力作用點(diǎn)1, 也就是截面核心邊界上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(ry1, rz1)：221111,yzyzyziiaarr 同樣, 分別將與截面周邊相切或外接的直線, , 等看作是中性軸, 并按上述方法求得與其對(duì)應(yīng)的截面核心邊界上點(diǎn)2, 3, 等的坐標(biāo)。連接這些點(diǎn)所得到的一條封閉曲線, 即為所

28、求截面核心的邊界, 而該邊界曲線所包圍的帶陰影線的面積, 即為截面核心。221111,yzyzyziiaarr 圓截面對(duì)于圓心O是極對(duì)稱的, 因而, 截面核心的邊界對(duì)于圓心也應(yīng)是極對(duì)稱的, 即為一圓心為O的圓。11,2yzdaa zyd8d8d1A作一條與圓截面周邊相切于A點(diǎn)的直線, 將其看作為中性軸, 并取OA為y軸。該中性軸在y, z兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為圓截面222/16yziid221111,08yzyzyziidaarr 從而可知, 截面核心邊界是一個(gè)以O(shè)為圓心、以d/8為半徑的圓。OzyABCD對(duì)于邊長(zhǎng)為b和h的矩形截面, y, z兩對(duì)稱軸為截面的形心主慣性軸。先將與AB邊

29、相切的直線看作是中性軸, 其在兩軸上的截距分別為221111,06zyzyzyiihaarr bhh61 111,2yzhaa O矩形截面2222/12,/12yzibih得到與中性軸對(duì)應(yīng)的截面核心邊界上點(diǎn)1的坐標(biāo)為zyABCD2233440,660,0,6yzyzyzbhbrrrrrr 同理, 分別將與BC, CD和DA邊相切的直線, , 看作是中性軸, 可求得對(duì)應(yīng)的截面核心邊界上點(diǎn)2, 3, 4的坐標(biāo)依次為bhh6b6b6h61 12 23 34 4O當(dāng)中性軸繞頂點(diǎn)B從直線旋轉(zhuǎn)到直線時(shí), 將得到一系列通過(guò)B點(diǎn)但斜率不同的中性軸, 而B(niǎo)點(diǎn)的坐標(biāo)yB, zB是這一系列中性軸上所共有的, 將其代

30、入中性軸方程, 經(jīng)改寫后即得2210BBFFyzzyzyiizyABCDbhh6b6b6h61 12 23 34 4O式中的yB, zB為常數(shù), 因此該式就可看作是表示外力作用點(diǎn)坐標(biāo)yF與zF間關(guān)系的直線方程。2210BBFFyzzyzyii即當(dāng)中性軸繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí), 相應(yīng)的外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是一條連接點(diǎn)1, 2的直線。將1, 2, 3, 4四點(diǎn)中相鄰的兩點(diǎn)連以直線, 即得矩形截面的截面核心邊界。它是個(gè)位于截面中央的菱形, 其對(duì)角線長(zhǎng)度分別為h/3和b/3。8.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲一般的傳動(dòng)軸通常發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形。由于傳動(dòng)軸大都是圓截面的, 故以圓截面桿為主, 討論桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形時(shí)

31、的強(qiáng)度計(jì)算。FMeFaMFlTFR設(shè)有一圓桿AB, 一端固定, 一端自由；在自由端B處安裝有一圓輪, 并于輪緣處作用一集中力F。將力F向B端面的形心平移, 得到一橫向力F和矩為Me = FR的力偶。橫向力和力偶分別使圓桿AB發(fā)生平面彎曲和扭轉(zhuǎn)。 作出圓桿的扭矩圖和彎矩圖, 圓桿左端的彎矩最大, 所以此桿的危險(xiǎn)截面位于固定端處。 C1C2C3C4危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在鉛垂直徑的上、下兩端點(diǎn)C1和C2處。最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力, 發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處。OC1C2C3C4tttt危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為C1和C2點(diǎn)。MWpTWt圍繞C1點(diǎn)分別用橫截面、徑向縱截面和切向縱截面截取單元體，可得C1點(diǎn)處

32、的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。C1點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài), 主應(yīng)力為C1C2C3C4OC1C2C3C4ttttC1tt12231422t20機(jī)械中的軸一般都用塑性材料制成, 因此應(yīng)采用第三或第四強(qiáng)度理論。 C1C2C3C4OC1C2C3C4ttttC1tt22223134rMTWt用第三強(qiáng)度理論：222240.753rMTWt用第四強(qiáng)度理論：以彎矩、扭矩和彎曲截面系數(shù)表示的強(qiáng)度條件為 C1C2C3C4OC1C2C3C4ttttC1tt223 rMTW用第三強(qiáng)度理論：2240.75 rMTW用第四強(qiáng)度理論：上式同樣適用于空心圓桿，而只需將式中的W改用空心圓截面的彎曲截面系數(shù)。公式適用于平面應(yīng)力狀態(tài)，而不論正應(yīng)

33、力是由彎曲或是由其他變形引起的，切應(yīng)力t是由扭轉(zhuǎn)或是由其他變形引起的，也不論正應(yīng)力和切應(yīng)力是正值或是負(fù)值。223 rMTW2240.75 rMTW船舶的推進(jìn)軸將同時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)、彎曲和軸向壓縮(或拉伸)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的正應(yīng)力等于彎曲正應(yīng)力與軸向壓縮(或拉伸)正應(yīng)力之和。對(duì)于非圓截面桿，即使在扭、彎組合變形時(shí)，由于不存在Wp2W的關(guān)系，上式就不再適用。但其分析方法依然相同。例: 一齒輪軸AB如圖所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n265 r/min, 由電動(dòng)機(jī)輸入的功率P10 kW；兩齒輪節(jié)圓直徑為D1396 mm, D2168 mm；齒輪嚙合力與齒輪節(jié)圓切線的夾角a = 20；軸直徑d50 mm, 材料為45鋼,

34、其許用應(yīng)力50 MPa。試校核軸的強(qiáng)度。 dACDBzy8013080F1F1zF1yF2yF2zF2aax解：解：此軸的受力情況比較復(fù)雜, 各嚙合力和軸承反力都需要簡(jiǎn)化到兩個(gè)互相垂直的平面上來(lái)處理。 aaF1F2F1yF1zF2yF2z(1) 計(jì)算外力 取一空間坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, 將嚙合力F1、F2分解為切向力F1z、F2y和徑向力F1y、F2z, 它們分別平行于y軸和z軸。F2yF2zF1zF1yFAyFAzFByFBzTCTDxABCDzy8013080再將兩個(gè)切向力分別向齒輪中心平移, 亦即將F1z、F2y平行移至軸上, 同時(shí)加一附加力偶, 其矩分別為： F2yF2zF1zF1yFAyFA